Lois de contact viscoélastique

Les lois de contact élastique présentées ci-dessus peuvent être étendues au domaine viscoélastique. Les termes familiers de la viscoélasticité appliqués au contact pneuma-tique/chaussée sont présentés dans l’annexe B. Les définitions présentées peuvent être généralisées dans le cas tri-dimensionnel de manière efficace par des composantes dé-viatoriques des contraintes s et des déformations e. La formulation utilisée est la sui-vante : s = (σ − ¯σ) avec ¯σ = ¹ 3^{(σ1+ σ2+ σ3)} (1.14) et : e = (ε − ¯ε) avec ¯ε = ¹ 3^{(ε1+ ε2+ ε3)} (1.15)

où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy et ε le tenseur des déformations. Pour un matériau solide élastique incompressible (ν = 0,5), la composante ¯εest nulle et la relation entre la contrainte et la déformation est la suivante :

s = 2Gε (1.16)

où G est le module de cisaillement, relié au module d’Young par G = E/(2(1 + ν)). Une manière d’introduire la viscoélasticité pour le contact entre deux corps a été présentée par Radok (1957) dont la méthode est illustrée dans la monographie de John-son (1985). Elle consiste à remplacer les constantes élastiques (plus particulièrement 2G pour la relaxation et _2G¹ pour le fluage) par un opérateur intégral correspondant à la relation viscoélastique contrainte-déformation. En pratique, l’équation (1.16) devient :

s(t) = Z t 0 ψ(t − τ )^{∂e(τ )} ∂τ ^dτ (1.17) ou alors : e(t) = Z t 0 φ(t − τ )^{∂s(τ )} ∂τ ^dτ (1.18)

où ψ est la fonction de relaxation et φ la fonction de fluage (cf. annexe B). En repartant de la loi de contact de Hertz (1882), Lee et Radok (1960) ont utilisé cette méthode pour le cas d’un contact entre deux sphères dont l’une est incompressible. L’expression de la force de contact devient pour le cas du chargement¹:

P (t) = ⁸ √ R 3 Z t 0 ψ(t − τ ) d  δ³2(τ )  dτ ^dτ (1.19)

1. les solutions analytiques obtenues avec la méthode de Radok ne sont valables que pour le charge-ment, d’autres auteurs se sont intéressés au cas du déchargement mais les solutions deviennent complexes.

Sameur (2004) a utilisé la méthode de Radok, en remplaçant 2G par un opérateur intégral, pour exprimer la force de contact en fonction de l’interpénétration dans le cas viscoélastique de pointes de forme quelconque. L’expression de la force (1.12) devient :

P_k(t) = Q_k Z t 0 ψ(t − τ )^{d δ} γk k (τ )
dτ ^dτ (1.20)

avec Qk la constante géométrique dans le cas viscoélastique. Après avoir identifié les caractéristiques des paramètres viscoélastiques d’un plot en caoutchouc, Sameur (2004) a validé expérimentalement (par un essai de relaxation) les lois analytiques dans le cas viscoélastique de trois formes de pointe (sphère, cône et pyramide). Le résultat pour la sphère est illustré sur la figure 1.19.

Figure 1.19 — Comparaison entre les résultats expérimentaux et les résultats du modèle analytique pour

une pointe sphérique en contact avec un massif semi-infini viscoélastique (Sameur, 2004).

Des comparaisons (Sameur, 2004; Kozhevnikov et al., 2008) entre les lois élastiques et viscoélastiques montrent que la force de contact viscoélastique est supérieure d’en-viron 20 à 25 % à celle du contact élastique (car la rigidité instantanée augmente). À la suite de leurs travaux sur une seule pointe, Kozhevnikov et al. (2010) ont étendu leur algorithme au cas multi-aspérités en obtenant des résultats encourageants pour une aire de contact encore limitée en taille. L’interaction à l’échelle de la pression est simpli-fiée à celle agissant aux sommets des aspérités. Ces travaux sont une alternative à une approche directe du problème de contact que nous allons étudier par la suite.

1.3.2 Contact pneumatique/chaussée pour la prévision du bruit

L’interaction entre le pneumatique et la chaussée au cours du roulement est un pro-blème complexe du fait (Andersson et Kropp, 2008) :

– des grandes dimensions de l’aire de contact (10 par 20 cm environ) par rapport aux longueurs d’ondes mises en jeu dans la structure du pneu ;

– de la variation temporelle de l’aire de contact donnant un problème non-linéaire ; – de la nature anisotrope et multi-échelles de la surface de chaussée ;

– de la présence de forces de frottement et d’adhésion ;

– de la dépendance en fréquence et en température des matériaux composant les corps en contact.

