Dans cette thèse, vont être développés un certain nombre de cadres théoriques qui utilise- ront pour la plupart des méthodes d’approximation pour calculer les propriétés à long temps des problèmes décrits par les équations (II.8) et (II.19). Dans le but de valider ces résultats, il est donc nécessaire de pouvoir générer des données numériques et donc de pouvoir simuler cor- rectement ces équations. Les algorithmes utilisés dans cette thèse seront basés sur une version discrète des équations stochastiques différentielles qui s’intégreront avec une précision à l’ordre ∆tnvoulu, ici ∆t sera le pas de temps discret. Les trajectoires ainsi obtenues seront moyennées
sur le bruit thermique (moyenne thermodynamique) mais aussi sur le désordre afin de calculer les quantités voulues. L’algorithme prendra la forme d’une procédure de Runge-Kutta stochas- tique, ce qui est bien plus compliqué que pour une équation différentielle ordinaire à cause d’un nombre plus grand de contraintes à satisfaire pour s’assurer que l’évolution est bien correcte à l’ordre en ∆tn voulu. Ce type d’algorithme a été développé dans [56–58], et un point de vue
mathématique plus rigoureux peut être trouvé dans [59, 60].
La forme la plus générale que peut prendre l’équation d’évolution de la densité de probabilité ρ(x, t) de la particule est donnée par l’équation de Fokker-Planck suivante :
∂
∂tρ(x, t) = ∇. (κ(x)∇ − u(x)) ρ(x, t) = Hρ(x, t), (II.31)
où κ(x) est un champ de diffusivité aléatoire et u(x) un champ de vitesse aléatoire statique (u ne dépend pas du temps). Chacun de ces deux champs peut avoir une statistique qui sera définie par leur fonction d’autocorrélation respective. Il est d’ailleurs possible d’étendre ces résultats au cas où u dépend du temps, ce qui arrive par exemple en présence de flux turbulent, mais ceci reste en dehors du cadre de cette thèse. Il est clair que cette équation reproduit et généralise les deux problèmes étudiés. En effet, si on fixe u(x) = 0, on retrouve l’équation (II.21) du problème (DA), et si on choisit κ(x) = κx et que l’on note u(x) = −∇V (φ(x)), on obtient l’équation
(II.15) du problème (PA).
On considère N particules aux positions xi(t), i = 1, 2, ..., N , au temps t, distribuées suivant
ρ(x, t). L’équation d’évolution des positions de chaque particule au temps t + ∆t qui assure la bonne évolution de ρ(x, t) définie par (II.31), à l’ordre O(∆t), est donnée par :
1. DIFFUSION DANS UN MILIEU DÉSORDONNÉ où η est un vecteur dont chaque composante est une variable aléatoire Gaussienne indépen- dante, de moyenne nulle et de variance égale à un. Dans les simulations, le pas de temps ∆t sera le plus souvent de l’ordre de 0.01. Malheureusement, avec cet algorithme, l’erreur se propage en ∆t et les simulations devront être réalisées sur des temps longs (ce qui est encore plus vrai proche d’une transition vitreuse où la dynamique pour atteindre l’équilibre est de plus en plus lente), ce qui le rend trop imprécis. Dans ce cas, il nous faut construire un algorithme plus pré- cis, au moins jusqu’à l’ordre O(∆t2). Pour cela, on va utiliser des pas de temps intermédiaires
pour construire le pas final de ∆t dans la procédure de Runge-Kutta stochastique. Si f est une fonction quelconque de x, alors sa valeur moyenne, à l’instant t, va être donnée par :
hf(x)it=
Z
dxf (x)ρ(x, t), (II.33)
