Méthode des branches et bornes (« approche par l’intérieur »)

problèmes complexes, car il est généralement impossible d’effectuer une énumération de toutes les solutions du problème au risque de se heurter à un temps de calcul prohibitif. Ce paragraphe présente trois méthodes de parcours d’évènements (approches « par l’intérieur ») et une méthode « par l’extérieur » qui permettent d’éviter un parcours intégral de toutes les possibilités en ne conservant que les branches de l’arbre ayant les probabilités d’occurrence les plus élevées.

3.2.1 Méthode des branches et bornes (« approche par l’intérieur »)

La méthode des branches et bornes est un algorithme utilisé pour trouver dans des temps de calcul raisonnables les solutions de divers problèmes d'optimisation, et plus particulièrement des problèmes d'optimisation combinatoire ou discrète. Elle a été proposée pour la première fois par Land & Doig (1960) en programmation discrète. Elle se compose d'une énumération systématique de toutes les solutions intermédiaires ou complètes possibles, dont une grande partie sera éliminée car jugée peu intéressante (Murotsu et al. 1979, Okada et al. 1984). Ce processus est réalisé en utilisant des bornes supérieures et inférieures estimées en analysant les propriétés du problème. Il s’agit d’une technique rigoureuse qui permet de mettre en valeur les mécanismes de défaillance dominants.

En fiabilité structurale, la méthode des branches et bornes a été adaptée dans le but d’identifier les mécanismes de défaillance significatifs d’un système structural, c'est-à-dire ceux dont l’occurrence affecte la fiabilité globale de celui-ci (Thoft-Christensen & Murotsu 1986, Murotsu et al. 1987). Ces mécanismes de défaillance, dits significatifs ou dominants, sont mis en série pour évaluer la probabilité de défaillance du système. L’approche proposée dans cette thèse utilise la méthode des branches et bornes pour identifier le mécanisme de défaillance significatif avec la plus grande probabilité d’occurrence. L’arbre d’évènement est parcouru en considérant une succession de défaillances localisées qui peuvent conduire à une défaillance globale. A titre d’illustration, la Figure 3.1 met en évidence le parcours d’un arbre d’évènement comprenant six éléments dans lequel les nœuds correspondent à l’occurrence de la défaillance d’un des éléments (par exemple a1 signifie que la défaillance de l’élément 1 s’est produite, a12 que la défaillance de l’élément 2 s’est produite, sachant que celle de l’élément 1 s’était déjà réalisée,…). Un tel arbre, dont le parcours se fait de la gauche vers la droite et du haut vers le bas, met en évidence le fait que les chemins a12, a13, a4132, et a6135 sont des chemins de défaillance globale dominants (les traits en pointillés sont des chemins écartés). Comme indiqué ci-dessus, les différents chemins dominants peuvent ainsi être mis en série pour calculer la probabilité de défaillance du système. L’objectif peut également être différent, comme c’est le cas dans cette thèse, et consister à comparer l’écart entre un endommagement local et global pour le chemin de défaillance ayant la plus grande probabilité de se produire. Dans ce contexte, c’est plutôt l’identification du chemin avec la plus grande probabilité d’occurrence qui est recherchée (chemin a6135 identifié avec des traits gras dans la Figure 3.1).

- 36 - a1 a4 a6 a12 a13 a413 a613 a6135 a41 a4132 a61

Figure 3.1. Illustration schématique d’un arbre d’évènement –méthode des branches et bornes. Cette application de l’algorithme de la méthode des branches et bornes, qui comprend deux principales étapes, à savoir le branchement et le bornage, est détaillée ci-après. Il est noté que le cheminement de l’algorithme est illustré avec l’arbre d’évènement de la Figure 3.1.

