D'après la section2.1, les équations de conservation ont une forme qui ne permet de jouer que sur la formulation du tenseur des contraintes dans le milieu sol et du terme de densité d'eorts volumiques. Dans le problème d'érosion, le comportement interne au sol est peu important face à l'écoulement : c'est la contrainte tangentielle exercée par le l'écoulement sur l'interface qui pilote l'érosion (c.f. 1.2.3). Le comportement du sol et de l'écoulement sont cherchés de manière à n'avoir qu'une seule relation, dont les paramètres peuvent être discontinus sur l'interface. Cette relation est cherchée de ma-nière à s'aranchir du repérage des domaines (et du maillage). L'ensemble des méthodes utilisant ce principe sont appelées méthodes des domaines ctifs.
2.2.1 Les méthodes aux domaines ctifs
2.2.1.1 Immersed boundary method (IBM)
La méthode de frontière immergée (Immersed Boundary Method ou IBM) est adaptée aux calculs de mouvements de particules immergées dans un uide, [Roma et al., 1999, Maitre, 2006, Jamali, 2006,Ramière et al., 2007], [Vander Meûlen, 2006]. On considère un uide avec une frontière immergée, par exemple un obstacle solide. On utilise les notations de l'article de [Maitre, 2006] :
On suppose un champ de vitesse Eulérien : (x, t)∈Ω×[0, T]−→ −→u(x, t). La position cartésienne des structures est donnée par :
(r, s, t)∈Γ×[0, T]−→X(r, s, t).
La densité de force est une fonction F connue de (r, s, t). On pose donc nos équations de mouvement :
ρ Dans ce système, ρ et µ sont des constantes (la masse volumique et la viscosité dynamique),p la pression et −→u le champ de vitesses. −→
F comme il est déni, représente une force ne s'appliquant que sur la frontière immergée. La fonction δ est la fonction Dirac discrète. On se repère sur l'interface Γ à l'aide de l'abscisse curviligne.
La formulation mélange variables Lagrangiennes et variables Euleriennes et l'inter-face est donc repérée de manière Lagrangienne (par la variable X). Elle est transportée par l'écoulement grâce à l'équation (2.28). Cette méthode ne convient pas aux problèmes d'érosion car elle se focalise sur les mouvements de corps rigide. En eet elle suppose des obstacles rigides en mouvement alors que les problèmes d'érosion supposent des corps xes dont la forme change.
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2.2 Méthodes de pénalisation Damien Lachouette 2.2.1.2 Domaines ctifs selon Glowinski
Glowinski introduit une méthode de pénalisation faisant intervenir les multiplicateurs de Lagrange, mais la formulation initiale sépare dans un premier temps la partie uide et la partie solide. Le cas étudié par Glowinski [Glowinski et al., 2001] est l'écoulement Newtonnien incompressible et l'action d'un uide sur des particules en suspension (par la suite et sauf mention contraire les équations sont valables sur ]0, T[, les notations utilisées sont celles de Glowinski). Dans Ωf, nous avons :
ρ
On dénit σ de manière classique comme :
σ =τ −pI (2.33)
Avecτ = 2µD(−→u)dans le cas d'un uide Newtonien. Et on a les équations de Newton-Euler pour les corps rigides :
Mid−→ et−→ωi sa vitesse de rotation. On complète le tout avec des conditions initiales pour tous les corps rigides. A présent, on écrit la formulation variationnelle du problème. On garde les mêmes conditions initiales et :
ρR En n'oubliant pas le champ de vitesse solide ((2.32)) appliqué sur chaque morceau de∂Ωs.
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Avec
On utilise alors les domaines ctifs pour modier la formulation variationnelle (com-plète avec les conditions aux limites). La méthode consiste à :
(i) "remplir" les particules avec le uide environnant.
(ii) supposer que le uide dans les particules a un mouvement de corps rigide (iii) utiliser (i) et (ii) pour transformer la formulation variationnelle
(iv) forcer le mouvement de corps rigide dans chaque particule via un multiplicateur de Lagrange distribué dans le domaine de la particule
(v) utiliser (iii) et (iv) pour obtenir une formulation variationnelle impliquant les multiplicateurs de Lagrange forçant le mouvement de corps rigides dans tous les Pi.
- Hypothèse simplicatrice : on suppose que les corps rigides sont formés d'un ma-tériau homogène de masse volumique ρi (on peut même simplier encore en disant que tous les corps rigides sont issus du même matériau)
En passant les détails de calcul (c.f. [Glowinski et al., 2001]), il vient :
W˜0(t) = Pour imposer le mouvement de corps rigides, on utilise une collection de multi-plicateurs de Lagrange : {−→
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2.2 Méthodes de pénalisation Damien Lachouette possibles et présentés par Glowinski, je ne donne que le premier :
<−→µ ,−→v >i= Où les opérateurs "." et ":" sont les produits scalaire et doublement contractant classiques de Rd et li est une longueur caractéristique (le diamètre de Pj par exemple).
Une formulation variationnelle sur Ω tout entier a donc été dénie, il faudra alors la résoudre par éléments/volumes nis par exemple, chercher une discrétisation... etc...
Mais l'ensemble du problème est posé. Un ajout à cette formulation variationnelle par Glowinski concerne les collisions éventuelles des domainesPi en eet si l'on regarde bien la formulation, on s'aperçoit que tout le long on a supposé : ∀(i, j)∈ {1, ..., N p}2, Pi∩ Pj =∅, si i6=j; or les domaines mouvants sont susceptibles de se chevaucher. Mais le traitement des collisions n'est pas un problème trivial.
Cette méthode n'est pas adaptée aux problèmes d'érosion car elle concerne les corps rigides sans déformation. La modication de la méthode pour utiliser des solides dé-formables est possible mais très coûteuse en calculs et donc cette méthode n'a pas été retenue pour la modélisation de l'érosion.
2.2.2 Domaines ctifs selon Angot
Pour l'étude de l'érosion, une formulation plus simple [Angot et al., 1999,Angot, 2005]
du problème pénalisé, mais restant d'une grande précision, a été choisie. Les cas traités par Angot sont des interactions uide/solide, c'est pourquoi il se base sur les équations de Navier-Stokes. De plus, les conditions habituelles d'interface entre un uide et un solide nous donnent une continuité des vitesses et de la pression. L'extension de la pres-sion dans la partie solide se fait naturellement. Angot présente deux méthodes nommées
"pénalisation L2 et H1". D'après l'auteur, la pénalisation H1 n'apporte pas d'amélio-ration signicative (au moins sur l'exemple proposé) et donc seule la pénalisation L2 sera présentée ici. Le problème traité est celui d'un obstacle xe dans un écoulement en charge. On se place dans le cadre des équations de Navier-Stokes incompressibles auxquelles on rajoute un terme de pénalisation du champ de vitesse : dans Ω×]0, T[:
∇.−→uη = 0 (2.47)
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sur∂Ω:
−
→uη = 0 (2.50)
On suppose η <<1, ce sera un paramètre sans dimension de réglage et on écrit que
−
→uη =−→u +η−→
˜
u et pη =p+ηp˜.
En développant l'équation (2.48) et isolant les termes d'ordre égaux enη, on impose bien un un champ de vitesse −→v 0 à la partie solide et que la partie uide est régie par les équations de Navier-Stokes. De plus, en supposant la continuité de−→u,−→
˜ la vitesse imposée au domaine sol est Eulérienne et permet donc les déformations du solide. On a même l'expression du champ de pression à l'intérieur du solide :
∆ps =∇. Des résultats de convergence et d'estimation de l'erreur sont disponibles dans l'article [Angot et al., 1999].