O FDS+Evac trata todas as pessoas a sair como um agente único, cujo movimento é tratado através da resolução de uma equação de movimento. Esta aproximação permite que cada agente tenha as suas próprias características pessoais e estratégia de evacuação (Korhonen e Hostikka, 2009).
A representação em 2D de cada agente é efetuada através de três círculos que se aproximam o máximo possível das dimensões do corpo humano, tal como representado na Figura 34, na qual Rt representa a dimensão da cabeça, Rs a largura de ombros Rd o espaço necessário para o corpo do agente girar.
Figura 34. Aproximação do corpo humano no FDS+Evac (Korhonen e Hostikka, 2009)
As dimensões de cada círculo encontram-se já definidas no programa, tendo em conta o tipo de pessoa a modelar, indicado na Tabela 13. O deslocamento dos círculos de ombro é dada por ds = Rd - Rs, para a definição de variáveis de outros tamanhos corporais, Rd, Rt e Rs. Tabela 13. Velocidades de evacuação e dimensões dos corpos no FDS+Evac
Tipo de corpo Velocidade máxima de deslocação (m/s) Adulto 1.25±0.30 Masculino 1.35±0.20 Feminino 1.15±0.20 Criança 0.90±0.30 Idoso 0.80±0.30 Fonte: Adaptado do Korhonen e Hostikka, 2009.
Segundo Korhonen e Hostikka (2009), o ponto de partida do algoritmo de movimentação dos agentes para o FDS+Evac encontra-se baseado no método de Helbing (1995), ao ser inserida uma força social, que distancia os agentes das paredes e de outros agentes. O programa para seguir o movimento dos agentes durante a evacuação usa as leis mecânicas, sendo que cada agente segue a sua própria equação de movimento:
𝑚𝑖𝑑2𝑥𝑖 𝑡
𝑑𝑡2 = 𝑓𝑖 𝑡 + 𝜉𝑖 𝑡 (1)
𝑥𝑖 𝑡 → Posição do agente 𝑖 no instante 𝑡;
𝑚𝑖 → Massa;
𝜉𝑖 𝑡 → Pequena flutuação da força.
Já a velocidade do agente 𝑖 no instante 𝑡 é dada pela equação: 𝑣𝑖 𝑡 =
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡 (2)
A força exercida pelo meio ambiente sobre o agente é composta por três componentes da interação deste com o meio envolvente, desde a interação com outros agentes 𝑗 ≠ 𝑖 , com as paredes 𝑤 e finalmente com outros elementos que possam surgir 𝑘 :
𝑓𝑖 = 𝑚𝑖 𝑇𝑖 𝑣𝑖 0 − 𝑣 𝑖 + 𝑓𝑖𝑗𝑠𝑜𝑐 + 𝑓𝑖𝑗𝑐 + 𝑓𝑖𝑗𝑎𝑡𝑡 + 𝑓𝑖𝑤𝑠𝑜𝑐 + 𝑓𝑖𝑤𝑐 𝑤 + 𝑓𝑖𝑘𝑎𝑡𝑡 𝑘 𝑗 ≠𝑖 (3) 𝑇𝑖 → Parâmetro de relaxamento do tempo, que indica a força motivadora do
movimento realizado pelo agente, ou seja, parâmetro que indica o aceleramento ou não do agente.
Na equação 3 a componente relacionada com a interação entre agentes encontra-se dividida em três partes, sendo cada uma relacionada com diferentes interações entre os agentes. A interação social é indicada pelo termo 𝑓𝑖𝑗𝑠𝑜𝑐, já a componente 𝑓𝑖𝑗𝑐 representa o contato físico entre agentes, e a última parcela relaciona-se com a atração ou repulsão entre agentes.
O termo social responde à seguinte fórmula: 𝑓𝑖𝑗𝑠𝑜𝑐 = 𝐴
𝑖𝑐− 𝑟𝑖𝑗−𝑑𝑖𝑗 𝐵𝑖 𝜆𝑖 + 1 − 𝜆𝑖
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖𝑗
2 𝑛𝑖𝑗 (4)
𝐴𝑖 → Parâmetro que descreve a intensidade da força exercida sobre o agente; 𝐵𝑖 → Parâmetro que descreve a extensão espacial da força exercida sobre o
agente;
𝜆𝑖 → Parâmetro que controla as várias direções da força social. Caso 𝜆𝑖 = 1, então a força é simétrica, mas se 0 < 𝜆𝑖 < 1 então a força sofrida pelo agente é superior à sua frente.
𝑟𝑖𝑗 → Distância entre os centros dos círculos, que descrevem os agentes; 𝑑𝑖𝑗 → Somatório dos raios dos círculos, que descrevem os agentes;
𝜑𝑖𝑗 → Ângulo entre a direção do movimento do agente 𝑖 e o sentido da força exercida sobre o agente 𝑗.