où ρ(x, t) est la probabilité de trouver une particule à la position x et au temps t, donnée par l’équation (II.31). Pour calculer la valeur moyenne de f(x) à l’instant suivant, t + ∆t, il nous faut pouvoir écrire ρ(x, t + ∆t). A partir de l’équation (II.31), on peut décrire l’évolution de ρ sous la forme d’un propagateur :
ρ(x, t + ∆t) = exp(∆tH)ρ(x, t), (II.34)
Si ∆t << 1, nous pouvons développer l’exponentielle, ce qui nous donne à l’ordre O(∆t3) :
hfit+∆t = Z dxρ(x, t) µ 1 + ∆tH + 1 2∆t 2H2 ¶ f (x) + O(∆t3). (II.35)
L’évolution discrète de ρ peut aussi, de manière équivalente, être décrite par une fonction de cœur K(x′, t + ∆t; x, t). Elle correspond alors à la distribution de probabilité de trouver la
particule en x′ à t + ∆t, sachant qu’elle se trouvait en x au temps t. Pour connaître l’évolution
de ρ au temps t + ∆t, il suffit alors de sommer sur tous les chemins possibles, ce qui donne ρ(x′, t + ∆t) =
Z
dxK(x′, t + ∆t; x, t)ρ(x, t). (II.36)
L’astuce est maintenant de choisir x′ = x + ξ et de supprimer toutes dépendances de K en x,
t et ∆t. Alors K va s’écrire comme une distribution piquée et centrée autour de ξ que nous allons noter F (ξ). En utilisant cette définition dans (II.36), l’évolution de la valeur moyenne de f au temps t + ∆t va s’écrire :
hfit+∆t=
Z
dxdξf (x + ξ)F (ξ)ρ(x, t). (II.37)
Comme F (ξ) est piquée autour de ξ, on peut développer f(x + ξ) en série de Taylor, et après intégration par partie de (II.37), nous obtenons :
hfit+∆t= Z dxf (x)(1 − ξi∇i+ 1 2ξiξj∇i∇j −1 6ξiξjξk∇i∇j∇k+ 1 6ξiξjξkξl∇i∇j∇k∇l)ρ(x, t) + O(∆t 3), (II.38) avec ξi1. . . ξin = Z dξξi1. . . ξinF (ξ). (II.39)
CHAPITRE II. MILIEUX DÉSORDONNÉS & MODÈLE DE PIÈGES
Le but est maintenant de choisir des contraintes sur F (ξ) de manière à égaliser les formules (II.35) et (II.38) pour hfit+∆t à tous les ordres en ∆t. On voit ici la difficulté de construire
un algorithme de Runge-Kutta stochastique : en effet, pour obtenir une précision de O(∆tn),
l’algorithme va nécessiter un tenseur de 2n contraintes, alors que pour un algorithme non sto- chastique, n contraintes suffisent. Ainsi, pour construire les pas intermédiaires de l’algorithme, il faut fixer un certain nombre de valeurs suivant le problème étudié (la solution n’est pas tou- jours unique). On trouvera plus de détails dans [57], et nous allons ici seulement les résultats du calcul pour les deux problèmes qui nous intéressent ici, (PA) et (DA). Pour le problème (PA) nous obtenons l’algorithme suivant :
x(t + ∆t) = x(t) + ∆x = x(t) + u(x(t) + ∆x1)∆t +pκ0∆t(η1+ η2),
avec ∆x1 = u(x(t))
∆t
2 +pκ0∆tη1,
(II.40) où η1 et η2 sont des variables aléatoires Gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et de
variance égale à un pour chaque composante. Pour le problème (DA), les choses sont un peu plus compliquées et nous avons :
x(t + ∆t) = x(t) + ∇κ(y1)∆t +√∆tnpκ(x)η1+
h
α1pκ(y2) + α2pκ(y3)
i
η2o. (II.41) Où les paramètres α1 et α2 sont donnés par
α1 = 1 2( √ 2 + 1); α2 = − 1 2( √ 2 − 1), (II.42)
et les pas intermédiaires par
y1 = x + 12∇κ(x)∆t +pκ(x)∆tη1, y2 = x + 1 2∇κ(x)∆t +p2κ(x)∆tη1, y3 = x + 1 2∇κ(x)∆t −p2κ(x)∆tη1. (II.43)
2
Modèle de pièges
Nous allons maintenant nous pencher sur le deuxième modèle introduit précédemment. Ce modèle ne se limite pas aux résultats que l’on présente ici, et il a de nombreux champs d’application. La version unidimensionnelle a, par exemple, des applications concernant les propriétés de transport dans les chines désordonnées [37,61], mais aussi dans la dynamique des bulles de dénaturation dans les séquences aléatoires d’ADN [62].