Le principe de cette technique est de comparer les variations linéaires du diamètre stellaire (parallèle à la ligne de visée) aux variations angulaires du diamètre (perpendiculaire à la ligne de visée). On suppose généralement que les Céphéides oscillent radialement. La distance est calculée géométriquement par la relation :
d = 2 ∆R
∆θ
∆R est évalué en intégrant la courbe de vitesse radiale mesurée par spectroscopie à
haute résolution et ∆θ est estimé soit par photométrie, on parle alors de la méthode de brillance de surface, soit par interférométrie, on parle alors de la méthode de Baade-Wesselink interferométrique (IBWM).
En fait cette relation n’est pas si simple car il faut tenir compte de certains autres para-mètres. Le premier paramètre le plus important est le facteur de projection p. La spectroscopie
ne mesure pas directement la vitesse de pulsation vpmais plutôt la vitesse de pulsation
pro-jetée et intégrée sur toute la surface visible de l’étoile. On définit donc la vitesse de pulsation
comme vp = p vr. Ce facteur p n’est pas très bien connu, la recherche de sa variation avec
la pulsation est très active, mais nous n’avons toujours pas d’estimation précise. Sa valeur serait comprise entre 1.27 et 1.36 (Mérand et al. 2006b; Nardetto et al. 2007; Groenewegen 2007).
Le second paramètre concerne le profil d’assombrissement centre-bord de l’étoile, c’est un effet de projection du disque stellaire où la lumière provenant du centre montre des couches plus profondes et plus chaude que le limbe. Cet effet, contenu dans un paramètre noté k, rentre en jeu dans les mesures de diamètres par interférométrie. On note généralement
θUD = k θLDoù k est déterminé à partir de modèles hydrostatiques d’atmosphères. Je parlerai
plus précisément de ce paramètre au Chapitre 4. L’équation précédente devient plus précisément :
θUD(T) − θUD(0) = −2kpd
Z T
0
vr(t)dt
Si l’on utilise la technique de brillance de surface, on récupère directement θLD, le para-mètre k n’intervient donc pas.
1.5.1 La méthode de brillance de surface
Certaines des relations exposées ici sont présentées plus en détails dans le Chapitre 3.
La puissance absolue rayonnée par une étoile de rayon R et de température effective Teff
est donnée par la relation Lλ = 4πR2Fλ. Le flux mesuré sur Terre est relié à la distance de
l’étoile par la relation fλ = Lλ/(4πd2). En supposant que l’étoile rayonne comme un corps
noir, on a Fλ =πBλ(Teff), où Bλ(Teff) représente la fonction de Planck. La combinaison de ces équations donne :
fλ = πθ2LD
4 Bλ(Teff) (1.3)
En reliant cette équation à la magnitude apparente mλ, on obtient :
1.5. La méthode de Baade-Wesselink 17 où l’indice 0 signifie que les magnitudes sont corrigées de l’extinction interstellaire. La
brillance de surface Sλest définie comme :
−2.5 log Bλ(Teff) + cst = Sλ =mλ0 +5 log θLD
Sλ est indépendante de la distance et en faisant l’approximation que l’étoile rayonne
comme un corps noir, elle est uniquement liée à la température. Il existe donc une relation avec l’indice de couleur (différence entre deux magnitudes apparentes obtenues dans deux bandes spectrales) telle que :
Sλ1 =c1(mλ1 − mλ2)0+c2
Les diamètres angulaires peuvent donc être prédits par la combinaison des deux relations précédentes :
log θLD=a1(mλ1 − mλ2)0+a2− 0.2 mλ1,0
où j’ai noté a1 = 0.2 c1 et a2 = −0.2 c2.
L’étalonnage de cette relation nécessite des mesures photométriques et des diamètres angulaires connus avec une bonne précision. La relation de brillance de surface moyenne pour les Céphéides a été interpolée par Kervella et al. (2004b) sur un échantillon de 9 étoiles. La dispersion est minimale avec l’utilisation de l’indice V − K :
SV =−0.1336± 0.0008(V − K)0+3.9530± 0.0006
Notons que Fouqué & Gieren (1997) avaient déduit une relation similaire pour les étoiles géantes et supergéantes en accord avec cette relation. À une phase donnée, une Céphéide peut donc être comparée à une étoile supergéante non pulsante.
Il est maintenant possible d’estimer les variations de diamètres (photométriques) de l’étoile en mesurant les variations de magnitudes apparentes corrigées de l’extinction inter-stellaire :
∆ log θLD=−0.2672 ∆(V − K)0− 0.2 ∆V0 (1.4)
On utilise le plus souvent une relation de brillance de surface infrarouge (IRSB), car comme je l’ai exposé précédemment, la relation P–L est moins dispersée. De plus la correction des effets de l’extinction y est plus faible.