A parte da fórmula relacionada com o contato entre agentes é calculada segundo a fórmula:
𝑓𝑖𝑗𝑐 = 𝐾𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 − 𝑟𝑖𝑗 + 𝑐𝑑∆𝑣𝑖𝑗𝑛 𝑛𝑖𝑗 + 𝑘𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 − 𝑟𝑖𝑗 ∆𝑣𝑖𝑗𝑡𝑡𝑖𝑗 (5)
∆𝑣𝑖𝑗𝑛 → Diferença de velocidades normais em contacto entre agentes; ∆𝑣𝑖𝑗𝑡 → Diferença de velocidades tangenciais em contato entre agentes;
𝑡𝑖𝑗 → Vetor tangencial do contacto entre os círculos;
𝐾𝑖𝑗 → Intensidade da força elástica radial; 𝑘𝑖𝑗 → Intensidade da força de fricção; 𝑐𝑑 → Força de amortecimento físico.
A última parcela da relação entre agentes relaciona-se com a atração ou repulsão entre estes, tal como já referido. Esta última secção permite criar pares de agentes.
A interação entre o agente e as paredes encontra-se dividida em duas partes. A primeira parte, 𝑓𝑖𝑤𝑠𝑜𝑐, indica a interação psicológica entre a parede e o agente i, e é calcula de forma muito parecida com 𝑓𝑖𝑗𝑠𝑜𝑐, necessitando apenas de uma pequena alteração nos valores 𝐴
𝑤, 𝐵𝑤
e 𝜆𝑤, sendo que passam a ser forças contantes. Da mesma forma 𝑓𝑖𝑤𝑐 é calculada de uma forma muito parecida com 𝑓𝑖𝑗𝑐, mantendo mesmo os mesmos valores de forças constantes.
Korhonen e Hostikka (2009) indicam que o movimento rotacional dos agentes é resolvido de uma forma muito similar, pois é assumido que cada agente tem o seu próprio movimento de rotação, indicado pela equação 6:
𝐼𝑖𝑧𝑑2𝜑𝑖 𝑡
𝑑𝑡2 = 𝑀𝑖𝑧 𝑡 + 𝜂𝑖𝑧 𝑡 (6)
𝜑𝑖 𝑡 → Ângulo do agente 𝑖 no instante 𝑡; 𝐼𝑖𝑧 → Momento de inercia do agente 𝑖;
𝜂𝑖𝑧 𝑡 → Pequeno momento de flutuação aleatório;
O momento exercido sobre o agente é composto por três parcelas, 𝑀𝑖𝑐 que representa o
momento de contacto entre agentes, 𝑀𝑖𝑠𝑜𝑐, que representa o momento social e a última parcela
que representa as forças motivadoras (𝑀𝑖𝜏):
𝑀𝑖𝑧 = 𝑀𝑖𝑐+ 𝑀𝑖𝑠𝑜𝑐 + 𝑀𝑖𝜏 (7)
O momento de contacto entre agentes é calculado usando a fórmula: 𝑀𝑖𝑐 = 𝑅
𝑖𝑐 × 𝑓𝑖𝑗𝑐
𝑖≠𝑗 (8)
𝑅𝑖𝑐 → Vetor radial, que tem a sua origem no centro do círculo do agente 𝑖 até ao
ponto de contacto no agente 𝑗.
O momento social entre agentes é calculado usando a fórmula: 𝑀𝑖𝑠𝑜𝑐 = 𝑅
𝑖𝑠𝑜𝑐 × 𝑓𝑖𝑗𝑠𝑜𝑐
𝑖≠𝑗 (9)
𝑅𝑖𝑠𝑜𝑐 → Vetor radial, que tem a sua origem no centro do círculo do agente 𝑖 até
ao ponto fictício de contacto no agente 𝑗. Esta fórmula apenas tem razão de existir caso os agentes se encontrem próximos uns dos outros.
A força motivadora do movimento é calculada segundo: 𝑀𝑖𝑇 = 𝐼𝑖
𝑧
𝑇𝑖𝑧 𝜑𝑖 𝑡 − 𝜑𝑖0 𝜔0− 𝜔 𝑡 =
𝐼𝑖𝑧
𝑇𝑖𝑧 𝜔𝑖~0− 𝜔 𝑡 (10)
𝜔0 → Velocidade angular máxima alvo de um agente a girar;
𝜔 𝑡 → Velocidade angular no instante 𝑡;
𝜑𝑖 𝑡 → Ângulo do corpo do agente 𝑖, no instante 𝑡;
𝜑𝑖0 → Ângulo máximo previsto;
𝜔𝑖~0 → Velocidade angular prevista. Esta velocidade é maior quando o ângulo
do corpo difere muito do movimento do corpo inicialmente previsto.
As equações capazes de modelar o movimento dos agentes dependem em grande parte de parâmetros humanos, tais como dimensões físicas e peso dos agentes. Porém as equações também são influenciadas pelos parâmetros escolhidos para o modelo. Para o software os agentes são guiados para as portas de saída através de um campo vetorial. Este campo vetorial é obtido pela aproximação a uma solução de um problema de duas dimensões de um fluido incompressível. A resolução deste problema leva o agente a escolher uma porta de saída, que
passa ou não pela passagem no caminho mais rápido. Sempre que a escolha do caminho de evacuação não seja o mais rápido, este será o mais aproximado possível.