Dans les deux sections précédentes, nous nous sommes intéressés à l’analyse du pro-blème de filtrage. Deux grandes familles d’algorithmes (paramétriques et stochastiques) ont été citées avec pour chacune plusieurs algorithmes décrits. Le choix de la méthode de filtrage dépend principalement des cibles à suivre, donc du modèle d’évolution permet-tant de prédire leur mouvement. Ces algorithmes cherchent à déterminer l’état caché des cibles situées dans le champs de vue du ou des capteur(s) à partir des nouvelles mesures
disponibles à chaque nouvelle itérationk.
En pratique, plusieurs mesures sont souvent disponibles à chaque itération ; chacune de ces mesures pouvant être issue de l’entité suivie ou avoir été générée par le processus d’élaboration des mesures sans provenir des objets (également appelé fausses alarmes). La prise en compte des fausses alarmes dans la mise à jour de la loi de filtrage perturbe la qualité du résultat et peut amener à une perte de l’entité suivie. Il est donc primordial
d’être capable de distinguer, à chaque instantk, quelles sont les mesures informatives sur
l’état du système à estimer de celles qui sont des fausses alarmes. C’est le problème de l’association de données (en anglais : data association) (cf. la figure 3.7).
Le problème de l’association de données est encore plus important dans un cadre de filtrage multi-objets. En effet, il doit permettre de déterminer si une mesure est une fausse alarme ou dans le cas contraire, être capable de déterminer à quel objet elle appartient. De nombreux travaux ont été menés sur cette problématique dont les plus connus sont ceux proposés dans l’ouvrage de BarShalom [Bar-Shalom & Li, 1995].
Mesures k = k + 1 Estimation a posteriori Association Fenêtrage Prediction a priori Initialisation du filtre FIG. 3.7 – Le module de suivi.
3.5.1 Fenêtre de validation des mesures
Pour limiter la complexité des calculs et éviter des associations aberrantes, une pre-mière étape consiste à réaliser une approximation appelée « fenêtre de validation des
me-sures » (cf. la figure 3.7), qui consiste à délimiter, à partir de la mesure prédite ˜X(k|k−1),
un volume de l’espace d’observation, à l’extérieur duquel la cible a une probabilité très faible de se trouver. Les mesures extérieures au volume sont éliminées car elles sont sta-tistiquement trop éloignées de la position prédite. Seules les mesures les plus probables sont conservées, elles sont dites validées.
Dans le cadre d’un suivi multi-objets mono-capteur, deux hypothèses d’association peuvent être considérées. Elles définissent les règles d’association entre les mesures vali-dées et les pistes.
H1 : Une mesure peut provenir d’un objet ou d’une fausse alarme.
H2 : A un instant donné, un objet peut être à l’origine d’aucune ou d’au plus une mesure. La combinaison des hypothèses H1 et H2 traduit le fait que les associations possibles
décrites dans la matrice d’association A (avec i ∈ {1, ..., O} objets et j ∈ {1, ..., mk}
mesures) sont exhaustives et mutuellement exclusives. Modèle gaussien
Pour calculer le test de validationT (z), il faut supposer que la mesure Zkprovient de
la cible et vérifie :
p(Zk| ˜Xk−1) =N (Zk, ˜Xk|k−1; Sk) (3.10) où N (Z, µ; S) désigne la densité de probabilité gaussienne de variable Z, de moyenne µ et de covariance S. L’état prédit ˜Xk|k−1 et la covariance prédite Sk sont disponibles à
l’instantk.
Le test de validation s’obtient en imposant un seuil minimal à la densité a priori de la
mesurep(Zk| ˜Xk−1), d’où le résultat :
( T (z) = 1 si ˜ZtkS−1k Z˜k ≤ γ T (z) = 0 si ˜Zt kS−1k Z˜k > γ (3.11) avec ˜ Zk= (Zk− ˜Xk|k−1) (3.12) et Sk = HkPk|k−1Htk+ Rk (3.13)
Le seuilγ est fixé en choisissant la taille de la fenêtre de validation de telle sorte que la
probabilité de trouver la mesure correcte à l’intérieur de la fenêtre de validation soit égale àPg.γ est lié à Pg par la relation :
Pg = p(χ2nz ≤ γ) (3.14)
oùχ2
nz désigne une variable qui suit une loi duχ2 ànz degré de liberté.
Modèle non gaussien
Dans le cas du filtrage particulaire, la densité p( ˜Xk|Zk−1) n’est pas connue
analyti-quement. Cependant, le nuage de particules pondérées{x(n)k−1, wk−1(n)}n=1...N permet
les échantillons {˜x(n)k−1}n=1...N obtenus par prédiction du nuage p(Xk−1|Z1:k−1) on peut poser : p( ˜Xk|Zk−1)≃ N X n=1 ˜ wk−1(n)p(Zk|˜x(n)k−1) (3.15)
A partir de cette expression, il est possible de se ramener à une hypothèse gaussienne en
calculant analytiquement les deux premiers moments de l’estimationp( ˜Xk|Zk−1), et donc
de constuire une fenêtre ellipsoïdale de validation des mesures.
Cependant, afin de conserver le caractère non gaussien de la distributionp( ˜Xk|Zk−1),
une autre solution consiste à construire numériquement ces régions de validation en utili-sant par exemple les méthodes non paramétriques à noyaux (KDE).
3.5.2 Méthodes d’association paramétriques
Filtre à association de données probabilistes (PDAF)
L’augmentation importante de la puissance de calcul a rendu populaire les méthodes utilisant toutes les observations voisines d’une piste pour sa mise à jour.
