Méthode utilisant les bases de Gröbner

             1 − z2 z2z1 1 + z1+ z2+ z2z1 2z1+ z2 −2 −z₁− z₂z₁ −1 − z₁+ z₂− 2z₂z₁ 1 + 3z₁+ z₂z₁ 1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ −2 −z₁− z₂z1 −1 − z₁+ z2− 2z₂z1 1 + 3z1+ z2z1 1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ 1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ −2 −z₁− z₂z1 −1 − z₁+ z2− 2z₂z1 1 + 3z1+ z2z1 2z₂z₁ −2z₁ −z₁+ z₂ −2 − 2z₁− z₂+ z₂z₁ −z₂+ z₂z₁ −2 + z₂z₁ −z₂ −1 − z₁− 4z₂               ,

construite à partir des 4 premières lignes de la matrice H[z1, z2]. Le résultat de l’al-gorithme dans ce cas est qu’on ne peut pas conclure. En regardant de plus près, on constate que tous les déterminants de matrices extraites sont soit nuls soit les polynômes non dégénérés : A±(z1, z2) = ± 4 + 20z₂²z₁⁴− 34z²₂z₁³+ 4z1+ 20z2+ 11z2z1− 15z₁²− 38z₂z₁²+ 6z²₂ − 60z2 2z₁− 49z2 2z₁²− 13z₂z³₁− 2z3 2 − 3z3 1− 5z3 2z₁− 39z3 2z₁² +14z₂³z₁³+ 8z2z₁⁴+ 16z₂³z₁⁴− 12z₂⁴z²₁+ 15z₂⁴z₁³− 7z₂⁴z1+ 3z⁴₂z₁⁴
. Les polynômes C1(z1) et C2(z2), obtenus par des calculs de résultants de la forme Res_zi(A±, A±)(z_3−i)pour i ∈ {1, 2}, sont toujours nuls. L’ensemble S vaut donc toujours (C^∗)2 à la fin de l’algorithme et l’ensemble F est non vide (puisqu’on a trouvé des poly-nômes non dégénérés).

Enfin, on a construit la matrice : G[z₁, z₂] =               1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ −2 −z₁− z₂z1 −1 − z₁+ z2− 2z₂z1 1 + 3z1+ z2z1 1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ −2 −z₁− z₂z₁ −1 − z₁+ z₂− 2z₂z₁ 1 + 3z₁+ z₂z₁ 1 − z2 z2z1 1 + z1+ z2+ z2z1 2z1+ z2 −2 −z₁− z₂z1 −1 − z₁+ z2− 2z₂z1 1 + 3z1+ z2z1 1 − z₂ z₂z₁ 1 + z₁+ z₂+ z₂z₁ 2z₁+ z₂ −2 −z₁− z₂z1 −1 − z₁+ z2− 2z₂z1 1 + 3z1+ z2z1 2z2z1 −2z₁ −z₁+ z2 −2 − 2z₁− z₂+ z2z1               ,

à partir des 3 premières lignes de H[z₁, z₂]. Dans ce cas tous les polynômes extraits sont nuls, l’algorithme retourne alors S = (C^∗)²et F = ∅. La matrice n’est donc pas inversible.

5.3 Méthode utilisant les bases de Gröbner

Les bases de Gröbner sont des outils algébriques qui permettent de vérifier l’inversi-bilité de matrices polynomiales. Les bases de Gröbner furent introduites pour la première

5.3 Méthode utilisant les bases de Gröbner 101

fois en 1965 dans la thèse de B. Buchberger [Buchberger, 1965], étudiant de W. Gröbner. Nous allons maintenant présenter brièvement ces méthodes qui ont été utilisées pour la construction de bases d’ondelettes non séparables [Faugère et al., 1998] et dans le cadre de l’inversion de bancs de filtres multidimensionnels par H. Park et M. Vetterli [Park et al., 1997] et plus récemment par J. Zhou et M. N. Do [Zhou, Do, 2005].

5.3.1 Quelques rappels sur les bases de Gröbner

Nous adoptons ici des notations similaires à celles du livre [Cox et al., 1998]. Suppo-sons que l’on ait défini un ordre sur l’ensemble T des monômes de C[z]. L’ordre lexicogra-phique des puissances est généralement utilisé. Soient α = (α_j)_1≤j≤Let β = (β_j)_1≤j≤L deux multi-indices de N^L, on définit l’ordre lexicographique par : α  β s’il existe un in-dice i ∈ {1, ..., L} tel que pour tout 1 ≤ j < i, α_j = β_j et α_i > β_i. Par exemple, avec L = 3, on a (1, 2, 1)  (1, 1, 5).

