Da subsecção anterior depreende-se que a base teórica para a modelação matemática da propagação de vibrações induzidas por tráfego encontra-se estabelecida e consolidada. Apesar da problemática da propagação de vibrações num sistema constituído pelo túnel e maciço circundante ser mais complexa do que a propagação num meio semi-indefinido (devido às condições de fronteira mais complexas), a grande dificuldade na abordagem ao problema não resulta propriamente da complexidade matemática inerente, mas sim das limitações computacionais vigentes.
Com efeito, a interacção dinâmica entre o túnel e o maciço envolvente é um problema tridimensional, em que, por um lado a dimensão do meio é muito vasta e, por outro, o conteúdo em frequência interessante ao problema é muito alargado. A combinação destes dois aspectos resulta em complexidade adicional ao nível da modelação numérica, tornando os modelos tridimensionais puramente discretizados, como o Método dos Elementos Finitos (MEF) ou o Método das Diferenças Finitas (MDF), muitas vezes impraticáveis dada a necessidade de muitos milhões de graus de liberdade para a obtenção de soluções com grau de acuidade aceitável. Sem embargo, deve ser assinalado que o avanço dos recursos computacionais tem incentivado a realização de alguns estudos tridimensionais baseados no MEF 3D, embora ainda com carácter preliminar [69, 70] ou, nos casos em que tal não se verifique, com tempos de cálculo incomportáveis para uma aplicação corrente [71]. Na Figura
[70] para o desenvolvimento de análises tridimensionais baseadas no método dos elementos finitos. Deve ser notado que, dada a dimensão adoptada para os elementos representados na Figura 2.8, a acuidade da solução ficará sempre limitada à gama de frequências mais baixa. Ainda no campo dos métodos puramente tridimensionais, o recurso ao Método dos Elementos de Contorno 3D permite uma redução substancial do número de graus de liberdade necessários à descrição do sistema túnel-maciço. Contudo, apesar da drástica redução do número de graus de liberdade face ao MEF 3D, o facto das matrizes do MEC serem cheias leva a que a resolução do problema continue a ser extremamente exigente do ponto de vista computacional, o que aliás ficou bem patente pelos estudos desenvolvidos por Adam et al. [72].
a
b
Figura 2.8 – Modelação tridimensional de vibrações induzidas por tráfego ferroviário em túneis por recurso ao MEF 3D: a) modelo proposto por Yaseri et al. [69] (2014); b) modelo proposto por Xu et al. [70] (2015).
Face à natureza tridimensional do problema, por um lado, e às limitações computacionais, por outro, as mais recentes e eficientes abordagens têm passado pela combinação de diferentes métodos numéricos e pela redução de ordem do problema através da aplicação de técnicas transformadas. A opção por tais alternativas tem como custo, regra geral, a limitação da análise ao domínio elástico e a imposição de restrições quanto à variação material ou geométrica na direcção longitudinal do problema.
Atendendo ao facto do sistema túnel-maciço poder ser encarado, regra geral, como invariante na direcção longitudinal ou, no limite, como um sistema periódico, em que as condições geométricas se repetem periodicamente de modo indefinido, Clouteau el al. [73] e posteriormente Gupta et al [74] propõem que a simulação do sistema túnel-maciço possa ser realizada através de um modelo periódico baseado no acoplamento MEF-MEC, o qual apenas requer a solução tridimensional para uma célula de referência, sendo posteriormente a
baseada em transformadas de Floquet. O método em causa tem como vantagem a utilização do MEC para simulação do maciço, evitando assim a necessidade de recurso a tratamento de fronteiras artificiais dado que o método é adequado à análise de meios não definidos, tirando também partido do MEF na simulação da geometria mais complexa, como é o caso do túnel. Pese embora a adopção de modelos periódicos para a descrição do sistema tridimensional represente uma redução drástica do esforço computacional requerido quando comparado com os modelos 3D puros, o método em causa ainda representa um esforço muito significativo [75], razão pela qual tem pouca implantação prática.
Alternativamente aos modelos periódicos, o recurso a técnicas de modelação 2.5D corresponde ao método de eleição quando o meio em análise se apresenta invariante e infinito na direcção longitudinal (o último requisito pode já ser ultrapassado através da consideração de técnicas de tratamento de sinal, tal como recentemente proposto por Coulier et al. [76]). Esta técnica, na qual é aplicada uma transformada de Fourier relativa à direcção espacial de desenvolvimento do túnel, permite uma redução drástica do esforço computacional requerido dado que apenas a secção transversal do problema requer discretização espacial, podendo a mesma ser realizada no contexto do MEF, do MEC, do MSF, entre outros.
As primeiras aplicações da técnica 2.5D no contexto da propagação de vibrações induzidas por tráfego ferroviário em túneis devem-se a Yang et al. [77] através de uma abordagem baseada no MEF, em que as fronteiras artificiais eram tratadas por recurso ao método dos elementos infinitos ou através de fronteiras viscosas. Outros autores se seguiram com abordagens semelhantes, tais com Bian et al. [78, 79], tendo a autora também desenvolvido alguns estudos preliminares recorrendo à mesma técnica [42]. Contudo, uma das desvantagens apontada ao método consiste na necessidade de implementação de metodologias locais para o tratamento das fronteiras artificias de modo a evitar a reflexão espúria das ondas que atinjam o limite da discretização de malha. Como ilustrado por Alves Costa et al. [80], a adopção do método dos elementos infinitos ou de fronteiras viscosas no tratamento da fronteira artificial não é uma garantia de sucesso absoluto. Por esse motivo, alguns autores têm proposto a adopção de modelos acoplados 2.5D, onde a geometria complexa é simulada por recurso ao MEF 2.5D, enquanto o maciço circundante ao túnel é abordado através do MEC 2.5D [81]. Formulação em tudo idêntica foi adoptada por Alves Costa et al.[35] no estudo de problemas de vibrações induzidas por tráfego ferroviário superficial. Ainda a este respeito,
insere (em colaboração com a U. Coimbra) referentes ao acoplamento 2.5D MEF-MSF [82, 83]. Nessa abordagem, o maciço geotécnico é simulado através do MSF, o qual constitui um método sem malha de elevado potencial ao evitar algumas das instabilidades numéricas típicas do MEC.
Deve ainda tecer-se um breve comentário ao modelo 2.5D proposto por Rieckh et al [84], sendo este baseado numa abordagem 2.5D MEC pura, e ao modelo proposto por Muller [85], o qual recorre ao MEF 2.5D para simulação da geometria complexa e ao método do integral transformado (MIT) para a simulação do meio circundante ao túnel.
Sem prejuízo das inegáveis virtudes conceptuais inerentes aos métodos numéricos acoplados, os quais permitem tirar o melhor partido das potencialidades de cada método consoante a problemática em estudo, a sua implementação numérica nem sempre é fácil, exigindo por vezes técnicas complexas de acoplamento e compatibilização dos métodos. Uma alternativa viável, aliás a seguida pela autora, passa pelo recurso ao MEF 2.5D, sendo as fronteiras artificiais tratadas pelo método dos “perfect matched layers”, também este formulado na versão 2.5D o qual permite alcançar níveis muito elevados de acuidade como se verá em capítulos posteriores da presente dissertação [75, 86].