Méthode numérique pour la discrétisation des équations mathématiques

Cette section traite des méthodes numériques et plus particulièrement de la manière dont nous allons appliquer les équations mathématiques à un domaine discret. La méthode principale est décrite brièvement suivie par une courte description du solveur lagrangien. Enfin, les discrétisations spatiales et temporelles sont présentées.

2.5.1 Méthode des volumes finis

La méthode des volumes finis est une méthode largement utilisée dans la CFD permettant de résoudre des équations de transport sous forme intégrales sur des volumes de contrôle. Le domaine de calcul est discrétisé en volume élémentaire (ou surfaces élémentaires pour un calcul en deux dimensions) correspondant à des cellules dans un maillage. Les versions discrètes de la forme intégrale des équations de transport sont appliquées à chaque volume élémentaire. L’objectif est d’obtenir un système d’équations algébrique pour lequel le nombre total d’inconnus dans chaque système d’équations correspond au nombre de cellules totales

dans le maillage. La solution des termes non linéaire dans les équations de Navier-Stokes est réalisée par des méthodes itératives. Ces méthodes itératives reposent sur des stratégies de linéarisation. Finalement, les équations linéarisées sont résolues avec un solveur multi- maillage algébrique (Versteeg & Malalasekera, 2007).

2.5.2 Solveur Lagrangien

Cette section décrit la méthodologie utilisée pour calculer la position des particules par le solveur Lagrangien (CD-Adapco, 2016). La méthodologie pour une simulation dont la solution avance de t à t + Δt (Δt étant le pas de temps), en considérant une seule itération du solveur instationnaire du solveur Lagrangien est la suivante :

1) à l’instant t, le solveur pour les équations de la phase gazeuse est gelé et le solveur Lagrangien s’exécute avant le solveur de la partie phase gazeuse.

2) de t à t + Δt, la position de chaque particule est calculée numériquement en intégrant avec un schéma d’Euler implicite du second ordre l’équation (2.26) par rapport au temps avec le pas d’intégration δtd étant le pas de temps local relatif à chaque particule dont la résolution se fait par une approche marche temporelle, et ce jusqu’à l’intervalle de temps suivant t + Δt.

2.5.3 Discrétisation

Les schémas de discrétisations vont permettre d’approximer les équations discrétisées en équations algébriques à l’aide des séries de Taylor (Veerteeg et Malalasekera, 2007). En choisissant d’approximer avec un ordre de précision élevé, moins d’erreurs de troncatures sont introduites. Ces erreurs de troncatures agissent comme étant de la diffusion ou de la dispersion numérique. Cependant, un schéma d’ordre élevé peut amener une convergence des résidus moins bonne qu’avec un schéma d’ordre moins élevé. Par exemple, la dissipation numérique introduit par un schéma d’ordre un est plus élevé que pour un schéma numérique d’ordre deux, ce qui a pour conséquence de mieux stabiliser la solution et de converger plus bas les résidus. Le choix du schéma de discrétisation est particulièrement important puisqu’il affecte plusieurs paramètres de la solution, dont la stabilité et la précision des résultats.

Discrétisation spatiale

Les schémas de discrétisation spatiale disponible dans STAR-CCM+ pour notre étude sont : - un schéma amont (ou upwind) du premier ordre,

- un schéma amont (ou upwind) du second ordre,

- un schéma hybride MUSCL (ou Hybrid MUSCL) du troisième ordre.

Les schémas de discrétisation amont prennent en compte la direction de l’écoulement. Dans notre cas, l’écoulement est tri directionnel, car l’avion vole de manière horizontale et les gradients de vitesses dans les couches de mélanges sont suivant les trois directions (x, y et z). Le schéma amont du premier ordre est généralement déconseillé à cause de la forte dissipation qu’il introduit. Le schéma hybrid MUSCL du troisième ordre est recommandé pour les simulations dites à « haute-fidélité » (LES ou DES pour Detached Eddy Simulation), dans des applications acoustiques et aérodynamiques (CD-Adapco, 2016). Le schéma amont du second ordre offre un bon compromis entre la stabilité et la précision. Ce schéma possède l’avantage d’introduire une diffusion numérique plus faible qu’un schéma numérique d’ordre un. Ainsi, pour cette étude, les simulations dans ce mémoire seront réalisées au moyen d’un schéma amont de second ordre.

Discrétisation de l’équation pour la croissance des cristaux

L’équation (2.20) calculant le rayon de chaque particule à chaque pas de temps est résolue par un schéma numérique. La résolution de cette équation se fera par le moyen d’un schéma Runge-Kutta d’ordre 4 utilisé par (Garnier et al., 2014). Ce schéma numérique a été programmé dans STAR-CCM+ en langage C.

Discrétisation temporelle

Les schémas de discrétisation temporelle pour la phase gazeuse disponible dans STAR-CCM+ (CD-Adapco, 2016) pour notre étude sont :

- un schéma d’Euler implicite du premier ordre, - un schéma d’Euler implicite du second ordre.

Les schémas implicites sont par définition inconditionnellement stables, c’est-à-dire qu’ils ne mettent pas de condition sur le nombre de Courant-Friedrichs-Lewy. Ce nombre caractérise le déplacement d’une onde à une certaine vitesse sur une cellule du domaine pendant un pas de temps. Pour les schémas explicites, le CFL doit être inférieur à 1 pour être stable. Les schémas implicites n’ont pas de condition sur le CFL. Nous avons choisi le schéma d’Euler implicite du second ordre, car la précision de ce schéma est supérieure à un schéma d’Euler implicite du premier ordre d’après (Versteeg & Malalasekera, 2007).

Le solveur Lagrangien pour la partie solide emploie un pas de temps local est attribué aux particules pour contrôler leur déplacement sur le domaine de calcul. Ce pas de temps noté δt dépends de trois paramètres : le pas de temps de la simulation ∆t (avec δt ≤ ∆t), le CFL maximum CFL et le CFL minimum CFL . La condition sur le pas de temps relatif δt aux particules est la suivante :

∆

(| |, | |)≤ ≤

∆

(| |, | |) (2.34)

avec ∆x la longueur caractéristique d’une cellule contenant la particule.

Ce pas de temps est ajusté dynamiquement, car CFL et CFL sont imposés, mais ∆x, U , varient pendant la simulation, car ils dépendent de l’écoulement.