La méthode SONAH double couche

La méthode SONAH double couche est une version étendue de SONAH simple couche,

elle consiste à réaliser une mesure sur deux antennes constituées de microphones, puis

à séparer la contribution des sources provenant de chaque côté de l'antenne et enn à

estimer le champ de la source à caractériser en un point de l'espacer= (x, y, z). La théorie

de SONAH double couche est basée sur celle de SONAH simple couche, par conséquent

certains aspects communs aux deux théories ne seront pas rappelés dans ce qui suit.

1.7.1 Principe de la méthode SONAH double couche

SONAH double couche présente, contrairement à SONAH simple couche, deux plans

de mesures, par conséquent deux séries de développement sur des ondes élémentaires. Le

1.7. LA MÉTHODE SONAH DOUBLE COUCHE

système de coordonnées des plans de mesures est donné par la gure 1.20.

Figure 1.20 Positions des sources sonores et des plans pour la mise en oeuvre de SONAH

double couche (z_n etz_m désignent respectivement la position des deux plans de mesures).

1.7.1.1 Estimation de la pression acoustique

Comme il y a deux plans de mesures, la combinaison linéaire comporte deux

dévelop-pements (équation 1.39) :

p(r) =

N

X

n=1

an(r)p(r_h,n) +

M

X

m=1

bm(r)p(r_h,m) (1.39)

où r_h,n(x_n, y_n,−h) et r_h,m(x_m, y_m,+h) sont les coordonnées des microphones sur les

deux plans de mesures, etM etN représentent le nombre de micros sur les deux couches

(généralement N = M). Une nouvelle série d'ondes planes élémentaires provenant du

deuxième plan de mesure est maintenant prise en compte dans la mise en oeuvre de SONAH

double couche. Les deux séries d'ondes sont données par les équations 1.40 et 1.41.

Φ_k(x, y, z) =e^−j(k

x

x+k

y

y+k

z

(z+(d+h))) pour z <−(d+h) (1.40)

Ψ_k(x, y, z) =e^−j(k

x

x+k

y

y+k

z

(z−(d+h))) pour z >+(d+h) (1.41)

L'estimation de ces séries d'ondes élémentaires sur une position arbitraire dans l'espace,

entre le plan de la source sonore et les plans de mesures, est exprimée par les équations

ci-après :

Φk

i

(r) ≈

N

X

n=1

an(r)Φk

i

(rn) +

M

X

m=1

bm(r)Φk

i

(rm) (1.42)

Ψ_k

_j

(r) _≈

N

X

n=1

an(r)Ψ_k

_j

(rn) +

M

X

m=1

bm(r)Ψ_k

_j

(rm) (1.43)

Pour le calcul des coecients de transfert (an(r) et bn(r)), il est posé les expressions

suivantes :

A≡

Φ_k

_i

(rn) Φ_k

_i

(rm)

Ψ_k

_j

(r_n) Ψ_k

_j

(r_m)

; (1.44)

c≡

a

b

;α≡

Φ_k

_i

(r)

Ψk

j

(r)

; (1.45)

où les quatre éléments composants la matrice A sont des matrices, les deux éléments

deα sont des vecteurs, etcest un vecteur colonne contenant les coecients d'estimation à

chaque position des transducteurs. Les équations 1.42 et 1.43 se mettent alors sur la forme

matricielle suivante :

α≈Ac, (1.46)

Le problème d'inversion est similaire à celui de SONAH simple couche (Eq.(1.22)), et

les coecients d'estimation peuvent être calculés par l'équation 1.47.

c(r) = ^A

†α(r)

A†A+θ2I (1.47)

avec,

A^†A =

G11 G12

G₂₁ G₂₂

(1.48)

A^†α =

h1

h2

(1.49)

où,

h1 = [Φk

j

(rn)]^†[Φk

j

(r)] + [Ψk

j

(rn)]^†[Ψk

j

(r)] (1.50)

h2 = [Φk

j

(rm)]^†[Φk

j

(r)] + [Ψk

j

(rm)]^†[Ψk

j

(r)] (1.51)

G11 = [Φk

j

(rn)]^†[Φk

j

(rn

0

)] + [Ψk

j

(rn)]^†[Ψk

j

(rn

0

)] (1.52)