Cette complexité mène à faire des hypothèses simplificatrices, notamment de supposer que les efforts de contact tangentiels sont négligeables par rapport aux efforts normaux (pour la prévision du bruit) et que la surface de chaussée est parfaitement rigide par rapport à celle du pneumatique. De plus, le contact est étudié autour de l’état déformé de la carcasse du pneumatique, ce qui permet d’utiliser les hypothèses de petites dé-formations autour d’un état écrasé. Dans ces conditions, en utilisant le formalisme de Green, le déplacement normal u à la surface Σ du pneumatique au cours du roulement peut s’exprimer par la convolution spatio-temporelle suivante :

∀t ≥ 0, ∀M ∈ Σ(t), u(M, t) = Z t 0 Z Σ(τ ) G(M |S, t − τ )p(S, τ )dΣ(τ )dτ (1.21)

où p est la pression de contact normale, G la fonction de Green du pneumatique et t le temps. L’équation (1.21) comprend plusieurs difficultés. D’une part, le problème de contact est couplé avec les vibrations du pneumatique et d’autre part, l’aire de contact (conditions aux limites) va fluctuer au cours du temps en raison du roulement. Le contact entre le pneumatique et la chaussée est représenté figure 1.20 où δ est le dé-placement au centre de roue (encore appelé pénétration), zcet zp sont respectivement la surface de chaussée et celle du pneu et P la charge totale appliquée.

δ O ^x y z z_c z_p P u x y z P PNEU CHAUSSÉE

Figure 1.20 — Description du contact pneumatique/chaussée (d’après Cesbron (2007)).

Pour le contact normal compressif, le problème doit vérifier les trois conditions de Signorini (1933), à savoir la condition de non-pénétration des corps en contact, la condi-tion de pression uniquement compressive et la condicondi-tion dite de complémentarité (dé-collement ou contact). Elles s’écrivent de la manière suivante :

∀t ≥ 0, ∀M ∈ Σ(t),          v(M, t) ≥ 0 Non-pénétration p(M, t) ≥ 0 Contact compressif p(M, t)v(M, t) = 0 Complémentarité (1.22)

avec v = u − zc+ δ + zp. En pratique, il est compliqué de résoudre le problème de contact pneumatique/chaussée directement à partir des équations précédentes, car le calcul de la fonction de Green pour un pneumatique réel et à l’échelle d’une surface rugueuse de chaussée en trois dimensions est difficile. Pour résoudre le problème de contact pneumatique/chaussée sur une aire de contact réelle, une hypothèse courante est utilisée : passer d’un problème dynamique à un problème quasi-statique élastique (succession d’états statiques élastiques). Toutefois, Meftah (2011) a récemment déve-loppé une approche par formalisme de Green réduit pour le calcul des structures en

contact dynamique. La fonction de Green est approchée par une fonction polynomiale fractionnelle, permettant des calculs de contact multi-aspérités pneumatique/chaussée dynamique. L’approche reste encore limitée lorsque le nombre d’aspérités en contact augmente. De manière générale, deux approches sont utilisées pour résoudre le pro-blème de contact entre deux solides élastiques : tenir compte des dimensions finies des corps en contact ou bien les approcher par des solides semi-infinis.

Dimension finie du problème

La première approche relève de la dimension finie du problème. Là encore, deux ap-proches sont apparues : les apap-proches numériques ou les apap-proches semi-analytiques. Les méthodes numériques, telles que les méthodes des éléments finis ou éléments de frontières (Laursen, 2002; Wriggers, 2002; Sellgren et al., 2003) ou bien les méthodes Arbitrairement Lagrangienne Eulérienne (ALE) (Nackenhorst, 2004) ont été implémen-tées pour l’étude du contact pneumatique/chaussée ces dernières années. Mais elles deviennent très couteuses en ressources et en temps de calcul lorsque le nombre d’as-pérités est important. Kropp (1992) a quant à lui modélisé en 2D la bande de roulement du pneumatique par un ensemble de ressorts indépendants (pas d’interaction entre les aspérités) en contact avec la surface de chaussée. Le modèle a l’avantage de prendre en compte la vibration de la ceinture du pneumatique par un formalisme de Green où le pneumatique est approché par une plaque orthotrope (cf. section 1.2.2.3).

Problème de Boussinesq (1885)

La deuxième approche consiste à faire l’hypothèse que les solides élastiques peuvent être considérés comme des massifs semi-infinis aux alentours de la zone de contact. Pour l’application au bruit routier (Sameur, 2004; Cesbron, 2007; Fujikawa et al., 1999; Greenwood et Williamson, 1966), la bande de roulement du pneumatique est donc approchée par un massif semi-infini élastique incompressible. La surface de chaussée est supposée parfaitement rigide. Dans les cas étudiés par la suite, seules les forces normales sont considérées, en supposant que le frottement est négligé, ainsi que le comportement viscoélastique de la gomme du pneu. Le problème en trois dimen-sions ainsi défini se ramène à celui du contact normal élastique entre la surface d’un massif semi-infini et une surface parfaitement rigide, dont la solution analytique est connue depuis les travaux de Boussinesq (1885). Dans la suite, le système de coordon-nées cartésiennes (O, x, y, z) est adopté. En utilisant les travaux de Boussinesq (1885), le problème de contact statique (équations (1.21) et (1.22)) s’exprime alors par :

∀M ∈ Σ, u(M ) = Z

Σ

p(S)T (M |S)dΣ (1.23)

∀M ∈ Σ_c, u(M ) = z_c(M ) − δ − z_p(M ), et p(M ) > 0 (1.24) où T est la fonction d’influence de Boussinesq, définie par :

∀(M ; S) ∈ Σ², T (M |S) = ¹

πE∗p(x_M − x_S)2+ (y_M − y_S)2 (1.25) où E^∗ est le module d’Young équivalent du massif semi-infini élastique et ν son coef-ficient de Poisson. Dans les paragraphes suivants, différents modèles ou méthodes de résolution du problème de Boussinesq (1885) seront présentés.