Méthodes d’extraction

O Modelo Linear Elástico da Fratura, MLEF, obviamente, não pode ser diretamente aplicado ao estudo da fratura de materiais que apresentam uma significante zona de micro- fissuras. Portanto, a aplicação numérica no campo da mecânica da fratura se faz, basicamente, com a utilização de dois modelos de fissuração de enfoques distintos, são eles o Modelo da Fissura Discreta e o Modelo da Fissura Distribuída. Estes modelos são utilizados para modelar a propagação de fissuras em geral.

O primeiro baseia-se na idéia de se trabalhar com a parte do sólido que é contínua. No momento que se detecta a aparição de uma fissura, seus lábios se incorporam ao contorno do sólido analisado. Este método, pelo fato de representar a falha através de uma única linha de fissura, é aplicado em casos de propagação de uma ou de poucas fissuras. No segundo, a fissura é incluída no meio contínuo e modelada utilizando campos de deslocamentos contínuos. Além disso, as fissuras são distribuídas dentro de uma banda de

elementos, possibilitando a análise de casos que apresentam várias fissuras paralelas entre si, (Oliver,1990).

Enquanto o Modelo da Fissura Discreta trata o problema através de uma descontinuidade física, o Modelo da Fissura Distribuída utiliza a teoria do contínuo, na qual uma concentração de deformações localizada representa o fenômeno de propagação de várias fissuras inseridas numa área pré-determinada.

A seguir uma explanação mais elaborada destes dois métodos será dada, na qual serão destacados os principais pesquisadores que contribuíram para a consolidação e aprimoramento teórico dos modelos não lineares. Desta forma, cada metodologia será facilmente assimilada, o que facilitará o entendimento da aplicação da Mecânica da Fratura Não Linear.

3.3.1- Aproximação da Fissura Discreta (Modelo Coesivo)

No modelo coesivo, o sólido é considerado homogêneo e o comportamento em qualquer ponto é isotrópico linear (material com o mesmo comportamento mecânico em qualquer direção) até o momento em que a tensão principal atinge seu valor crítico. A partir deste instante, começa-se a produzir a descontinuidade, e a consideração dos mecanismos coesivos entre os lábios da fissura estabelece uma diminuição progressiva das tensões com a abertura da fissura durante um certo período. A não linearidade é, desta forma, descrita em termos da relação entre as tensões coesivas e a abertura da fissura.

Nesta forma de aproximação, a fissura é considerada como uma falha localizada numa superfície, onde há uma descontinuidade de deslocamento. Frente a esta superfície descontínua, se desenvolve uma linha de fissura sobre a qual atuam forças que agem no sentido oposto a sua abertura. Estas forças são denominadas forças coesivas e a essência deste modelo consiste em considerar a presença delas sobre uma área localizada.

Existem várias versões deste modelo. Dugdale, em 1960, estudando a fratura dúctil, propôs um modelo matemático com uma tensão coesiva constante, Figura 3.6, afirmando, ainda, que a tensão na extremidade da fissura nunca excede a tensão plástica do material, (Planas e Elices, 1993).

=

+

Figura 3.6: Modelo de Dugdale, 1960, (Petersson, 1981).

Barenblatt (1962), analisando materiais frágeis, usou o modelo coesivo em uma pequena região próxima à extremidade da fissura, onde afirmou existirem forças coesivas agindo entre as faces da fissura, Figura 3.7. Em sua formulação, estas forças coesivas, variáveis com a deformação, são responsáveis por eliminar a singularidade observada por Inglis, em 1913. O autor limita suas análises para casos onde o tamanho da zona coesiva é muito pequeno em relação ao comprimento da fissura, (Planas e Elices, 1993).

2a

d d

Figura 3.7: Forças de coesão na extremidade da fissura, (Petersson, 1981).

A aplicação do modelo coesivo voltado para o concreto foi introduzida por Hillerborg et al (1976). Na sua teoria é considerado um abrandamento progressivo do material depois que as tensões coesivas atingem seu valor máximo. No item 3.4.1, encontrar-se-á mais detalhes a respeito desta versão do modelo coesivo.

Há ainda, o Método das Faces Coesivas cuja teoria está baseada nos trabalhos de Dugdale de 1960 e Barenblatt de 1962. As interfaces coesivas podem ser consideradas elementos

virtuais que apresentam uma relação constitutiva simulando as forças coesivas na região da ponta da fissura. Sua aplicação está voltada para o conceito da fratura discreta na qual as trincas são modeladas pela separação entre elementos nas suas faces.

Fedrigo et al, (2001), Needleman (1987 e 1990), Xu e Needleman (1993) e Tvergaard e Hutchinson (1993 e 1996) utilizaram este método, juntamente com a análise de elementos finitos, para o mapeamento da trajetória da fissura. Este modelo discreto é composto de elementos finitos volumétricos, contornados por elementos de interfaces coesivas. A criação de interfaces é feita ao longo do contorno dos elementos, sendo que não há limitação quanto a sua localização. Com esta abordagem, a trinca pode se propagar pelo contorno dos elementos através do rompimento das interfaces, sem que se tenha que determinar o caminho assumido pela trinca.

3.3.2- Aproximação da Fissura Distribuída

Esta aproximação se baseia na idéia de se utilizar equações da mecânica do contínuo durante todo o processo. A fissura e a zona de fratura são modeladas por um campo de deformações localizado dentro de uma pequena área, a qual é chamada de Banda de Fissura. A não linearidade, neste caso, é descrita em termos da relação entre as tensões e as deformações.

A concentração de deformações produzida no interior da banda de fissura apresenta valor muito alto (teoricamente infinito) em comparação com seu exterior. A diferença de deslocamentos de um lado ao outro da banda de fissura representa a descontinuidade dos deslocamentos nos lábios da fissura.

O Modelo da Fissura Distribuída foi primeiramente utilizado por Rashid, em 1968. Ele representou o concreto fissurado como um material ortotrópico (material de mesmo comportamento mecânico qualquer que seja a rotação dos eixos cartesianos, x, y e z), cujo módulo de elasticidade foi reduzido na direção normal ao plano da fissura. Na sua aproximação, a tensão no elemento é limitada pela resistência do material. O abrandamento progressivo do material não é considerado, ou seja, depois que a tensão atinge seu valor máximo, ela cai bruscamente para zero, (Carpinteri et al, 2003).

Seguindo o princípio da Aproximação da Fissura Distribuída, Bazant e Oh, em 1983 desenvolveram um método não linear considerando, agora, o abrandamento do material. Foi chamado de Modelo da Banda de Fissura. O objetivo era suprir as desvantagens oferecidas pelo Método Coesivo de Hillerborg, principalmente no que se refere ao custo computacional quando se utiliza o Método dos Elementos Finitos. O bom desempenho do método foi atestado ao longo do tempo com algumas análises comparativas. O detalhamento deste método, bem como o de Hillerborg, será descrito a seguir.

3.4 - MODELOS STRAIN-SOFTENING PARA A ANÁLISE NÃO LINEAR DO