G₁₂ = [Φ_k

_j

(r_m)]^†[Φ_k

_j

(r)] + [Ψ_k

_j

(r_m)]^†[Ψ_k

_j

(r)] (1.53)

G₂₁ = [Φ_k

_j

(r_m)]^†[Φ_k

_j

(r_n)] + [Ψ_k

_j

(r_m)]^†[Ψ_k

_j

(r_n)] (1.54)

G₂₂ = [Φ_k

_j

(r_m)]^†[Φ_k

_j

(r_m

0

)] + [Ψ_k

_j

(r_m)]^†[Ψ_k

_j

(r_m

0

)] (1.55)

Les expressions détaillées de A^†A et de A^†α sont données en Annexe B.

1.7. LA MÉTHODE SONAH DOUBLE COUCHE

1.7.1.2 Estimation du champ de vitesse des particules de la source sonore

A l'instar de la méthode SONAH simple couche, la vitesse des particules est déduite à

partir de l'équation d'Euler.

ρ^du

dt ⁼⁻Op⇒u_z =− ¹

jkρc

∂p

∂z (1.56)

Dans l'expression de la pression acoustique donnée par l'équation (1.47), seule la partie

A^†αdépend de z, elle est donc la seule qui doit être dérivée pour le calcul de la vitesseu_z,

h

A^†βⁱ

n=− ¹

jkρc

∂

∂z

h

A^†αⁱ

n (1.57)

ainsi on trouve les coecients d'estimation de la vitesse des particules.

c_u(r) = ^A

†β(r)

A^†A+θ2I (1.58)

1.7.1.3 Séparation des contributions avec la méthode SONAH double couche

La capacité de distinguer séparément de chaque côté des plans de mesures la

contribu-tion des diérentes sources permet d'éliminer les ondes venant de la direccontribu-tion non désirée.

Si les sources recherchées se trouvent àz >(d+h), elles sont calculées à partir du système

d'équations suivant :

0 =

N

X

n=1

an(r)Φ_k

_i

(rn) +

M

X

m=1

bm(r)Φ_k

_i

(rm) (1.59)

Ψ_k

_j

(r) =

N

X

n=1

a_n(r)Ψ_k

_j

(r_n) +

M

X

m=1

b_m(r)Ψ_k

_j

(r_m) (1.60)

Si les sources recherchées se trouvent à z < −(d+h) elles sont calculées à partir du

système d'équations ci-après :

φ_k

_i

(r) =

N

X

n=1

an(r)Φ_k

_i

(rn) +

M

X

m=1

bm(r)Φ_k

_i

(rm) (1.61)

0 =

N

X

n=1

a_n(r)Ψ_k

_j

(r_n) +

M

X

m=1

b_m(r)Ψ_k

_j

(r_m) (1.62)

Lors de la résolution de ces systèmes, les changements interviennent dans les

équa-tions (1.50) et (1.51), où les éléments de A^†α sont réduits à la formulation suivante :

dans le premier cas (z >(d+h)).

h⁺₁ = [Ψk

j

(rn)]^†[Ψk

j

(r)] (1.63)

h⁺₂ = [Ψk

j

(rm)]^†[Ψk

j

(r)] (1.64)

dans le deuxième cas (z <−(d+h)).

h⁻₁ = [Φk

j

(rn)]^†[Φk

j

(r)] (1.65)

h⁻₂ = [Φk

j

(rm)]^†[Φk

j

(r)] (1.66)

Lorsque les mesures sont réalisées dans un environnement perturbé par la présence

d'autres sources, il est alors possible avec la méthode SONAH double couche de séparer

la contribution des sources, et d'estimer simultanément la pression acoustique et la vitesse

des particules de la source d'intérêt sur un plan de calcul par rétropropagation.

Dans une étude numérique sur la méthode SONAH double couche réalisée par Gomes

[24], deux monopôles sont placés de part et d'autre des deux plans de mesures. La

pre-mière et la deuxième source sont respectivement positionnées en z_s

₁

= −(d+h) et en

zs

2

= (d+h), tandis que les plans de mesures sont en zh

1

= −h et en zh

2

= +h avec

d = 6 cm et h= 1.25 cm (cf. g. 1.20). Chacun des deux plans de mesures est composé

de 36microphones (6×6)espacés de 3 cm.

