Méthode de simulation numérique

3.1.1 Les éléments finis

La modélisation du transport de chaleur dans un réseau de fractures, dont les résultats sont surtout présentés dans le chapitre 4, a été réalisée avec la méthode des éléments finis (MEF). Cette méthode consiste à approximer un problème d'équations aux dérivés partielles décrivant le comportement physique du système pour des conditions aux limites données, avec un problème ayant un nombre fini d'inconnues. Il s'agit d'une discrétisation du problème original (Zienkiewicz and Taylor, 2000). La discrétisation consiste à créer un maillage du domaine, c'est à dire à découper le domaine en mailles. Le maillage du domaine permet de définir les éléments finis sur chacun desquels, il est possible d'approximer l'équation aux dérivées partielles par un système d'équations linéaires. Lorsque qu'il s'agit d'un problème transitoire (qui évolue avec le temps), il est nécessaire de définir une méthode d'intégration temporelle qui fixe le pas temporel de calcul.

La méthode des éléments finis permet donc de résoudre un problème continu de manière discrète et approchée (Zienkiewicz and Taylor, 2000). Le maillage spatial et temporel doit ainsi être choisi pour se rapprocher le plus de la réalité. D'une manière générale, plus les mailles du domaine sont petites et plus la solution sera précise, plus les temps de calcul seront importants. Il faut donc trouver un compromis entre temps de calcul et précision des résultats. Des nombres adimensionnels numériques permettent d'aider à déterminer le maillage optimal pour que le modèle converge et éviter les instabilités numériques. Pour un problème d'advection, le choix du maillage d'espace peut être guidé par le nombre de Péclet numérique qui correspond au nombre de Péclet dans une maille. Il est admit que ce nombre doit normalement être inférieur à 1 pour éviter l'instabilité numérique tel que (COMSOL, 2012) :

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(8)

avec la vitesse d'advection, la taille de la maille et le coefficient de diffusion. Pour les problèmes transitoires, il existe un autre critère de stabilité et de convergence qui est le nombre de Courant . Ce nombre de Courant doit être inférieur à 1, tel que :

(9) avec le pas de temps de calcul. Ce critère traduit le fait que le pas de temps de calcul ne doit pas être trop grand par rapport au temps que met le flux pour aller d'une maille à l'autre. Notons que ces deux critères, permettant d'aider au choix du maillage, ne remplacent pas les autres outils pouvant êtres utilisés pour vérifier la précision des modèles tels que les solutions analytiques et les bilans d'énergie. De plus, la valeur critique de ces critères dépend également de la géométrie, de la durée du problème et des processus physiques.

3.1.2 Application au transport de chaleur dans un milieu fracturé

Pour le cas de la modélisation numérique par la méthode des éléments finis du transport de chaleur dans un réseau de fractures planes, il y a deux domaines à mailler, correspondant à deux équations de transport : les fractures, dans lesquels le transport se fait principalement par advection et conduction, et la matrice rocheuse imperméable où le transport se fait uniquement par conduction. L'échange entre la matrice et les fractures est assuré par une condition de continuité de la température et du flux thermique à la limite entre les fractures et la matrice. Les équations aux dérivés partielles dans les fractures et la matrice sont ainsi respectivement : (10) (11) avec la température du fluide dans le fracture en Kelvin, la température de la matrice en Kelvin, le temps en s, la masse volumique de l'eau en kg/m2_{, la masse volumique de} la matrice en kg/m2, la chaleur spécifique de l'eau en J/kg/K, la chaleur spécifique de la matrice en J/kg/K, avec la conductivité thermique de l'eau en W/m/K, la conductivité thermique de la roche en W/m/K, la vitesse moyenne du fluide dans les fractures en m/s et

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un terme source en W/m3_{. La condition de continuité à la limite entre les fractures et la} matrice est gouvernée par les équations :

(12)

(13)

avec la profondeur dans la matrice.

Afin de bien représenter le flux de chaleur dans les fractures et l'échange entre les fractures et la matrice, il est essentiel de mailler les fractures et la matrice proche des fractures. Lorsqu'on s'éloigne des fractures, les processus de conduction deviennent moins rapides du fait de la diminution du gradient de température, les mailles peuvent donc être plus grandes. Le nombre de Péclet permet de déterminer le maillage de la fracture. Etant donné que la vitesse de transport thermique prédomine dans la fracture, c'est le maillage de la fracture qui va contraindre le choix du maillage temporel pour que le critère du nombre de Courant soit satisfait. Le maillage de la matrice proche de l'interface fracture/matrice doit être suffisamment petit pour prendre en compte l'échange thermique entre les fractures et la matrice.

