Méthode des ondes planes

⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ∇⃗ × ¹ ɛ(r⃗)^{∇⃗ × H(r⃗) =} ω c ^H⃗(r⃗) ∇⃗ × ∇⃗ × E⃗(r⃗) = ^ω c ^{ε(r⃗) E⃗(r⃗)} (III. 5)

III.3 Méthode des ondes planes

La décomposition en ondes planes, communément appelée PWE (Plane Wave Expansion), est sans aucun doute la méthode la plus utilisée par la communauté scientifique travaillant dans les domaines de la photonique, pour lesquels les systèmes étudiés sont généralement périodiques. Elle s'est imposée comme l'un des outils de modélisation privilégiés des cristaux photoniques [6,7] et figure, par ailleurs, parmi les premiers formalismes à avoir été employés afin de mettre théoriquement en évidence l'existence de bandes interdites photoniques. La PWE est une méthode vectorielle qui traite le problème électromagnétique macroscopique en appliquant une périodicité aux conditions aux limites.

Le théorème de Bloch permet de décomposer le champ magnétique ou électrique sur une base d’ondes planes et de transformer la résolution des équations de Maxwell en un problème classique de diagonalisation de matrice (calcul de valeurs et vecteurs propres). Cette méthode est essentiellement utilisée pour analyser les propriétés dispersives des matériaux à bandes interdites photoniques, elle permet aussi de déterminer la fréquence, la polarisation, la symétrie ainsi que distribution du champ pour les modes d'une structure à cristal photonique.

Compte tenu de la périodicité de la permittivité diélectrique dans un cristal photonique et d’après le théorème de Bloch, le champ magnétique H⃗ ainsi que la fonction diélectrique ɛ(r⃗) peuvent être développés en ondes planes comme suit :

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H(r⃗) = h

, ⃗

G⃗ . e . exp. ik⃗ + G⃗ . r⃗ (III. 6)

ɛ(⃗)= ∑ η G⃗_⃑ . exp iG ⃗. r⃗ (III. 7) où k⃗ est le vecteur d’onde appartenant à la première zone de Brillouin, G⃗ le vecteur du réseau réciproque,

N=1 ou 2 et e et e étant les vecteurs unitaires perpendiculaires aux k⃗ + G⃗ .

𝜂 𝐺⃗ représente la transformé de fourier de l’inverse de ɛ(r⃗), elle est définie comme : η(G⃗) =¹

Ω 1

ɛ(r⃗)^{. exp −iG ⃗. r⃗ dr⃗ (III. 8)}

Où Ω désigne la surface de la cellule unitaire.

En injectant les expressions de champ magnétique et de la fonction diélectrique (équation (III.6), et (III.7)) dans le système d’équations d’état (III.5), on arrive à l’équation matricielle suivante :

k⃗ + G⃗

⃗

k⃗ + G⃗ η G⃗ − G⃗ ɛ G⃗ − G⃗ ^{e . eˊ −e . eˊ} −e . eˊ e . eˊ

hˊ hˊ ⁼ ω c h h ^{(III. 9)} La résolution de l’équation (III.9) peut se faire en utilisant la méthode de diagonalisation. Pour différentes valeurs du vecteur d’onde 𝑘⃗, on peut donc obtenir une série de fréquences propres ω (valeurs propres de la matrice) qui va constituer la structure de bande photonique, élément de base dans l’étude des cristaux photoniques car elle permet de tracer une «cartographie» de tous les états électromagnétiques possibles pouvant exister dans la structure photonique.

Dans le cas des cristaux photoniques periodiques 2D dans le plan (x, y) (où la constante diélectrique est invariente suivent la direction z), 𝑘 = 0, e = e , et e est toujours dans le plan (x,y), on constate alors deux polarisations indépendantes ℎ et ℎ . Tant que ℎ est dans le plan (x,y), ℎ est suivent z, ce qui nous amène à identifier les deux types de polarisations TE et TM corespendant à ℎ et ℎ respectivement.