Les deux sources sont activées, et le champ mesuré est rétropropagé après séparation

sur un plan de prédiction de même dimension que les deux plans de mesures (cf g. 1.15a).

Les erreurs relatives (équations 1.29 et 1.30 ) sont calculées sur le plan de prédiction qui est

positionné enz =−4.25 cm. Comme SONAH double couche peut séparer la contribution

des sources de chaque côté des plans de mesure, deux congurations ont été réalisées :

dans la première conguration S1 est considérée comme la source d'intérêt et S2 source

perturbatrice, dans la deuxième congurationS₂ est considérée comme la source d'intérêt

et S1 source perturbatrice. Les courbes des erreurs relatives calculées dans les deux cas

sont représentées sur la gure 1.21.

1.7. LA MÉTHODE SONAH DOUBLE COUCHE

Figure 1.21 Erreurs relatives de prédiction de la pression acoustique et de la vitesse des

particules des deux sources avec la méthode SONAH double couche [24].

acoustique et la vitesse particulaire de la source considérée comme principale (S1(x, y, z)

ouS₂(x, y, z)) avec une bonne précision.

1.7.2 Comparaison des performances de la méthode SONAH double

couche et simple couche

Une étude par simulation [34] a été réalisée par Jacobsen an de comparer les

per-formances de séparation des méthodes SONAH simple couche et double couche dans la

prédiction du champ acoustique d'une mesure perturbée par la présence d'une deuxième

source. Pour la mise en oeuvre de la méthode de séparation avec SONAH simple couche,

le champ acoustique est mesuré sur un plan placé à l'origine (z_h = 0), composé de 64

points de mesures (8×8) couvrant une surface de 441 cm2 (21×21cm), et la région de la

source principale est en z=−7,5cm. Dans la mise en oeuvre de SONAH double couche,

les plans de mesures utilisés sont identiques en tout point au plan utilisé en simulation

par la méthode SONAH simple couche. Ces plans sont placés en z_h = ±1,5 cm, et les

sources principales et perturbatrices sont positionnées respectivement en z_s1 = −7,5 cm

et enzs2 = +7,5 cm. Pour les deux versions de SONAH, le plan de prédiction est placé en

z=−4,5cm, et les sources utilisées dans les simulations sont deux plaques de dimension

1×1 m excitées par une force ponctuelle de même amplitude, cependant les points

d'ex-citation de chacune des plaques sont asymétriques. Il est à noter que les réexions sur les

plaques du champ acoustique ont été ignorées lors de cette étude.

Les champs de pression acoustique et de vitesse des particules de la source d'intérêt sur

la diagonale du plan de prédiction calculés à l'aide des deux versions (SONAH simple couche

et double couche) sont tracés et comparés aux champs théoriques calculés analytiquement

à la fréquence de 1500 Hz sur les gures 1.22a et 1.22b.

(a) Pression acoustique. (b) Vitesse des particules.

Figure 1.22 Tracés du champ acoustique calculé par SONAH simple couche et double

couche sur la diagonale du plan de prédiction [34].

Sur les gures 1.22a et 1.22b, u correspond à la rétropagation du champ mesuré (vitesse

des particules et pression acoustique) avec SONAH directe sans activation de la source

per-turbatrice, p-u concerne la rétropropagation avec la méthode de séparation SONAH simple

couche, et DLA la version SONAH double couche. L'analyse de ces résultats montre que

lorsque les mesures du champ acoustique sont réalisées sans la présence de source

pertur-batrice la rétropropagation est mieux calculée avec SONAH directe. Cependant, lorsque les

mesures sont perturbées par la présence d'une source, la version SONAH double couche et

la méthode de séparation SONAH simple couche éliminent les bruits indésirables venant

d'un côté du plan de mesure, et reconstruisent le champ de la source d'intérêt sur le plan

de prédiction avec une bonne précision. Il n'y a pas de diérence notable entre les

perfor-mances des deux méthodes de séparation (SONAH simple et double couche).

Dans le document Méthodes d'identification et de caractérisation de source de bruit en environnement réverbérant (Page 47-54)