Le PDAF [Bar-Shalom & Fortmann, 1988] est une extension du filtre de Kalman dé-diée au filtrage d’un objet unique évoluant dans un environnement bruité. Cet algorithme se décompose donc en deux étapes, prédiction et correction. La prise en compte des diffé-rentes hypothèses d’association est faite au travers de calcul de l’innovation (cf. la figure 3.8).
Cette formulation revient à approcher une somme de densités de gaussiennes par une unique densité gausienne.
Position prédite
Donnée fictive associée
zk1
zk2 ˆ
z1(k|k−1)
FIG. 3.8 – L’Association par PDAF consiste à construire un estimateur qui prend en
compte toutes les observations de la fenêtre, donc toute l’information contenue dans celle-ci. Sur cette figure, on peut voir que la piste est associée avec une donnée « fictive » calculée en pondérant chaque donnée présente dans la fenêtre de validation.
Filtre joint à association de données probabilistes (JPDAF)
Le JPDAF [Bar-Shalom & Fortmann, 1988] [Gorji et al., 2007] est une extension du PDAF pour la poursuite multi-objets. Le JPDAF suppose normalement un nombre connu
O d’objets suivis. Mais, il est facile de l’adapter au suivi d’un nombre inconnu d’objets en
ajoutant un module de gestion de piste afin de gérer la création et la destruction de piste. Le JPDAF permet de renforcer la robustesse du PDAF dans les zones critiques où deux fenêtres se chevauchent (cf. la figure 3.9) en apportant l’information multi-cibles. Le PDAF est alors modifié de la façon suivante :
⊲ si les interactions des fenêtres sont vides, on remet à jour de simples filtres de
poursuite PDAF, indépendamment les uns des autres ;
⊲ si les interactions ne sont pas vides, on examine toutes les hypothèses envisageables
sans dissocier les différentes pistes. Cela revient à étabir une matrice d’association
A permettant de décrire l’hypothèse qu’une mesure zjkreçue à l’instantk provienne
de la piste xik.
FIG. 3.9 – Chevauchement de deux fenêtres de validation pour deux objets et cinq
me-sures.
3.5.3 Méthodes d’association non paramétriques
Méthode du plus proche voisin (PPV)
Cette méthode [Bar-Shalom & Fortmann, 1988] est la plus simple et la plus utilisée pour répondre au problème de l’association de données. C’est une méthode purement séquentielle qui permet de trouver l’association la plus probable entre une observation et une piste existante ou entre une nouvelle observation et une nouvelle piste. L’idée
principale est de trouver la plus petite distance qui sépare une piste xik, parmi toutes les
observations zjkqui appartiennent à la région de validité de xik(cf. la figure 3.10).
Le principal inconvénient de cette méthode du plus proche voisin tient au fait que la décision sur l’association est immédiate et irrévocable : l’hypothèse la plus probable est considérée comme vraie. Son principal avantage est son faible coût calculatoire. Ce type de méthode est donc particulièrement adapté aux environnements contenant à chaque
nouvel instant k, peu d’observations et surtout peu de fausses alarmes. Le suivi d’un
nombre inconnu d’objets s’effectue, comme pour le JPDAF, en ajoutant un module de gestion de piste. Une analyse des performances de cette méthode est présentée dans [Bar-Shalom & Fortmann, 1988].
fenêtre de validation
mesure non associée
mesure associée
FIG. 3.10 – Exemple d’une association par PPV.
Filtre à hypothèses multiples (MHT)
Dans cette méthode [Read, 1979], le nombre d’objets est inconnu mais supposé supé-rieur à un, et pouvant croître ou décroître au cours du temps. Le principe du MHT est de considérer systématiquement toutes les hypothèses d’association possibles et de créer une piste pour chacune de ces hypothèses. L’idée est d’attendre que de nouvelles observations capteurs lèvent l’ambiguité et permettent de décider quelles hypothèses sont à abandonner et les quelles sont à garder (cf. la figure 3.11).
Bien que le coût de mise en oeuvre de cet algorithme soit élevé, les performances du filtre MHT sont significatives. En effet, ce dernier gère naturellement la création, destruc-tion et la fusion des pistes. En revanche, le nombre d’hypothèses suivies croît exponentiel-lement à chaque itération avec les nouvelles observations capteurs. Il est donc nécessaire d’éliminer les hypothèses dont les probabilités sont trop faibles. Ce nombre d’hypothèses devra donc être assez élevé afin de diminuer la complexité de l’algorithme mais sans exa-gérer afin de ne pas éliminer trop rapidement une hypothèse de probabilité à un instant donné qui pourrait se révéler intéressante par la suite.
3.5.4 Méthodes stochastiques
Face à un modèle non linéaire, il est possible d’utiliser des méthodes d’association de données basées sur les méthodes de Monte Carlo. Ces méthodes permettent de capter les non-linéarités du système à travers un nuage d’hypothèses (ou particules) sans
nécessi-ter d’approximation gaussienne par exemple. En effet, approchant la loip(X0:k|Z1:k), le
nuage de particules transporte également les informations sur les associations passées. En définitif, les principales difficultés qui sont liées à l’utilisation des méthodes sé-quentielles de Monte Carlo résident dans la définition de comment :
⊲ calculer la fenêtre de validation permettant de valider les mesures. ⊲ modéliser la vraisemblance p(Zk|Xk).
Ces dernières années, plusieurs solutions d’association de données basées sur ces mé-thodes ont été proposées. On peut notamment citer :
⊲ Monte Carlo Joint Probabilistic Data Association (MCJPDA) [Karlsson &
k
Mesures du capteur
Positions successives des pistes
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