On peut alors définir un ordre sur les monômes de la manière suivante : soientzαetzβ deux monômes, on dira que z^α domine z^β si α  β. Par exemple, avec L = 3, on a : z₁z2

2z₃domine z₁z₂z5

3 (puisque (1, 2, 1)  (1, 1, 5)).

Soit un polynôme P (z) ∈ C[z], on appelle monôme dominant de P le monôme le plus

grand pour l’ordre que l’on s’est donné. On le note lt(P ). Pour un idéal I ⊂ C[z], on notera

lt(I) = {lt(P ) | P ∈ I} ,

et pour une collection de polynômes : P_i∈ C[z], on note hP1, ..., P_ni l’idéal engendré par ces polynômes.

Définition 5.4 Une famille G = {P₁, ..., Pn} ⊂ I est appelée une base de Gröbner de I si

hlt(P₁), ..., lt(Pn)i = lt(I); c’est-à-dire si l’idéal engendré par les lt(Pi)coïncide avec lt(I).

Si de plus G vérifie :

– pour tout P ∈ G, le coefficient du monôme lt(P ) dans P est 1, – pour tout P ∈ G aucun monôme de P n’appartient à hlt(G − {P })i, on dit alors que G est une base de Gröbner réduite.

Théorème 8 Pour un ordre fixé sur les monômes, il existe une unique base de Gröbner

réduite associée à un idéal donné de polynômes.

En général, pour un idéal de polynômes I il n’y a pas unicité de la base de Gröbner, le théorème précédent assurant l’unicité de la base de Gröbner réduite, il est donc plus commode de travailler avec une base réduite.

5.3.2 Application au problème d’inversibilité

À l’aide de ces définitions, revenons au problème d’inversion. Comme précédemment, nous devons prouver l’existence d’une matrice polynomiale vérifiant : eH[z] H[z] = I. Le

théorème suivant [Zhou, Do, 2005] permet de faire le lien entre les bases de Gröbner réduites et l’inversibilité :

Théorème 9 Soit H[z] ∈ C[z, z⁻¹]^M2×N2 une matrice polynomiale avec M > N . Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

1. H[z] est telle que la base de Gröbner réduite de l’ensemble de ses déterminants

mineurs maximaux et du polynôme 1 − z₁...zL+1(où z_L+1est une nouvelle variable) est {1},

2. H[z] est inversible à gauche au sens où il existe une matrice polynomiale eH[z] ∈

C[z, z⁻¹]^{N ×M} telle que eH[z] H[z] = I.

Pour déterminer l’inversibilité de la matrice H[z], il suffit donc de calculer les

déter-minants de toutes ses sous-matrices de taille maximale puis de rechercher la base de Gröbner réduite de cette famille de polynômes.

L’algorithme de Buchberger permet de calculer dans la pratique une base de Gröb-ner, à partir de laquelle on peut alors calculer la base réduite de Gröbner [Cox et al., 1998]. Des logiciels de calcul formel comme Singular2 présentent toutes les fonctions nécessaires pour effectuer ces calculs. Des algorithmes comme F₅proposé par Faugère [Faugère, 2002] permettent de réduire la complexité du calcul d’une base de Gröbner, cependant celle-ci demeure polynomiale.

Remarque 5.5 L’utilisation de l’algorithme de Buchberger permet non seulement de

cal-culer la base de Gröbner d’une famille de polynômes, mais également une matrice po-lynômiale de passage transformant les polynômes de la famille d’origine en ceux de la base calculée. Formellement, soit une famille de K2 polynômes (P_k)_1≤k≤K2 ∈ C[z]K2 et soit (B_j)_1≤j≤K1la base de Gröbner associée à cette famille, alors il existe des polynômes Wj,k ∈ C[z] pour j ∈ {1, ..., K1} et k ∈ {1, ..., K2}, tels que :

∀j ∈ {1, ..., K₁} , B_j(z) =

K2

X k=1

W_j,k(z)P_k(z).

Dans le cas où la base réduite est {1}, il est possible de construire une matrice inverse de

H[z] à partir de ces polynômes W_j,k. La vérification de l’inversibilité avec la méthode par bases de Gröbner peut donc être directement couplée au calcul explicite d’un inverse.

5.3.3 Discussion

La méthode utilisant les bases de Gröbner présente trois principaux avantages : – Elle permet de donner une condition nécessaire et suffisante de l’inversibilité d’une

matrice polynomiale, et donc évite le risque de ne pas pouvoir conclure, encouru par la méthode par résultant.

– Elle est directement utilisable pour tester l’inversibilité de bancs de filtres de dimen-sion supérieure à deux.

– Elle permet de calculer un inverse explicite.