Plusieurs méthodes sont utilisées pour l’analyse des antennes microbandes. La plupart de ces méthodes peuvent être classés dans une des deux catégories : méthodes approximatives et méthodes rigoureuses (Full-wave) [1].
Les méthodes approximatives sont basées sur des hypothèses simplificatrices donc elles ont des limitations et elles fournissent des solutions moins précises. Elles sont généralement utilisées pour la modélisation des antennes à élément unique à cause de la difficulté rencontrée dans la modélisation du couplage entre les différents éléments. Cependant, elles offrent un bon aperçu physique avec un temps de calcul généralement très petit [2].
Les méthodes rigoureuses tiennent compte de tous les mécanismes importants de l’onde et s’appuient énormément sur l’utilisation d’algorithmes numériques efficaces. Lorsqu’elles sont appliquées convenablement, les méthodes rigoureuses sont très précises et peuvent être employées pour la modélisation d’une variété d’antennes y compris les antennes réseaux. Ces méthodes ont tendance à être plus complexes et fournissent moins d’aperçu physique. Souvent, elles nécessitent plus de calculs et donc un temps de calculs élevé [2].
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Les méthodes approximatives utilisent les valeurs locales du champ aux points du maillage sur la surface, tandis que les méthodes exactes sont globales et utilisent les valeurs du champ dans la structure entière.
La meilleure méthode pour la résolution d’un problème électromagnétique donné dépend du : type de la structure ou du domaine de la solution.
type de l'équation électromagnétique.
type des conditions initiales associées (pour la variable temporelle) et/ou les conditions aux limites (pour les variables spatiales).
II.2.1. Méthodes approximatives (analytiques)
Les méthodes approximatives prennent en compte au départ la nature des phénomènes physiques, ce qui permet d’effectuer des approximations, permettant la modélisation du modèle en question. Parmi ces méthodes, on cite :
Le modèle de la ligne de transmission. Le modèle de la cavité.
II.2.1.1. Le modèle de la ligne de transmission
Le modèle de la ligne de transmission est considéré comme le plus simple. Ce modèle exploite l’analogie qui existe entre un patch d’une antenne imprimée et un tronçon d’une ligne de transmission ayant deux bords rayonnants. Ce modèle prend en compte au départ la nature des phénomènes physiques, ce qui permet d’effectuer des approximations, permettant la modélisation du modèle. Dans le modèle de la ligne de transmission, l’inconnu à déterminer est la constante de propagation. Les pertes par rayonnement sont incluses dans le coefficient d’atténuation de la constante de propagation. Cependant, cette technique ne rend pas compte des effets des modes d’ordre supérieur [2].
II.2.1.2. Le modèle de la cavité
La structure imprimée peut être assimilée à une cavité fermée par deux murs électriques en bas par un plan de masse en z=0, en haut par une plaque conductrice en z=h, et par des murs magnétiques verticaux. Une longueur et une largeur effective sont introduites pour prendre en compte les débordements des champs sur les bords de l’antenne. Pour l’excitation, on prend pour modèle un courant électrique J parallèle à l’axe oz (Figure II.1) et répartie uniformément [3,4].
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Pour calculer le champ Ez interne à la cavité, on utilise la méthode dite de raccord de mode. Elle consiste à diviser la cavité en deux régions I et II dépourvues de sources et ensuite à résoudre l’équation de Helmholtz (sans second membre) dans chaque région. Les champs lointains sont donnés par le rayonnement des ouvertures verticales et la puissance totale rayonnée est obtenue en intégrant le champ lointain dans tout le demi-espace supérieur [5], [6].
Figure II. 1. Modèle de la cavité. II.2.2. Méthodes rigoureuses (full-wave)
Ces méthodes sont les plus utilisées récemment. Elles sont basées sur la distribution du courant électrique sur le conducteur. Parmi ces méthodes, on cite :
La méthode des différences finies. La méthode des éléments finis.
Le système d’équations intégrales couplées, discrétisées par la méthode des moments. La méthode spectrale, qui correspond à la transformée de Fourrier de la méthode de
l’équation d’intégrale.
II.2.2.1. La méthode des moments
La technique de résolution la plus efficace dans l’analyse des antennes microbandes est l’application de la méthode des moments. Cette méthode opère dans le domaine spectral. La procédure de résolution consiste à trouver le zéro du déterminent de la matrice impédance [7]. Malgré les avantages de cette méthode, elle souffre de quelques inconvénients tels que.
La précision exigée pour déterminer les éléments de la matrice impédance. Le temps de calcul qui est important.
Plan de masse H y z x Région I Région II Alimentation Murs magnétique
35 L’existence des solutions parasites.
II.2.2.2. Méthode d’analyse spectrale
Ce modèle prend en considération l’équation intégrale du champ électrique [2], dans le domaine spectral. Cette méthode permet de résoudre efficacement le système d’équations intégrales dans le domaine spatial. Elle est basée sur la connaissance des champs électromagnétiques dans chaque région. Le système d’équations intégrales à résoudre peut s’écrire sous la forme matricielle, le choix de la condition de continuité surfacique et le vecteur de courant sur le patch permet de réduire une relation entre les composantes tangentielles des champs électromagnétiques et les courants surfaciques. L’approche de l’équation intégrale dans le domaine spectral est largement utilisée dans l’analyse et la conception de structures imprimées.
II.2.2.3. La méthode des éléments finis FEM
La modélisation par éléments finis a montré son efficacité pour le calcul du champ dans les structures 3-D complexes pour lesquelles les dimensions sont de l’ordre d'une fraction de la longueur d'onde [2].
Le modèle mathématique de la méthode FEM pour l'analyse des structures a été présenté pour la première fois en 1943, par Richard Courant. Mais, cette technique n’a été utilisée pour le traitement des problèmes électromagnétiques qu'en 1968 [8].
L'analyse par éléments finis s’effectue en quatre étapes :
Discrétisation du domaine de la structure en un certain nombre de sous-domaines appelés éléments, de forme triangulaire pour les problèmes bidimensionnels (2-D) ou de forme tétraédrique pour les problèmes 3-D.
Dérivation des équations du champ, pour chaque élément, en termes de coefficients inconnus définis sur les nœuds, le long des frontières, ou sur les surfaces de l'élément utilisant des fonctions linéaires simples ou non linéaire.
Assemblage de tous les éléments de la structure dans une matrice d’équations. Résolution du système d’équations obtenues.
La discrétisation FEM peut être appliquée à l'équation d'onde de Helmholtz qui est dérivée directement des équations de maxwell, elle peut être aussi appliquée à un ensemble d'équations dérivées d'une formulation du vecteur potentiel scalaire. D’autres formulations mixtes ont été également proposées et implémentées [8].
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Les algorithmes de résolution numérique par la méthode FEM sont écrits pour des classes spécifiques de problèmes électromagnétiques. Les problèmes des structures fermées, tel que le calcul du champ dans les guides d'ondes et les cavités, sont facilement résolus utilisant la méthode des éléments finis. D’autre part, la modélisation des structures ouvertes est relativement plus difficile. En effet, le calcul numérique exige la troncature du maillage de la structure. Cela est effectué sur une surface où la condition de rayonnement de Sommerfeld est imposée exactement ou approximativement.
II.3. Méthode des différences finies