Chapitre III Méthodes mathématiques
III.3 Méthodes pour réduire le temps de calcul
Cette méthode consiste à résoudre le problème d’optimalité en affinant progressivement le maillage de l’espace de recherche. Pour cela, une première résolution est faite avec un maillage assez grossier qui nous permet d’approximer la solution. Une seconde résolution est alors effectuée sur un espace de recherche réduit et centré sur la solution précédente avec un pas de maillage plus fin que lors de la première résolution.
Figure 42 - Méthode de la grille grossière
Ceci nous donnera une solution plus précise que la précédente. L’opération peut être répétée jusqu’à ce que la précision souhaitée soit obtenue. Une illustration de cette méthode est visible sur la figure 42. Néanmoins, il n’y a aucune garantie qu’une meilleure solution ne puisse exister aux alentours d’un chemin qui aurait été écarté lors d’un passage avec un maillage grossier.
III.3.2 Méthode par relaxation
Dans cette méthode, nous commençons par estimer une trajectoire possible puis nous définissons un espace de recherche autour de cette solution pour résoudre le problème sur cet espace restreint. Si la solution est optimale, chacun de ses états sera compris dans l’espace de recherche et la solution ne viendra pas en butée de l’espace de recherche. Si ce n’est pas le cas, nous recentrons l’espace de recherche autour de la solution précédente pour réitérer le procédé jusqu’à ce qu’aucun des états de la solution trouvée ne vienne en contrainte de l’espace de recherche. Une illustration de cette méthode est visible sur la figure 43.
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Figure 43 - Méthode par relaxation
Là encore, la méthode ne nous garantit pas d’aboutir à un optimum global et le résultat peut varier en fonction de la première trajectoire estimée pour la méthode par relaxation ou de la taille du premier maillage dans le cas de la grille grossière.
III.3.3 Méthode proposée
Nous proposons ici de combiner ces deux méthodes : nous évaluerons dans un premier temps la solution avec un maillage grossier pour obtenir une solution approchée à notre problème. Nous réduirons ensuite le maillage pour recalculer la solution sur un espace de recherche restreint et autour de la première solution. L’espace de recherche sera alors relaxé jusqu’à ce que la solution n’atteigne pas les frontières de l’espace de recherche. Le procédé global est réitéré jusqu’à atteindre la précision souhaitée. Un schéma structurel de l’algorithme peut être vu à la figure 44.
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Figure 44 – Méthode proposée III.3.4 Calcul matriciel
Un dernier point auquel porter attention est le choix du langage de programmation utilisé pour coder l’algorithme de programmation dynamique. Dans cette thèse nous avons choisi d’utiliser Matlab pour développer les modèles du système de groupe hybride. Une attention particulière devra alors être faite pour réduire au maximum le temps de calcul en évitant autant que possible d’utiliser des boucles itératives dans le code mais en préférant utiliser des calculs matriciels tant que cela est possible.
IV Exemple de stratégie de contrôle optimal
Pour évaluer l’algorithme, nous créons un profil de charge aléatoire qui possède une puissance maximale de 20kW et une puissance moyenne de 6kW, ce profil peut être vu à la figure 45 nous devons également définir un dimensionnement du groupe hybride. Nous prendrons alors un moteur diesel d’une puissance maximale de 30kW avec une gamme de vitesse allant de 1000tr/min à 3000tr/min, un alternateur de 18kW bobiné pour une tension nominale de 400V, une batterie au plomb avec une capacité C10 de 100Ah et 100 cellules en série ainsi qu’une tension de bus continu de 800V.
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L’état de charge initial de la batterie est pris à 70% et nous limiterons la variation entre 40% et 90%. Pour que la batterie n’apporte aucune quantité d’énergie au système, nous chercherons à revenir à ce même état de charge de 70% en fin de cycle du profil de charge. Regardons maintenant les résultats obtenus avec ce système en optimisant les flux de puissance pour le profil aléatoire défini précédemment. La puissance fournie par le groupe électrogène est donnée à la figure 45, la différence avec le profil de charge correspond à ce que reçoit ou fournit la batterie.
Figure 45 - Puissance produite par le groupe électrogène
On peut remarquer que la batterie aide à fournir la puissance nécessaire au pic de charge mais permet également de fournir les faibles puissances et d’éteindre le groupe électrogène. L’évolution de l’état de charge de la batterie le long du profil est visible à la figure 46.
Temps [h] Puissance [kW]
Générateur Charge
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Figure 46 - Evolution de l'état de charge de la batterie
Nous pouvons comparer ces résultats à ceux obtenus avec un groupe électrogène traditionnel composé seulement d’un moteur diesel et d’un alternateur fonctionnant à vitesse constante. Le système doit être dimensionné pour subvenir au pic de charge. Pour fournir une tension de 50Hz, le moteur doit fonctionner à la vitesse de 1500tr/min, or à cette vitesse, le moteur ne peut produire qu’environ la moitié de sa puissance maximale. Le profil de charge choisi possédant un pic de charge de 20kW, nous devons choisir un moteur diesel de plus de 40kW pour y subvenir. Nous choisirons un moteur de 45kW associé à un alternateur de 20kW. Avec un profil de charge dont le facteur de charge est de 30%, le groupe électrogène va souvent être utilisé à faible charge et on peut supposer que le groupe traditionnel va consommer plus que le groupe hybride. On trouve effectivement une consommation de 54.24L pour le groupe traditionnel contre 42.96L pour le groupe hybride qui utilise la stratégie de commande optimale. Les résultats sont résumés dans le Tableau 1.
Temps [h] Etat de charge [%]
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Groupe électrogène
hybride Groupe électrogène traditionnel Profil de charge Aléatoire avec un facteur de charge de 30% Aléatoire avec un facteur de charge de 30%
Maximum du profil de charge 20kW 20kW Pdim moteur 30kW 45kW Gamme de variation de vitesse 1000 – 3000 tr/min 1000 – 3000 tr/min Pdim alternateur 18kW 20kW Udim alternateur 400V 400V C10 100Ah - Nombre de cellules de batterie en série 100 - Vbus 800V - Consommation de carburant 42,96 L 54,24 L
Tableau 1 - Comparatif groupe électrogène hybride et groupe traditionnel
Dans cet exemple, nous obtenons environ 20% de gain sur la consommation. Ces résultats sont d’autant plus encourageants que nous avons dimensionné le système hybride avec des grandeurs approximatives qui ne sont sans doute pas optimales. Nous pouvons donc nous attendre à des résultats encore meilleurs avec un dimensionnement optimisé. Pour cela, nous utiliserons l’algorithme d’optimisation par évolution différentielle que nous décrirons dans la partie suivante.
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V Optimisation par évolution différentielle
Comme cela a été écrit dans la première partie de ce mémoire, la résolution du problème d’optimisation se fera en employant un algorithme évolutionnaire, plus particulièrement de type évolution différentielle. Ce type d’algorithme est bien adapté pour résoudre les problèmes d’optimisation globale avec des variables continues ou discrètes. De plus, les modèles utilisés ne se basent pas uniquement sur des fonctions analytiques bien connues et pourront parfois être non-linéaires, non continus, non dérivables ou sans expression analytique. Un autre argument en faveur du choix d’un algorithme à évolution différentielle réside dans la représentation des solutions sous forme de front de Pareto lorsque des optimisations multi-objectifs sont réalisées.
Nous présentons dans une première partie l’algorithme utilisé. Puis nous détaillerons sa mise en œuvre dans le cas d’optimisations multi-objectifs avec l’approche de Pareto.