Méthode d’estimation

On suppose ici que l’on dispose d’un ensemble d’apprentissage χ_N = {r₁, ...,r_N}, constitué de N réalisations indépendantes et identi-quement distribuées du vecteur aléatoire r. Ce dernier est paramétré par l’un des deux modèles M1 ou M2, et comme mentionné précédemment, est distribué tel que :

r∼ N(µ,Γ) (4.3)

oùµ = _µ(_θ)_{et Γ} = _Γ(_θ)_{. θ}= {θ₁, ...,θ_P}représente l’ensemble des para-mètres inconnus du modèle (parmi H,C_PHY,C_CDOM etC_{N AP}).

Dans la méthode d’estimation du maximum de vraisemblance (MV) pré-sentée, le but est d’estimer cet ensemble en choisissant la valeur de θ la plus vraisemblable, c’est-à-dire en optimisant la fonction de vraisemblance P(χ_N|θ)en fonction des paramètres inconnus :

bθMV(χ_N) =argmax

θ

P(χ_N|θ). (4.4) La vraisemblance associée à cet échantillonχ_N s’exprime de la façon sui-vante :

Première approche simplifiée

Il existe de multiples sources de variabilité spectrale : en particulier, on peut citer les variabilités dûes au fond, au capteur, aux inhomogénéités de la colonne d’eau, ou encore aux perturbations affectant la surface et qui ne sont pas modélisées (vagues, réflexions spéculaires du soleil ou du ciel, etc).

Dans un premier temps, on cherche les expressions analytiques des esti-mateurs solutions de l’Equation 4.4. Pour cela, on simplifie le problème en ne conservant que les variabilités dûes au fond et au capteur, et, en supposant que celles-ci soient gaussiennes, le pixel spectralrpeut s’écrire, avec le modèle M1, tel que :

r=r_∞+K(r_0,B−r_∞) +n_S (4.6) où r_0,B ∼ N(µ_0,B,σ_B²Id_L) est un vecteur aléatoire décrivant la variabilité du fond, etn_S ∼ N(0,σ_S²Id_L)un vecteur aléatoire représentant le bruit de capteur.

Le vecteur spectral r, somme de deux vecteurs aléatoires gaussiens indé-pendants, suit également une loi normale multivariée de moyenneµ, et de matrice de covariance Γ. On a :

µ = _E[r_∞+K(r_0,B−r_∞) +n_S]

µ = r_∞+K(µ_0,B−r_∞). (4.7) De même, Γest donné par :

Γ = _E^nh(r_∞+K(r_0,B−r_∞) +n_S)−r_∞+K(_µ0,B−r_∞)ⁱ

×^h(r_∞+K(r_0,B−r_∞) +n_S)−r_∞+K(µ_0,B−r_∞)^it Γ = KEh

(r_0,B−µ_0,B)(r_0,B−µ_0,B)^tiK+_En_Sn_S^t

Γ = σ_B²K²+σ_S²Id_L. (4.8) On remplace alors dans la vraisemblance 4.5les paramètres statistiquesµ etΓpar leur expression4.7et4.8respectivement. Une fois que l’on connaît ces dépendances, trouver une solution analytique de θb_i,MV(χ_N) _{revient à} trouver la valeur de θ_i qui annule la dérivée de la vraisemblance. Mal-heureusement, les calculs sont délicats, et nous n’avons pu résoudre cette équation pour les quatre paramètres. Par conséquent, nous nous sommes réorientés vers une optimisation numérique de la vraisemblance. Cette modélisation simplifiée de Γ sera utilisée par la suite pour la simulation des images.

Deuxième approche

Ici, on conserve l’expression du spectre moyen µ = µ(θ) de l’Equa-tion4.7.

En revanche, afin d’être moins restrictif sur la variabilité der, nous ne fai-sons plus d’hypothèse sur la forme diagonale de la matrice de covariance.

Figure 4.1– Exemple de fonction de vraisemblance en fonction de H et CPHY, calculée à partir d’une image HypLitt, pour une profondeur de2.83m.

