Chapitre I : Synthèse bibliographique
4. Résolution d’équations aux dérivées partielles
4.1. Méthodes d’intégration sur l’espace
Le minimum d’épaisseur ne peut donc valoir 0 que si kp vaut 0. Cela implique qu’un alliage chromino-formeur ne peut pas perdre sa couche d’oxyde d’après ce modèle à moins que kp n’atteigne une valeur nulle. Ce modèle, bien qu’il prédise la croissance parabolique de la chromine dans les liquides silicatés (fait expérimentalement constaté dans certains cas), ne permet pas de prédire le phénomène de dépassivation abordé dans la section précédente.
4. Résolution d’équations aux dérivées partielles
Cette section a pour but de présenter les méthodes numériques permettant de résoudre des équations aux dérivées partielles telles que l’on peut en rencontrer lorsque des réactions chimiques sont couplées à des phénomènes de transport de matière.
4.1.Méthodes d’intégration sur l’espace
4.1.1. Les différences finies
La méthode des différences finies est une approximation mathématique des opérateurs des dérivées spatiales [120]. Cette méthode est la forme d’approximation la plus simple en ce qui concerne les équations aux dérivées partielles (Partial Differential Equation ou PDE). L’explication suivante se base sur une géométrie spatiale simple à une dimension d’espace. L’espace est divisé en nœuds, possédant une position, sur lesquels la fonction étudiée (nommée u(x,t)) prend une valeur. Il faut définir les dérivées spatiales de u, la dérivée d’une fonction étant décrite ainsi :
Si la fonction u n’est définie que sur les nœuds de l’espace, alors l’expression ci-dessus ne s’applique qu’entre deux nœuds consécutifs.
Avec xn la position du niéme nœud. Cela permet de définir un opérateur dérivée première
de la fonction u. Cet opérateur nécessite deux nœuds consécutifs : il n’est donc pas défini aux
lim h→0 u(x + h, t) − u(x, t) h = ∂u ∂x Equation I - 51 u(xn+1, t) − u(xn, t) xn+1−xn = ∂u ∂x Equation I - 52
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bords d’un domaine spatial fini. Pour pallier cela, il convient de donner les conditions aux limites qui correspondent ici à la valeur de la fonction u sur des nœuds fictifs de part et d’autre du domaine comme montré sur a Figure I - 22.
Figure I - 22 : Schéma d’un domaine spatial en différences finies.
L’application de l’Equation I – 52 une seconde fois conduit à la définition de l’opérateur dérivée seconde.
Ce qui se simplifie en :
Il est à noter que le développement donné ici correspond à un cas général dans lequel les nœuds sont espacés de façons différentes. S’ils sont espacés de façon régulière, l’Equation I – 54 se simplifie en une forme plus courante [120]. De plus, les dérivées première et seconde peuvent facilement se mettre sous la forme de produits de matrices, ce qui peut simplifier l’écriture d’un code. Cet opérateur de dérivée seconde nécessite trois nœuds pour être réalisé.
Pour une application pratique, considérons la PDE suivante :
La forme différences finies correspond à l’expression suivante :
(u(xn−1, t) − u(xn, t) xn−1− xn − u(xn, t) − u(xn+1, t) xn− xn+1 ) 1 2(xn+1− xn−1) = ∂ 2u ∂x2 Equation I - 53
(xn− xn+1)u(xn−1, t) − (xn−1− xn+1)u(xn, t) + (xn−1− xn)u(xn+1, t) 1 2(xn+1− xn−1)(xn−1− xn)(xn− xn+1) =∂ 2u ∂x2 Equation I - 54 ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 Equation I - 55
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L’opération a permis de transformer une PDE (fonction de x et t) en un système de n (nombre de nœuds) équations ordinaires (fonction de t). La résolution de la PDE revient à intégrer le système de n équations sur le temps (section 4.2.). Il est à noter que le schéma peut être écrit en dimension 2 ou 3, mais la géométrie est souvent limitée à des rectangles ou pavés droits.
4.1.2. Les volumes finis
La méthode des volumes finis est une approximation basée sur une intuition physique [121], contrairement à la méthode des différences finies qui est une approximation mathématique. La méthode des volumes finis a été développée pour résoudre des problèmes de type loi de conservation.
Avec u la grandeur étudiée, ∇⃗⃗ l’opérateur de dérivée spatiale, V⃗⃗ le champ de vitesse qui
entraine la grandeur u et τu le taux de production de la grandeur u. Il est utile de noter que le
terme V⃗⃗ · u représente un flux. La loi de conservation est un bilan des flux entrants et sortants
d’un volume infinitésimal. Appliquée à la quantité de mouvement d’un fluide, elle permet de trouver les équations de Navier-Stokes ; sur la concentration d’un composé chimique, elle
donne la seconde loi de Fick (dans ce cas V⃗⃗ = −D∇(u)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
u avec D le coefficient de diffusion) ; dans
le cas de réactions chimiques, τu représente la cinétique de ces réactions. L’approximation des
volumes finis consiste donc à considérer le volume élémentaire infinitésimal comme de dimension finie. L’espace (3D, 2D ou 1D selon le problème à résoudre) est maillé par des formes géométriques. La fonction u prend une valeur constante dans chacun de ces volumes.
La définition du flux (noté J) permet de donner le flux de u échangé entre chaque volume.
L’évolution de la grandeur u dans un volume et donc donnée par la relation suivante. ∂u(xn, t)
∂t =
(xn− xn+1)u(xn−1, t)− (xn−1− xn+1)u(xn, t)+ (xn−1− xn)u(xn+1, t)
1
2(xn+1− xn−1)(xn−1− xn)(xn− xn+1) Equation I - 56
∂u
∂t + ∇⃗⃗ · (V⃗⃗ · u) = τu
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ui est la valeur de u dans le volume i, k est un volume voisin de i, n représente l’ensemble
des volumes voisins de i, Si/k est la surface entre les volumes i et k, Ji/k est le flux entre les
volumes i et k, Vi est le volume (longueur3) du volume élémentaire i et τui est le taux de
production de la grandeur u dans le volume i.
Les avantages de cette approche sont la simplicité de sa mise en œuvre et la conservation des flux. En effet, les différences finies constituent une approximation mathématique qui peut générer des erreurs et imprécisions. Le schéma des volumes finis est une représentation physique basée sur le bilan de la grandeur étudiée. Les flux sont intrinsèquement conservatifs : la grandeur u est donc conservée par ce schéma. De plus, les géométries permises par ce schéma sont bien plus variées que les carrés et les cubes des différences finies.
Comme pour la méthode des différences finies, les volumes finis permettent de transformer une PDE fonction de la position et du temps, en un système d’équations différentielles ordinaires fonctions du temps. Un exemple de l’application de ce schéma numérique est donné dans le Chapitre II, section 4.1. pour la seconde loi de Fick en géométrie semi-infinie à une dimension.