CHAPITRE 4 RÉDUCTION DU MODÈLE : PROBLÉMATIQUE
4.2 Méthodes non intrusives de réduction ou concept de la boîte noire
L’utilisation des modèles de calculs de haute précision (high-fidelity) reste problématique dans le domaine du design en ingénierie, du fait du coût élevé des simulations avec l’application des algorithmes d’optimisation ou d’analyse des incertitudes. Par ailleurs, l’obligation d’utilisation de codes commerciaux en l’absence de codes "maison" a rendu nécessaire le développement de modèles d’approximation pour l’analyse. Ainsi, un gain en coût de calculs peut être obtenu par couplage des modèles d’optimisation avec le modèle d’approximation en lieu et place du modèle original. Cette approche est dite non intrusive car aucune modification n’est apportée au code original. Ce dernier est sollicité comme une "boîte noire", soit sans considération de la structure interne du système, pour la simulation d’un nombre réduit de scénarios différents, définis par des paramètres d’entrée présélectionnés.
Les solutions obtenues génèrent un plan d’expérience relatif aux paramètres d’entrée et de sortie. Le modèle approximatif ou meta-modèle est construit par apprentissage à travers le plan d’expérience obtenu. Des techniques d’interpolation ou de régression peuvent être utilisées pour la construction du meta-modèle.
4.2.1 Les surfaces de réponse
L’origine des surfaces de réponse date selon Keane et Nair (2005) du début du XXe siècle avec le besoin pour des scientifiques du domaine de la biologie et de l’agriculture de développer de nouveaux outils pour la modélisation des données expérimentales. Ces travaux utilisaient des techniques de régression pour des données indépendantes et des modèles d’approximation linéaires ou quadratiques lorsque la génération des données était coûteuse.
En analyse de fiabilité, le principe des surfaces de réponse est d’approcher la fonction d’état limite implicite G X( ) estimée ponctuellement par un code éléments finis ou volumes finis ou des données expérimentales, par une fonction équivalente G Xˆ ( ) en terme de réponse
explicite et simple à manipuler. Une telle fonction utilisée en remplacement du modèle explicite permet un gain appréciable en temps de calculs. La fonction peut être construite à l’aide de méthodes de régression et à l’aide de polynômes linéaires ou de second degré.
La surface de réponse est construite à partir d'un plan d’expérience défini dans un espace standardisé. Les coordonnées des points du plan d’expérience définissent les données des calculs du modèle déterministe original. Le nombre de points expérimentaux du plan d’expérience est choisi de sorte à avoir autant d’équations que d’inconnues pour la détermination des coefficients du polynôme définissant la fonction équivalente. Ces coefficients peuvent être ajustés par la méthode des moindres carrés. La qualité de la surface de réponse réside essentiellement dans le choix de la forme de la surface de réponse et des points du plan d’expérience qui doivent permettre une reproduction fidèle des résultats du modèle déterministe.
La littérature fait cas de plusieurs travaux utilisant les surfaces de réponse couplées à des méthodes stochastiques pour une analyse de fiabilité avec des applications intensives en structures (Gomes et Awruch, 2004; Nguyen et al., 2009; Wu, Yu et Zhao, 2005). Elle reste cependant moins fournie en travaux portant sur la simulation des écoulements d’eaux peu profondes au moment où nous réalisons ce projet.
4.2.2 Approximation de modèle basée sur les réseaux de neurones artificiels
Les réseaux de neurones artificiels (RNA) constituent une nouvelle approche mathématique flexible capable d’identifier des relations complexes non linéaires entre des données d’entrée et de sortie d’un système. Leur conception est réalisée par analogie au fonctionnement des cellules du système nerveux humain ou des vertébrés en général. Selon la modélisation mathématique du fonctionnement du neurone proposée par Mc Culloch et Pitts (1943), chaque cellule du système nerveux reçoit des informations représentées par un vecteur
donnée
{
x x x1, 2, , ,3 xn−1, xn}
, effectue une somme pondérée 1 n i i i S w x = =
et génère un résultat y à travers éventuellement une fonction de transfert f comme décrit à la figure 4.1.1
,
( )
n i i iS
w x
f S
==
y
1x
2x
3x
1 nx
− nx
1w
nw
1 nw
− 2w
2w
Figure 4.1 Modèle du fonctionnement d’un neurone artificiel
La définition de l’architecture et l’apprentissage constituent les phases principales de la construction d’un réseau neuronal. La définition de l’architecture consiste au choix du vecteur d’entrée (en rapport avec les résultats du modèle déterministe), en la définition : du nombre total de couches et des neurones (taille du réseau); du type d’interconnexion entre les couches et enfin des fonctions de transfert. L’apprentissage est un processus adaptatif au cours duquel les relations complexes entre les données et les résultats numériques sont assimilées et les interconnexions entre les couches sont ajustées. Lorsqu’une architecture et un algorithme d’apprentissage adéquats sont établis, le modèle réduit de RNA peut être très efficace en termes de temps de calculs et de prédictions du phénomène étudié pour des paramètres d’entrée dans l’ordre de grandeur de ceux ayant servi à la phase d’apprentissage (Dibike, Solomatine et Abbott, 1999).
Plusieurs applications sont concernées. Les domaines couverts sont entre autres : la prédiction et la prévision; l’optimisation et la planification; la reconnaissance de formes; le traitement de signal et d’image (Zeng, 2010). Les réseaux de neurones ont pu être également
utilisés en hydraulique numérique (Dibike, Solomatine et Abbott, 1999; Solomatine et Torres, 1996). Dartus et al. (1993), dans le but de montrer que cet outil est suffisamment fiable pour être utilisé dans le cadre de la gestion en temps réel des réseaux d’assainissement, ont procédé à l’étude de la propagation d’une onde de crue dans un canal. Un réseau de trois couches ayant dix neurones chacune a été utilisé. La phase d’apprentissage est réalisée avec un échantillon de 1000 valeurs d’hydrogramme. Les résultats pour 200 tests ont été ensuite validés par comparaison à ceux fournis par un modèle numérique de type Muskingum-Cunge rendant bien compte de la diffusion pour un canal à pente faible. Les résultats montrent que les réseaux de neurones donnent des résultats proches de ceux du modèle de référence. Cependant, la qualité de la réponse du réseau de neurones reste liée intrinsèquement au nombre d’exemples servant à la phase d’apprentissage. En effet dans l’étude de Dartus et al. (1993), pour un nombre réduit de 20 exemples, les résultats montrent des erreurs allant de 6% à 15% pour 20 tests. D’autre part Dibike, Solomatine et Abbott (1999) dans leur étude relative à l’application des réseaux de neurones à la gestion du système des réservoirs dans le bassin de la rivière Apure (Venezuela), montrent que le surapprentissage peut affecter les performances du modèle de réseau de neurones. Ils suggèrent à cet effet une limitation du nombre de couches neuronales cachées ou celle du nombre d’itérations durant la phase d’apprentissage.
Les limites essentielles des méthodes non-intrusives résident dans la nécessité d’utilisation d’un nombre important de données expérimentales ou numériques à l’aide du modèle explicite (coûteux) pour la construction d’un meta-modèle offrant des résultats d’une certaine précision (Forrester, Sóbester et Keane, 2008; Keane et Nair, 2005). En outre, les méthodes non-intrusives exigent généralement une certaine expertise de la part de l’utilisateur, du fait de leur grande dépendance aux choix des scénarios (échantillonnage) servant à la phase d’apprentissage et aux techniques de calibrage (Martinez, 2009).