Celle-ci est donc supposée inconnue, et est remplacée par son estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) :

Γb_MV(χ_N;θ) = ¹ N

∑

(r_i−µ(θ))(r_i−µ(θ))^t. (4.9) On remplace alors Γ par bΓ_MV(χ_N;θ) dans l’expression de la vraisem-blance4.5et on obtient :

P(χ_N|θ) = ¹ q

(2π)^L|bΓMV(χN;θ)|

N e^−L×2N. (4.10) Le vecteur de paramètres inconnu θ est alors estimé en maximisant la fonction P(χ_N|θ), ou de façon équivalente, la fonction suivante :

bθ_MV(χ_N) =argmax

θ

|bΓ_MV(χ_N;θ)|⁻¹. (4.11) De la même façon que dans l’approche simplifiée précédente, il est très dé-licat de retrouver les expressions analytiques des estimateurs en annulant la dérivée de cette fonction, et par conséquent, une méthode d’optimisa-tion numérique est mise en place afin d’estimer leur valeur.

En guise d’exemple, sur la Figure 4.1, on trace la log-vraisemblance en

Figure 4.2 – Influence du bruit sur la forme de la log-vraisemblance (données synthé-tiques, H =15m, CPHY =0.7µg.L⁻¹, CCDOM=0.08m⁻¹et CN AP=2.8mg.L⁻¹).

fonction de H et deC_PHY. Celle-ci est évaluée ici sur une image HypLitt pour laquelle la profondeur est de2.83 m.

Par ailleurs, toujours pour illustrer la forme de cette fonction, on trace également sur la Figure 4.2 son évolution en fonction de H (les autres paramètres étant supposés connus) et de la valeur des bruits σ_B² et σ_S² modélisant la variabilité du fond et du capteur. Ici, la log-vraisemblance est calculée sur des données synthétiques. On note bien l’influence du bruit, qui rend la courbe moins "piquée", donc l’estimation plus difficile à effectuer.

Sauf indication particulière, cette méthode sera utilisée par la suite pour l’estimation des paramètres.

Troisième approche semi-supervisée

Une dernière approche semi-supervisée a enfin été testée afin d’appor-ter une solution lorsque le fond est inconnu. En effet, la méthode évoquée dans le paragraphe précédent suppose que l’on connaît ce spectrea priori.

En pratique, il peut être difficile de posséder cette information, et par conséquent, au même titre que la méthode d’inversion par optimisation d’une fonction d’erreur de Lee et al. (1999) présentée dans la Section3.3.1, on peut simplement supposer connaître le spectre du fond à un facteur multiplicatif près. On a ainsi :

µ=r_∞+K(fµ_0,B−r_∞) (4.12) où f est un paramètre multiplicatif inconnu. Typiquement, la forme du spectre µ_0,B peut être semblable à celle du sable.

Ainsi, en reprenant l’expression simplifiée de la matrice de covariance diagonale de l’Equation 4.8, il est possible de retrouver l’expression ana-lytique de l’EMV de f, en égalant à zéro la dérivée par rapport à f de la fonction de log-vraisemblance, elle-même obtenue à partir de

l’Equa-tion4.5. On trouve alors : bf_MV(χ_N;θ) = ^µ0,B

tKΓ(θ)⁻¹(¯r(χN) + (K−Id_L)r_∞)

µ_0,B^tKΓ(θ)⁻¹Kµ_0,B^t (4.13) où ¯r(χ_N) est la moyenne empirique du vecteur aléatoire r, calculée sur l’échantillon χ_N. Tous les détails des calculs, y compris ce qui suit, sont présentés en Annexe A.2.

Par ailleurs, en remplaçant f par l’expression 4.13 de son EMV dans l’Equation 4.5, et en faisant l’hypothèse que les variabilités du fond et du bruit de capteur sont égales, i.e. σ_B² = σ_C² = σ², on peut de la même façon retrouver l’expression analytique de l’EMV deσ² :

bσ_MV² (χ_N;θ) = ¹

Dans le cas semi-supervisé, en considérant f et σ² inconnus, la log-vraisemblancel(χ_N|θ)à optimiser est donc égale à :

. En développant l’expression 4.15, on obtient :

l(χ_N|_θ) =−^N×L

2 [1+ln(2π)]− ^N

2 ln|_Γ(χ_N;θ)|. (4.16) Comme précédemment, le vecteur de paramètres inconnus θest ensuite retrouvé par un algorithme d’optimisation numérique.

On peut remarquer qu’à une fonction croissante près, on obtient la même dépendance enθque dans l’Equation 4.11, à savoir que l’on doit optimi-ser l’inverse du déterminant de la matrice de covariance (qui est bien sûr différente dans les deux cas).

Bien qu’au même titre que la première, cette troisième approche fasse une hypothèse assez forte sur la forme de Γ, elle est néanmoins intéres-sante lorsque le fond est mal connu, et dans ce cas, permet d’apporter une autre solution que la méthode présentée dans la deuxième approche.