Développement d’un code de calcul du transfert radiatif
4.1 Méthodes de calcul du transfert radiatif
Dans la littérature scientifique, de nombreuses méthodes permettent de résoudre l’équation de transfert radiatif avec des hypothèses plus ou moins fortes ayant un impact sur la précision des résultats et la durée des temps de calcul. Les principales méthodes sont recensées ici en explicitant rapidement le principe de résolution et les cas dans lesquels elles sont utilisées. Parmi celles-ci, dans le cadre de notre étude, nous avons retenu la méthode de Rosseland en première approximation et la méthode de Monte-Carlo qui sera décrite plus en détail à la suite de cette section.
Chapitre 4 : Développement d’un code de calcul du transfert radiatif
4.1.1 Méthode des harmoniques sphériques (ou différentielles P-N)
Les méthodes d’approximation différentielle permettent d’écrire l’expression de la luminance sous la forme d’une somme infinie d’harmoniques sphériques ne dépendant que de la direction. Développée par (Jeans, 1917), la méthodes des harmoniques sphériques est généralement mise en œuvre en choisissant des ordres faibles (P1 ou P3), mais ces troncatures conduisent souvent à des approximations trop importantes, notamment pour les milieux optiquement épais (Modest, 1993).
4.1.2 Méthode des zones
Cette méthode a été développée par (Hottel et Cohen, 1958) : des facteurs d’échange sont calculés entre chaque zone du domaine et le bilan radiatif est ensuite écrit sous la forme d’une matrice NxN, avec N le nombre d’inconnues. Elle se limite à des milieux simples car elle s’avère peu performante si les géométries étudiées sont complexes ou si le milieu est semi-transparent et très hétérogène. Le fait d’utiliser une discrétisation spectrale rend la méthode difficilement applicable car il est alors nécessaire de calculer les facteurs d’échange sur chaque bande considérée. 4.1.3 Méthode des transferts discrets
La méthode des transferts discrets (ou suivi de rayons) est relativement récente et a été exposée pour la première fois par (Lockwood et Shah, 1981). Elle est basée sur une technique de résolution de l’équation de transfert radiatif sur l’ensemble du chemin optique parcouru par le rayon. La méthode peut souffrir du problème appelé « effet de rayons » car, comme le souligne (Collin, 2006), la qualité des résultats peut être affectée si le nombre de directions discrètes choisi n’est pas suffisant.
4.1.4 Méthode des ordonnées discrètes
La méthode des ordonnées discrètes a été développée par (Chandrasekhar, 1960) pour le calcul du transfert radiatif unidimensionnel en astrophysique puis appliquée aux problèmes de trans-fert radiatif multidimensionnel par (Truelove et Hyde, 2007; Fiveland, 1982). Certains auteurs se sont intéressés à sa mise en œuvre pour modéliser les transferts dans le verre (Lacroixet al., 2002). La méthode se base sur la transformation de l’équation de transfert en équations diffé-rentielles partielles. L’espace angulaire est discrétisé en un nombre fini de directions et le calcul du flux radiatif est réalisé en intégrant numériquement la luminance dans toutes les directions. La méthode est sujette à des problèmes dits de "fausse diffusion" qui peuvent mener à la sures-timation des températures du milieu (Lee et Viskanta, 2001) ou encore des effets de rayons qui génèrent des discontinuités dans les valeurs de flux (Coelho, 2002; Trovalet, 2011). Elle nécessite souvent un processus itératif afin d’obtenir les bonnes valeurs de luminance. Elle conduit à des
4.1 Méthodes de calcul du transfert radiatif résultats fiables mais les temps de calcul seront d’autant plus importants que le milieu étudié est complexe.
La méthode des volumes finis repose sur le même principe. 4.1.5 Méthode de Rosseland
La méthode de Rosseland, aussi connue sous l’appelation "méthode d’approximation de dif-fusion", doit son nom à un astrophysicien norvégien (Rosseland, 1936). Retenue en première approximation pour nos simulations numériques, elle sera un peu plus détaillée que les précé-dentes sur le plan théorique. En premier lieu, la méthode de Rosseland est préconisée pour les milieux optiquement épais (la distance moyenne d’absorption du rayonnement doit être infé-rieure à la dimension caractéristique du domaine) sans quoi les résultats obtenus peuvent être trop grossiers et donc inexploitables. Comparativement à d’autres méthodes, elle est relative-ment simple à mettre en place et les temps de calcul sont raisonnables. En revanche, elle peut conduire à une sous-estimation des températures au niveau de la frontière (Lee et Viskanta, 2001).
Le principe de la méthode se base sur l’hypothèse que lorsque le milieu est suffisamment épais, le transfert par rayonnement peut être considéré comme diffusif. Le vecteur densité de flux radiatif peut alors d’écrire sous la forme :
−
→qr =−kr−grad (−−→ T) (4.1)
kr, appelée conductivité radiative, s’écrit (Siegel et Howell, 1992) : kr=Z ∞ 0 4π 3κν ∂L0ν(T) ∂(T) dν (4.2)
Lorsque le milieu est absorbant et diffusant, il faut prendre en compte le coefficient d’extinction βν au lieu du coefficient d’absorption κν. La démonstration permettant d’obtenir l’expression de kr est fournie en annexe 1.
Après dérivation, kr a pour expression : kr =Z + ∞ 0 4π 3κν " 2h2ν4n2 c20k # × (1/T2)(ehν/kT) ehν/kT −12 ! dν (4.3)
Concernant les conditions aux limites, le rayonnement incident reçu et transmis à la frontière est considéré comme directement absorbé par le matériau. La conductivité radiative va ensuite traduire la capacité du matériau à diffuser le rayonnement en son sein.
4.1.6 Méthodes alternatives : éléments finis et différences finies
Nous nous contentons ici de citer des études utilisant ces méthodes de calcul, moins souvent rencontrées pour la résolution du transfert radiatif, comme la méthode des éléments finis (Rousse
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et al., 2000) ou la méthode des différences finies (Siegel et Howell, 1992).
4.1.7 Méthode de Monte-Carlo
La méthode de Monte-Carlo, lorsqu’elle est appliquée au rayonnement thermique, consiste à émettre et absorber l’énergie radiative sous la forme de transferts de paquets d’énergie, dits quanta, sur l’ensemble du domaine. Les quanta peuvent subir différents évènements comme l’émission, l’absorption, la réflexion ou la transmission. Tous ces évènements sont déterminés de manière aléatoire mais doivent respecter les lois du rayonnement thermique d’un point de vue statistique. Comme il s’agit d’une méthode probabiliste, cela implique que lors d’une simulation numérique, plus le nombre de quanta envoyés est important, plus la probabilité d’obtenir un résultat précis est élevée.
La force de la méthode réside dans le fait qu’elle est adaptable à tout type de milieu et d’autant plus recommandable que la modélisation est complexe (Modest, 1993). La théorie n’est pas trop compliquée à assimiler, ce qui rend la méthode relativement simple à programmer. En revanche, elle peut souffrir de temps de calcul particulièrement longs (Howell, 1998) : il est donc préférable d’utiliser des ordinateurs puissants et de paralléliser les calculs quand cela s’avère possible.