Méthodes de calibration des accélérogrammes :

On dispose de plusieurs méthodes de calibration des mouvements sismiques. Parmi celles qui sont utilisées, on retrouve : (a) les méthodes de calibration basées sur un facteur d’étalonnage, (b) la méthode de calibration dans le domaine fréquentiel et (c) la méthode de calibration dans le domaine temporel.

2.3.1.1 Méthodes de calibration basées sur un facteur d’étalonnage Méthode du PGA

Cette méthode est très connue et utilisée pour calibrer des accélérogrammes sur le spectre de réponse cible. Dans cette méthode un facteur d’étalonnage est déterminé à l’aide de l’équation 2.3. Ce facteur est ensuite appliqué à l’ensemble de l’accélérogramme. Cette méthode de calibration ne prend pas en compte ni le contenu fréquentiel du mouvement sismique ni la période de la structure.

=

é é (2.3)

Méthode du Sa (T1)

Cette méthode présentée par Naumoski et al. (2004) prend en compte les caractéristiques de la structure. Elle utilise le rapport entre l’accélération spectrale du premier mode de vibration de la structure obtenue du spectre de réponse cible et celui obtenu du spectre de l’accélérogrammes (Équation 2.4). Le résultat est très bon pour un système à 1DDL dans le domaine élastique. Par contre la méthode perd son exactitude quand les modes supérieures deviennent importants et quand le comportement non linéaire de la structure est désiré.

( ) = _{( )} (_{é é}) (2.4)

Méthode du SIa

Dans cette méthode le facteur d’étalonnage (Équation 2.5) est déterminé de sorte que l’aire sous la courbe du spectre de réponse cible, dans un intervalle de périodes choisi, et celle du spectre de l’accélérogrammes considéré soient égaux. L’intervalle de périodes choisi est un élément important à considérer dans cette méthode. Celui-ci est généralement situé entre 0 s et 1,2 T1. Cette méthode donne de bons résultats dans le cas des systèmes à plusieurs degrés de liberté.

= ( )

é é ( ) (2.5)

Méthode de l’ASCE

La méthode est présentée par l’American Society of Civil Engineering (ASCE 2005). L’intégrale de l’accélération spectrale du spectre de l’accélération choisi doit être au moins égal à celui du spectre de réponse cible. La plage de période suggérée est à considérer entre 0,2 T1 et 1,5 T1, où T1 est la période fondamentale de vibration de la structure.

Méthode de l’ATC

La méthode de calibration de l’ATC (2009) comporte principalement deux étapes :

a) la première étape consiste à calculer la médiane du PGV (Peak Ground Velocity) pour

l’ensemble des accélérogrammes choisis et à faire l’étalonnage du PGV de chaque accélérogramme avec la médiane du PGV obtenue.

b) la deuxième étape consiste à calculer un facteur de calibration à l’aide de l’équation 2.6 :

FA = _{é (} ( )

é é ( )) (2.6)

Où : ( ) est la valeur de l’accélération du spectre de réponse cible à la période T1 et é é ( ) est la valeur de l’accélération du spectre de l’accélérogramme à la période T1. Le terme T1 désigne la période du mode fondamentale de la structure.

Méthode ATK

La méthode ATK, proposée par Atkinson (2009), comporte les étapes suivantes : a) choisir les plages de périodes entre lesquelles la calibration sera faite;

b) sélectionner l’ensemble des mouvements sismiques; c) calculer le rapport

é pour chaque période dans la plage de période choisie;

d) calculer la déviation standard de rapport

é obtenue à l’étape (c);

e) choisir l’accélérogramme qui donne le plus petit écart-type; et enfin

f) calibrer l’accélérogramme choisi à l’aide du facteur d’étalonnage donné par le rapport moyen

é obtenu.

L’approche de sélection et de calibration des mouvements sismiques, présentée par Tremblay et al. (2015) utilisée dans ce projet, est basée sur cette méthode. La méthode nécessite aussi que des critères de validité soient vérifiés lors de la calibration des accélérogrammes, tel qu’exigé par le CNBC.

Méthode du MSE (Mean Square Error)

La méthode du MSE est présentée par le site web de Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER, 2010) . Dans cette méthode la moyenne du carré de l’erreur entre les logarithmes naturels du spectre cible et du spectre de réponse est calculé. Ensuite le facteur d’étalonnage qui minimise cette erreur est calculée. Le facteur MSE est donné par :

MSE =∑ ( ) ( )_{∑ ( )} é ( ) (2.7)

Où :

S _{( )} est l’accélération spectrale du spectre de réponse cible;

S _{é ( )} est l’accélération spectrale du spectre de l’accélérogramme étalonné;

w(T ) est une fonction qui permet d’appliquer différents facteurs pour considérer la plage de périodes d’intérêt;

Une très bonne approximation est obtenue entre le spectre de réponse cible et le spectre de l’accélérogramme, y compris pour les périodes situées entre 0,1 s et 0,2 s.

2.3.1.2 Méthode de calibration dans le domaine fréquentiel (Méthode FD)

La méthode de calibration dans le domaine fréquentiel (Spectral matching) est un processus de calibration itératif par modification du spectre de Fourrier de l’accélérogramme original. L’accélérogramme original est transformé en une série de Fourrier pour chaque fréquence d’une plage de périodes donnée. Pour chaque période, la magnitude du spectre de Fourrier est ensuite modifiée, après quoi l’accélérogramme modifié est recalculé par transformée de Fourier inverse. En plus de converger rapidement, la méthode FD a l’avantage de préserver les caractéristiques importantes de l’accélérogramme d’origine, tels que le caractère stationnaire (Léger et al. 1993) et l’angle de phase du signal (Léger et Leclerc 1996, Carbalo et Cornell 2000), en autant que le nombre d’itérations soit faible (généralement une à deux itérations). Cependant, cette l’exactitude de cette méthode dépende fortement aux caractéristiques des signaux sismiques choisis. Sinon, un facteur de série Fourier multiplié par un facteur d’étalonnage trop élevé pourrait produire des déplacements trop élevé. C’est la

raison pour laquelle cette méthode n’est pas une bonne représentative de la calibration des accélérogrammes existants (Michaud et Léger 2014).

2.3.1.3 Méthode de calibration dans le domaine temporel (Méthode TD)

La méthode de calibration dans le domaine temporel consiste à faire correspondre le spectre de l’accélérogramme d’origine au spectre de réponse cible en étirant et/ou en compressant le pas de temps dans un intervalle de temps comprenant la période de vibration fondamentale (premier mode de vibration) de la structure. Le but de cette méthode est similaire à la méthode FD, mais l’approche est différente. Dans cette méthode des ondelettes élémentaires sont ajoutées et soustraites du signal original. Des ondelettes bien choisies évitent d’avoir des déplacements additionnels sur les signaux sismiques; ce qui est l’avantage de cette méthode comparativement à la méthode FD (Hancock et al. 2006).