Limitations de la méthode :
La première limitation est bien sûr le facteur p qui n’est pas très bien estimé pour le moment. Certains pensent que sa dépendance avec la phase de pulsation causerait une erreur sur la distance de l’ordre de 4–5 % (Sabbey et al. 1995) alors que d’autres (Nardetto et al. 2004) affirment une erreur de seulement 0.2 %. Il n’existe pas de valeur optimale et il dépend probablement de la Céphéide étudiée. Il a été mesuré par Mérand et al. (2006b) pour l’étoile δ Cep : p = 1.27 ± 0.06. Il existerait également une loi facteur de projection–période (Nardetto et al. 2009) : p = −0.08± 0.05 log P + 1.31± 0.06.
Une autre limitation concerne la correction de l’absorption interstellaire par une bonne estimation de l’extinction E(B − V) et d’une loi de rougissement appropriée (je renvoie le lecteur au Chapitre 3 pour plus de détails sur l’absorption interstellaire). En utilisant
l’équation 1.4, une erreur de σV0 = 0.2 mag sur la magnitude V0 entraînerait une erreur
relative minimale qui n’est pas négligeable : σθ
θ > σV0
√
La présence d’une enveloppe circumstellaire causerait également une erreur sur l’esti-mation du diamètre. Si cet environnement (noté CSE çi-après) contribue à l’émission
pho-tosphérique de l’étoile en bande K tel que Fcse/F⋆ = 5 %, alors l’erreur sur le diamètre
serait : log θ⋆ + cse θ⋆ =2.5 × 0.2672 logF⋆ + cseF ⋆ ⇐⇒ log θ⋆+dθ θ⋆ ! =2.5 × 0.2672 logF⋆+Fcse F⋆ ⇒ dθ θ = 1 + Fcse F⋆ 0.0668 − 1 ∼ 1.0 %
Ces deux incertitudes, liées à l’extinction et à la présence d’une enveloppe, se propage-raient donc sur l’estimation de la distance avec le même ordre de grandeur.
La présence d’un compagnon est également une source d’erreur non négligeable. Cela aurait un effet sur la mesure photométrique de la Céphéide (elle apparaîtrait plus brillante) et sur la vitesse radiale mesurée (via la vitesse orbitale). L’impact est d’autant plus important que la différence de magnitude entre les deux objets est faible. On doit donc également tenir compte du phénomène de binarité de certaines Céphéides.
1.5.2 La méthode interférométrique
Cette technique, aussi appelé parallaxe de pulsation, est plus directe pour la détermina-tion des diamètres stellaires. Comme nous le verrons dans le Chapitre 4, l’interférométrie permet une mesure directe du diamètre angulaire d’une étoile. En échantillonnant les me-sures sur le cycle de pulsation de l’étoile il est possible de mesurer les variations de diamètre. La Fig. 1.8 représente une vue schématique de la IBWM.
C’est la seule méthode à ce jour qui donne accès à une précision de quelques pour cent sur les distances à partir du sol. Notons toutefois que les mesures de diamètre angulaire par interférométrie sont toujours dépendantes des modèles que nous utilisons.
Limitations de la méthode :
Le facteur p reste la principale source d’incertitude. Il peut être estimé pour certaines étoiles qui disposent déjà d’une mesure de distance précise (Mérand et al. 2006b; Groenewe-gen 2007).
Un modèle analytique d’assombrissement centre-bord doit également être utilisé. Une
loi généralement adoptée est une loi de puissance de type I(µ)/I(0) = µα, avec µ = cos θ
et où θ est l’angle entre la surface stellaire et la ligne de visée. Le paramètre α peut être ajusté aux données ou fixé à partir de modèles d’atmosphère (Claret 2000). Je reviendrai sur l’assombrissement centre-bord au Chapitre 4.
La présence d’une enveloppe est également une source d’erreur puisque le diamètre mesuré apparaîtra plus grand que le diamètre stellaire réel et par conséquence la distance sera sous-estimée. Cependant cette erreur dépend de la base (distance entre les télescopes) et
des modèles de visibilité V2utilisés. Adoptant la même démarche que Mérand et al. (2006a),
on peut définir :
Af(θ, B, λ) = ∂V2(θ, B, λ) ∂θ
θ V2(θ, B, λ)
1.5. La méthode de Baade-Wesselink 19
Fig 1.8 – Méthode IBWM : Les deux techniques utilisées sont la spectroscopie haute réso-lution et l’interférométrie. La première donne accès aux variations de vitesse radiale et la deuxième aux variations de diamètre angulaire (d’après Kervella et al. 2004c).
100 200 300 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 100 200 300 0.1 1.0 10.0 100.0 V ²
modèle de disque uniforme: θ = 1.5mas
modèle avec enveloppe: θcse = 4.5mas, α = 3%
Base (m) Bi a is (% ) biais dû à l’enveloppe
incertitude sur le diamètre pour σv²/V² = 3%
Fig 1.9 – Biais sur l’estimation du diamètre lié à la présence d’une enveloppe : dans la fenêtre du haut est tracée la visibilité pour un modèle de disque uniforme (rouge) et un modèle étoile+enveloppe (noir). Dans la fenêtre du bas est représenté le biais sur le diamètre angulaire due à la présence de l’enveloppe en fonction de la base (trait plein), ainsi que l’incertitude sur la mesure de visibilité (tirets).
En première approximation, nous pouvons écrire : θcse− θ⋆ θ⋆ = V2 cse− V⋆2 V2 ⋆