3.2.1.1 Procédure de branchement

Le but de cette procédure est de sélectionner une combinaison d’éléments défaillants, qui constitueront un mécanisme de défaillance avec la probabilité de défaillance la plus importante. La probabilité de défaillance associée à ce mécanisme est Pfqc où qc est le chemin de défaillance critique (i.e., le chemin de défaillance avec la plus grande probabilité d’occurrence). A l’étape initiale (étape 1 ) l’élément q ayant la plus grande probabilité de défaillance est sélectionné. A ₁

l’étape r , l’élément q_r



r > 1



associé à la plus grande probabilité de défaillance Pfqr (il s’agit de la probabilité de l’intersection des sous évènements de défaillance) est sélectionné (Thoft-Christensen & Murotsu 1986). En répétant ce processus de sélection, une séquence d’éléments défaillants se forme jusqu’à l’occurrence d’un mécanisme de défaillance. Dans la Figure 3.2a, l’élément 1 est supposé avoir la probabilité de défaillance la plus importante, c’est donc lui qui est choisi en premier. Supposant la défaillance de cet élément, il est alors recherché quel autre élément est associé à la probabilité de défaillance du chemin la plus importante. Comme il est montré dans la Figure 3.2b, c’est l’élément 2 qui est concerné. La procédure de branchement consiste donc à ajouter l’élément 2 dans le chemin de défaillance. A ce stade du parcours de l’arbre, le critère de défaillance globale est supposé atteint. Aucun autre élément n’est ajouté au chemin et la probabilité de défaillance critique Pfqc est actualisée comme étant celle de la probabilité du chemin a12.

- 37 - (a) a1 a4 a5 a2 a3 a6 (b) a1 a4 a5 a2 a3 a6 a12 a15 a16 a13 a14

Figure 3.2. Illustration schématique du processus de branchement.

3.2.1.2 Procédure de bornage

La procédure de bornage vise à sélectionner les éléments à écarter. Il s’agit de chemins de défaillance complets ou incomplets dont la probabilité d’occurrence est jugée trop faible pour influencer la fiabilité globale du système. A l’étape de défaillance r , les éléments à éliminer sont ceux avec des probabilités de défaillance plus petites que Pfqc. La Figure 3.3 illustre cette démarche de bornage qui fait suite aux opérations de branchement montrées à la Figure 3.2.

(a) a1 a4 a5 a2 a3 a6 a12 a15 a16 a13 a14 (b) a1 a4 a5 a2 a3 a6 a12 a15 a16 a13 a₁₄

- 38 -

Une fois le premier chemin de défaillance globale a12 identifié, le processus de branchement revient un nœud en arrière (au nœud 1) pour évaluer les autres possibilités de branchement (nœuds 3, 4, 5, et 6 sachant 1 défaillant). Il est supposé dans cet exemple que c’est a13 qui a la probabilité d’occurrence la plus élevée. A ce moment de l’algorithme, le chemin n’est sélectionné que si sa probabilité d’occurrence est supérieure à celle de la probabilité critique déjà déterminée. En effet, la probabilité d’intersection d’évènements étant une fonction monotone décroissante, il n’est pas nécessaire de continuer le parcours d’une branche de l’arbre qui aura dans tous les cas une probabilité d’occurrence inférieure à Pfqc. Ce n’est pas le cas dans la Figure 3.3a pour l’élément 3 qui est alors ajouté au chemin de défaillance (branchement) et pour lequel le critère de défaillance globale est supposé atteint, ce qui conduit à la mise à jour de la probabilité critique Pfqc comme étant celle du chemin a13. Une fois encore, l’algorithme revient un nœud en arrière pour évaluer les autres possibilités de défaillance après celle du nœud 1, mais n’ayant plus de branches avec une probabilité supérieure à Pfqc, tous les autres chemins postérieurs au nœud 1 sont écartés (les chemins écartés sont en pointillés dans la Figure 3.3b).

3.2.1.3 Itération des processus de branchements et de bornages

L’idée de l’algorithme des branches et bornes est d’itérer les démarches de branchements et de bornages pour parcourir les différentes possibilités de défaillance (de la gauche vers la droite et de haut en bas dans les Figures 3.1 à 3.4). La probabilité Pfqc est actualisée chaque fois qu’un chemin de défaillance complet avec une probabilité d’occurrence plus grande que Pfqc est trouvé. La Figure 3.4 illustre une étape intermédiaire de l’algorithme où les nœuds initiaux 2 et 3 ont été écartés, ce qui signifie que les probabilités de défaillance initiales de ces deux éléments sont toutes deux inférieures à la probabilité du chemin critique déjà identifié.

a1 a4 a₅ a2 a3 a6 a12 a15 a16 a13 a₁₄ a413 a41 a4132

Dans le document Etude de la vulnérabilité et de la robustesse des ouvrages (Page 50-54)