L’équation III.9 se decompose en modes TE et TM suivent les deux equations : TE: k⃗ + G⃗ ⃗ k⃗ + G⃗ η G⃗ − G⃗ h G⃗ =^ω c ^{h G⃗ (III. 10)} TM: k⃗ + G⃗ ⃗ k⃗ + G⃗ η G⃗ − G⃗ h G⃗ =^ω c ^{h G⃗ (III. 11)}

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Les équations (III.10) et (III.11) constituent un problème aux valeurs propres dont la résolution est possible par des méthodes numériques standards. La convergence de ce dernier dépend principalement du nombre de vecteurs du réseau réciproque pris en compte. Ainsi qu’un nombre minimum de vecteur 𝐺⃗ est nécessaire pour d’écrire correctement la permittivité du cristal photonique.

Les coefficients de Fourier de la constante diélectrique ou de son inverse, qui permettent de déterminer la structure de bande d’un cristal photonique sont exprimés comme suit :

η(G⃗) = ^ɛ + Ω ɛ − ɛ (r ), G⃗ = 0 Ω ɛ − ɛ [rJ (G(r))], G⃗ ≠ 0 (III.12) Où, J1 est la fonction de Bessel d’ordre 1. ɛ = 1 représente la constante diélectrique de l’air et ɛ est la constante diélectrique du silicium.

Pour un cristal photonique à motif annulaire les coefficients de Fourier s’expriment comme suit :

(G⃗) = ^ɛ + Ω ɛ − ɛ R − R , G⃗ = 0 Ω ɛ − ɛ [R J (G(R )) − R J (G(R ))], G⃗ ≠ 0 (III.13) Où Rin et Rout désignent respectivement les rayons interne et externe des motifs annulaires.

Cette méthode est bien adaptée à l’étude de cristaux photoniques infiniment périodiques, elle a été utilisée par plusieurs chercheurs pour la détermination de la bande interdite photonique des structures bidimensionnelles, tridimensionnelles ainsi que la structure du graphite. En pratique, on définit la structure d’un réseau périodique par une cellule de base que l’on répète suivant les directions désirées afin de former un cristal photonique parfait sans défaut de périodicité couvrant l’espace de calcul entier. III.3.1 Méthode de la super-cellule

La méthode de décomposition en ondes planes est très efficace pour calculer les diagrammes de bandes de cristaux photoniques parfaitement périodiques. Cependant, pour les structures non périodiques comprenant des défauts tels que les guides d’ondes ou les cavités, les calculs des diagrammes de dispersion ne peuvent se faire directement par cette méthode. La périodicité du cristal brisé par le défaut doit être réintroduite. Pour cela, La méthode de la super-cellule est instaurée. Développée par [8], cette technique consiste à introduire le défaut au centre d’une cellule de base comprenant plusieurs rangées de motifs et de la répéter indéfiniment dans les directions correspondant au réseau d’origine pour donner naissance à un nouveau réseau parfaitement périodique (figure III.1).

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Figure III.1. Exemple de définition d'une super-cellule (a) dans le cas des cavités à cristaux photoniques (défauts ponctuelles) (b) dans le cas d'un guide d’onde (défaut linaire).

Le domaine simulé correspond donc à une infinité de défauts séparés par des zones de CPh. En raison de la périodicité artificielle introduite par le calcul PWE, ces défauts agiront l’un sur l’autre et peuvent se coupler. À ce titre, le choix de la taille de la super-cellule est primordial, une super-cellule trop petite permettrait donc aux modes de défauts d’interférer entre eux, créant ainsi des modes artefacts. En revanche, une grande cellule permet de bien isoler les modes les uns des autres, néanmoins elle exige un temps de calcul plus important.

Typiquement, pour un cristal réalisé dans un matériau diélectrique de permittivité relative avoisinant les 10, la méthode de la super-cellule s'applique parfaitement, à condition que la distance entre les défauts soit supérieure ou égale à 4 périodes du cristal d'origine [9].