3.1.3 Différents logiciels de modélisation numérique

COMSOL Multiphysics a été utilisé pour réaliser les différentes simulations numériques dans le cadre de cette thèse. Ce logiciel est basé sur la méthode des éléments finis et permet de simuler de nombreux problèmes physiques couplés 1D, 1D axisymétrique, 2D, 2D axisymétrique et 3D tels que les écoulements de fluides, le transport de soluté (Holzbecher et al., 2010) et de chaleur (Bakhsh et al., 2017; Klepikova et al., 2016a; Zanchini et al., 2012) , les réactions chimiques et les processus mécaniques (Zhu and Wei, 2011). Ce logiciel a été choisi dans le cadre de cette thèse car il permet de facilement générer en 3D quelques fractures discrètes dans une matrice imperméable et il possède une interface simple d'utilisation. Notamment, ce logiciel a été utilisé dans le travail de Klepikova et al. (2016a) pour modéliser le transport de chaleur dans des fractures de différentes géométries. Lors de cette étude, le logiciel COMSOL s'est avéré approprié pour générer des fractures de différentes géométries pour coupler la simulation de l'écoulement du fluide dans les fractures et du transport de chaleur dans les fractures et la matrice. La Figure 3-1 donne un exemple de modélisation du transport thermique dans une fracture plane et plusieurs chenaux (Klepikova et al., 2016a).

75 Figure 3-1: Modélisation COMSOL du transport de chaleur dans (a) une fracture plane et (b) plusieurs chenaux (Klepikova et al., 2016a)

Il existe d'autres logiciels ou codes de modélisation numérique plus spécifiques à l'étude de l'écoulement et du transport en milieu souterrain. Nous présentons ici les modèles proposés à l'origine pour réaliser le travail de modélisation de cette thèse :

- MARTHE (Modélisation d'Aquifères avec un maillage Rectangulaire, Transport et HydrodynamiquE) développé par le BRGM, permet la modélisation numérique intégrée des aquifères, des cours d'eau et de la zone non saturée. Il est adapté notamment à la modélisation du transport de chaleur en aquifère (Thiéry, 2015). Il peut générer des aquifères monocouches, multicouches et 3D mais il ne permet pas de créer des fractures discrètes.

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- HEATFLOW-SMOKER est un modèle numérique permettant de résoudre des problèmes d'écoulement souterrain et de transport thermique en prenant en compte les variations de densité. Il peut notamment être utilisé pour résoudre des problèmes 1D, 2D et 3D dans de nombreux systèmes hydrogéologiques tels que des milieux poreux contenant des fractures discrètes (Molson and Frind, 2015). Ce modèle a été utilisé pour de nombreux problèmes de transport de chaleur tel que la modélisation du stockage thermique en aquifère (Molson et al., 1992), du transport thermique en milieu fracturé (Molson et al., 2007) et des systèmes hydrothermaux (Yang et al., 1996). La Figure 3-2 montre un exemple de modélisation du transport thermique dans un milieu fracturé soumis pendant toute une année aux fluctuations de température de surface (Molson et al., 2007). Une des limitations de ce modèle pour la modélisation du transport de chaleur dans un réseau de fractures discrètes est qu'il n'est possible de générer uniquement des fractures orthogonales.

Figure 3-2: Distribution de la température simulée avec HEATFLOW-SMOKER dans un milieu fracturé soumis aux variations de température de surface, pour différents temps sur un cycle de 360 jours. La température de surface imposée sur la frontière supérieure évolue suivant le graphique de température en haut de chaque figure. (a) 105 jours, (b) 200 jours et (c) 355 jours (Molson et al., 2007).

77 - HydroGeoSphere est un modèle qui permet de simuler des problèmes hydrologiques (Brunner and Simmons, 2012). Il peut simuler aussi bien des problèmes simples que des problèmes très complexes intégrant plusieurs processus physiques tels que la simulation intégrée du flux et du transport de soluté et de chaleur. Il est souvent utilisé pour résoudre des problèmes hydrogéologiques couplés à grande échelle telles que les interactions eaux de surface/eaux souterraine (Goderniaux et al., 2009), la géothermie faible profondeur (Raymond and Therrien, 2008) ou l'intrusion saline (Graf and Therrien, 2008). Ce modèle permet notamment de générer des réseaux de fractures discrètes de géométries complexes (Graf and Therrien, 2007; Vujevic et al., 2014; Weatherill et al., 2008). Ce modèle est ainsi tout à fait approprié pour étudier le transport de chaleur dans des fractures dont la géométrie est bien contrôlée. Cependant, nous n'avons pas choisi ce logiciel pour le travail de modélisation présenté dans le chapitre 4 en l'absence d'interface. La génération de géométries telles que des fractures y est moins flexible qu'avec COMSOL.