Méthodes de résolution

La modélisation électromagnétique dans l’entrefer d’une machine électrique est une étape clé dans

le dimensionnement d’un actionneur. Beaucoup de contributions scientifiques ont été apportées aux

différentes approches de modélisation qui peuvent être classées en trois catégories :

▪ Les modèles analytiques

Un modèle de ce type a été utilisé au cours du chapitre sur le dimensionnement. La puissance ou le couple est souvent donné par une seule équation simplifiée [GIE09]. En utilisant ce genre de modèle,

on recherche plus l’ordre de grandeur que la précision des résultats.

▪ _{Les modèles numériques}

Les méthodes numériques sont réputées précises. Elles permettent de représenter des géométries complexes bi- ou tridimensionnelles. De plus, le comportement non-linéaire comme la saturation des matériaux ferromagnétiques et le comportement non-homogène des matériaux peuvent être pris en

compte. Il est également possible d’inclure le mouvement du rotor afin de réaliser des calculs

dynamiques sur le comportement de la machine électrique [COM].

Les méthodes numériques principalement utilisées pour la modélisation des actionneurs électriques sont :

− Les différences finis

− Les éléments finis

La méthode de résolution par éléments finis est la plus populaire [MAR08][SIZ12][AYD01]. On la retrouve dans la plupart des logiciels commerciaux de calculs de physique. Ces logiciels sont bien adaptés pour effectuer des modélisations multi-physiques comme l’électromagnétisme, la thermique

et les contraintes mécaniques qui sont trois aspects importants dans le dimensionnement d’une

machine électrique. Néanmoins, le temps de calcul croit avec la précision et les contraintes du modèle.

Il n’est donc pas conseiller d’utiliser ce type d’approche dans une démarche d’optimisation.

▪ Les modèles semi-analytiques

Les modèles semi-analytiques sont une hybridation des modèles analytiques et numériques, car le problème consiste en une multitude de problèmes interconnectés dont la solution de chaque problème est donnée analytiquement. Le temps de calcul de ces modèles est généralement très rapide. Il existe une multitude de modèles semi-analytiques, qui sont employés pour le calcul du champ magnétique dans une machine électrique. Ils existent plusieurs méthodes mais les deux principales sont :

− Les réseaux de réluctances [NED11]

Les réseaux de réluctances sont basés sur le découpage en éléments de la structure à étudier.

Chaque élément constitue ce qu’on appelle un tube de flux. La Figure 3.1 représente un élément et

l’équivalence électrique du modèle qui est également traduite dans le Tableau I. Evidemment plus il y

a de tubes de flux dans la structure, plus la solution sera précise mais au détriment du temps de résolution.

S

S

Figure 3.1 : Tube de flux et équivalence électrique Tableau I : Equivalence circuit électrique / circuit magnétique

Circuit électrique Circuit magnétique

Tension (V) Potentiel magnétique (A) Courant (I) Flux magnétique (Wb)

Résistance électrique (Ω) Réluctance magnétique (H-1)

La Figure 3.1 représente un tube de flux en 1D où le champ magnétique traverse uniquement les surfaces S1 et S2. Cependant, les problèmes à traiter peuvent être aussi bien 2D que 3D, dans ce cas la conservation du flux magnétique doit être vérifiée sur toutes les surfaces du tube. Avec cette méthode, les effets de saturation peuvent être pris en compte avec une méthode itérative.

Cependant, ils ne sont pas aussi génériques que des méthodes numériques via un logiciel

commercial. En effet, dans une étape d’optimisation la géométrie de la machine électrique peut

− La résolution par la méthode de séparation de variables

Le problème est divisé en sous-domaines dont les propriétés électriques et magnétiques sont constantes sur le sous-domaine. Au sein de ces sous-domaines, les équations aux dérivées partielles issues des équations de Maxwell sont résolues analytiquement. La résolution se fait en séparant les

variables du problème afin d’obtenir une décomposition de série de Fourier. Un problème de ce type

est montré sur la Figure 3.2 permettant de calculer le champ magnétique dans l’entrefer d’une

machine électrique à topologie radiale.

Profitant d’un fort engouement par la communauté scientifique autour du dimensionnement

d’actionneurs électriques, la plupart des topologies de machines ont été étudiées. La géométrie est

souvent 2D ce qui convient aux structures de machines radiales en négligeant les effets de bords [LUB11][LUB11-2][SPR15]. Concernant les machines axiales, il est possible de considérer un rayon

moyen mais comme la longueur d’un pôle varie suivant le rayon, les erreurs de cette approche peuvent

être importantes [LUB12]. Pour cela, des modèles quasi-3D ont été développés pour palier à ce problème qui consiste à résoudre plusieurs problèmes 2D à différents rayons et d’additionner les contributions [TIE12][AZZ05][PAR04]. L’inconvénient d’une telle approche est l’augmentation du

temps de calcul avec le nombre de problèmes résolus.

Des modèles en 3D existent également qui ont l’avantage d’être très précis mais plus complexe à

mettre en œuvre si l’on veut opérer sur des structures axiales sans négliger les effets de courbure

[DOL14][LUB17][BAR12].

Du point de vue de la physique, la non-linéarité du fer ne peut être prise en compte. La perméabilité de ces matériaux est considérée soit infinie soit constante. Ces hypothèses peuvent convenir à une

machine électrique standard où la saturation du fer n’est que locale. Par contre dans le cas d’une

machine supraconductrice, le flux est plus important et la saturation est généralisée. Ainsi pour limiter

le taux d’erreur, le modèle proposé ne peut contenir des éléments ferromagnétiques.

R1 R2 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ ^𝜕 2𝐴_𝑧 𝜕𝑟2 +¹ 𝑟 𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑟 ⁺ 1 𝑟2 𝜕2𝐴_𝑧 𝜕𝜃2 = 0 𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 ∶ ^{𝑅1≤ 𝑟 ≤ 𝑅2} 0≤ 𝜃 ≤2𝜋 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑢𝑥𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒𝑠 ∶ 𝐴_𝑧 𝑅₁, 0 =𝑔(𝜃) 𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑟 _𝑟=𝑅2 ^=𝑓(𝜃) 𝐴_𝑧 𝑅₁, 0 =𝑔(𝜃) 𝜕𝐴_𝑧 𝜕𝑟 _𝑟=𝑅2^=𝑓(𝜃) ∆𝐴_𝑧 = 0

Figure 3.2 : Problème du champ magnétique dans l’entrefer [LUB]

En conclusion, la nécessité d’avoir un modèle de calcul rapide et relativement précis élimine les solutions numériques et analytiques. Le but du modèle est d’optimiser la géométrie de la machine afin

d’en diminuer sa masse. La variation des dimensions peut être importante. Donc, pour notre

application, la généricité est plus importante que la prise en compte de la saturation de la culasse. Nous choisissons ainsi la méthode de séparation de variables. L’ajout des matériaux ferromagnétiques

nécessaire car l’utilisation de méthodes semi-analytiques amène la plupart du temps à prendre initialement des hypothèses sur la réalité.