Les méthodes améliorées pour l’intégration de la rotule plastique

Parmi les avantages de la méthode Gauss-Lobatto, la méthode représente la diffusion de la plasticité à la longueur de l’élément, pour le comportement d’écrouissage de la section. La réponse de l’élément calculée sera convergé vers une solution unique quelque soit l’augmentation des points d’intégrations, et ce, parce que la déformation à chaque point sur l’élément est la même.

Pour le comportement d’adoucissement de la section où les déformations sont localisées au point d’intégration unique, il n’ y a pas une solution unique en utilisant la méthode Gauss-Lobatto, ainsi la réponse sera non objective. Pour l’étude de cette problématique Scott et al [82] ont présenté une étude détaillée, où ils ont utilisé un nombre de méthodes d’intégration de rotule plastique, et ont proposé une méthode d’intégration des éléments poteau-poutre, en utilisant la formulation basée sur la force. La méthode proposée, se base sur l’hypothèse de comportement constitutif non linéaire, limité dans la zone de la rotule plastique (extrémité) alors que, dans le reste de l’élément (la zone intérieure), le comportement est supposé linéaire. Pour cela l’équation (3.36) est séparée en trois intervalles : un pour chacune des deux zones de rotule, et un pour la zone intérieure de l’élément et ce comme suit :

Où Lpi et Lpj sont les longueurs de la rotule plastique aux nœuds et i et j respectivement.

Les déformations de la section intégrées numériquement sur les zones de la rotule plastique alors que la contribution de la zone intérieure de l’élément est supposée linéaire élastique : d’intégrationNp, dans les zones de la rotule plastique. La matrice de flexibilité de la zone intérieure de l’élément f_int^e est évaluée par l’intégrale limitée :

f

f

Lpi^

b bdx

 

La matrice f_s^econtient des coefficients de flexibilité élastique dans la section transversale de la région intérieure :

Ainsi la flexibilité de l’élément est exprimée comme suit :

T

Pour représenter le comportement d’adoucissement, avec une précision aussi que possible il faut que la méthode d’intégration de la rotule plastique répond aux trois critères suivants :

1- Les points d’intégration doivent être à l’extrémité de l’élément, où les valeurs maximales de moment de flexion sont détectées.

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2- Intégrer les polynômes quadratiques exactement pour donner la solution précise des distributions linéaires de courbure.

3- Intégrer les zones de rotule plastique aux extrémités en utilisant un point d’intégration unique.

Parmi quatre méthodes proposées , intégration mid-point, intégration du point final intégration de Gauss-Radau, et intégration modifiée de Gauss-Radau, Scott et al [82]ont trouvé que la méthode modifié de Gauss-Radau répond à tous les critères , quand ils ont utilisé la méthode Gauss-Radau avant la modification ,(figure 3.11.a), ils ont trouvé qu’elle répond aux critères 1 et 2 et non le troisième, cette méthode sur le domaine [0,1] contient des point d’intégration dans le domaine [0, 2/3] avec des poids d’intégration correspondants [1/4,3/4]. L’application de cette méthode aux zones de rotule plastique aux extrémités de l’élément donnent quatre points d’intégration :





   (3.45)

Avec les poids d’intégration correspondants :





w l l l l (3.46) Etant que le poids d’intégration w_i présente la longueur de la rotule plastique, le poids dans cette méthode aux extrémités de l’élément est lp/ 4 au lieu delp. De ce point fut préposée la méthode, Gauss-Radau, modifiée, pour être appliquée sur les longueurs

4lpiet 4lpj aux extrémités de l’élément comme le présente la figure 3.11.b, ainsi, les emplacements des points de l’intégration et les poids de l’intégrale sont donnés comme suit :





   (3.47)





w l l l l

(3.48)

Figure 3.11: Méthodes d'intégration des rotules plastiques : (a) Gauss-Radau deux points, ( b) Gauss-Radau modifiées [82].

Ainsi, le comportement non linéaire se aux longueurs Lpi et Lpj aux extrémités de l’élément. Le deuxième point de l’intégrale pour chaque domaine, sera dans la zone intérieure supposée élastique linéaire. Avec les mêmes caractéristiques de l’équation (3.43) et par conséquent à cela, les limites supérieures et inferieures de l’intégration dans l’équation (3.42) seront : 4lpi et L4lpj ,et la flexibilité élastique de l’intérieur de l’élément est la somme des trois parties :

 

int 8/3 4

f f | 3 ^pJ f (b f b | x L 8 / 3 )3

pI pI

L l

e T e T e e

s x l pI l s s pJ pJ

b b _ l ^ b bdx l l

 



En conclusion, la méthode Gauss-Radau modifiée est une méthode réussie pour l’intégration de la rotule plastique, elle doit être utilisée pour une évaluation précise de la réponse d'écrouissage et d’adoucissement, lors l’utilisation de la formulation basée sur la force pour les éléments poteau-poutre.

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CHAPITRE 4

Modèles de loi de comportement des matériaux

4.1 Introduction

Lors l’utilisation du modèle de rotule de fibre, le comportement non linéaire des éléments structurels, est dérivé du comportement non linéaire des fibres, donc la précision des résultats dépend de la précision des modèles de matériau de fibre. Le programme SAP 2000 utilisé dans cette méthode, permet d’utiliser n’importe quel modèle de courbe contrainte-déformation uni-axiale non linéaire pour un matériau. Dans les littératures, il y a un nombre de modèles numériques pour le comportement de béton et d’acier, ces modèles représentent de nombreuses caractéristiques mécaniques dès le début de la soumission du matériau au chargement uni-axiale jusqu’à la rupture du matériau. Pour le béton, les effets tridimensionnels sont pris en considération, puisque le confinement par les armatures longitudinales et transversales, a un effet significatif sur la relation contrainte- déformation.

Dans ce chapitre on étudie quelques modèles de béton confiné et non confiné et de l’acier, ainsi que des modèles de béton de fibre qui sera utilisé pour l’étude de sa contribution à l’amélioration du comportement sismique des structures en béton armé à étage souple.