D’un point de vue mathématique, nous disposons de trop d’inconnues par rapport au nombre d’équations. Il est donc nécessaire d’ajouter aux équations de conservation des équations de comportement. En ce qui concerne les équations gouvernant la mécanique, la contrainte est reliée à la déformation et au taux de déformation à l’aide d’une loi de comportement mécanique. Deux relations entre l’enthalpie massique, le flux de chaleur et la température sont données pour la fermeture de l’équation de conservation de l’énergie.
2.3.1
Loi de comportement pour la thermique
L’enthalpie massique H est définie par : H =
Z T T0
cp(ζ)dζ + fl(T )L (2.5)
où T est la température, T0 est une température de référence arbitraire, cp la chaleur
massique à pression constante du matériau et L la chaleur massique latente de solidifica- tion (supposée constante). Le chemin de solidification, c’est à dire la donnée de la fraction massique du liquide en fonction de la température fl(T ), est supposé connu. Dans la suite
du document, nous ferons l’approximation de confondre fraction volumique et fraction massique de chacune des phases, solide et liquide.
On introduit la chaleur massique effective définie par : ceff =
∂H
∂T = cp+ L dfl(T )
qui tient compte de la chaleur latente libérée au cours de la solidification. Au sens de la théorie des distributions, le terme dfl(T )
dT de cette dernière équation (2.6) peut s’apparenter
à une masse de Dirac à la température de fusion dans le cas de la solidification pour un corps pur.
D’autre part, le vecteur flux de chaleur par diffusion est donné par une équation similaire à la première loi de Fick (la loi de Fourier) :
~jT = −k∇T (2.7)
où k est la conductivité thermique.
On peut alors écrire l’équation (2.1), en utilisant (2.2) et (2.7) : ρdH
dt − ∇.(k∇T ) = 0 (2.8)
ou l’exprimer en fonction de la température T , en faisant intervenir la chaleur massique effective et le fait que dH
dt = ∂H ∂T dT dt : ρceff dT dt − ∇ · (k∇T ) = 0 (2.9) ou encore : ρceff ∂T ∂t + ρceff~v · ∇T − ∇ · (k∇T ) = 0 (2.10)
2.3.2
Lois de comportement pour la mécanique
Au cours du refroidissement et plus particulièrement lors de la solidification, le compor- tement du matériau change. Il va passer par trois états successifs : liquide, pâteux et solide. De nombreux codes utilisent une seule loi de comportement de type élasto-viscoplastique pour simuler l’état du matériau qu’il soit liquide, pâteux ou solide. Dans ce cas, pour né- gliger les déformations élastiques, on impose que le module de Young du liquide soit élevé. Ce choix, comme le souligne dans sa thèse [Jaouen, 1998], est en contradiction avec les mesures expérimentales obtenues par [Decultieux, 1996] et [Vicente-Hernandez, 1994] où le module de Young à l’état solide décroît avec T et reste de l’ordre du Giga-Pascal pour
des températures proches de la température de solidus. Aussi pour contrer ce problème pouvant avoir des imperfections tant au niveau physique (pas de prise en compte de la convection naturelle) qu’au niveau numérique (gestion du saut de valeur du module de Young entre le liquidus et le solidus), [Jaouen, 1998] propose de faire une modélisation à deux lois de comportement :
• une loi de comportement de type visco-plastique lorsque le matériau est liquide ou pâteux
• et une loi de comportement de type élasto-viscoplastique pour l’état solide.
solide
semi
solide
semi
liquide
liquide
Temp´erature (◦C) Ts Tc TlComportement EVP Comportement VP
Fraction solide fs
1 0
Fig. 2.1 – Comportement du matériau en fonction de son état
Comme le montre la figure (Fig. 2.1), le changement d’une loi de comportement vers l’autre s’opère à une température arbitraire Tc. Le matériau est alors considéré newtonien
en phase liquide, visco-plastique en début de solidification et enfin élasto-viscoplastique en fin de solidification et en phase solide. Dans la pratique, on fixera la température de transition entre les lois rhéologiques comme étant égale à la température du solidus ([Jaouen, 1998], [Bellet et Jaouen, 1999]).
Ces lois de comportement doivent tenir compte des variations des différents coefficients rhéologiques (qui peuvent être non négligeables) afin de décrire au mieux les phénomènes issus de la solidification. D’autre part, le matériau subit des dilatations thermiques im- portantes et non négligeables en particulier à l’état solide ([Kozlowski et al., 1992]). De manière générale, le tenseur des vitesses de déformation ˙ε est alors décomposé linéairement
comme suit :
˙
ε = ˙ε∗ + ˙εth avec
˙
ε∗ = ˙εvp pour la loi de type visco-plastique ˙
ε∗ = ˙εvp+ ˙εel pour la loi de type elasto-visco-plastique ˙
εth le tenseur sphérique des vitesses de dilatation thermique (2.11)
Au tenseur des vitesses de dilatation thermique, on ajoute un terme dû à la variation de volume intrinsèque à la solidification entre les températures du liquidus et du solidus. À partir de (2.2) et (2.3), on a pour une transformation ne faisant pas intervenir d’autre source de changement de volume,
Tr ˙εth= Tr ˙ε = ∇ · ~v = −1 ρ
dρ
dt (2.12)
Le tenseur étant sphérique, on a donc
˙ εth = − 1 3ρ dρ dt I (2.13) I, la matrice identité.
Remarque : Pour une transformation faisant intervenir l’élasticité, qui est une autre source de déformation volumique, on pourra retenir cette expression de ˙εth mais en notant qu’alors ρ désigne la masse volumique de la configuration dite "relachée", c’est-à-dire la configuration courante à laquelle on a "soustrait" la déformation élastique.
• Si ρ(T ), cas général, on a : ˙ εth = − 1 3ρ dρ dT | {z } α ˙ T I = α ˙T I (2.14)
α(T ) est appelé le coefficient de dilatation thermique.
• Si ρ(fs), dans l’intervalle de solidification, avec ρ linéaire en fs conformément à la
loi de mélange ρ = fsρs+ flρl= fs(ρs− ρl) + ρl alors :
˙ εth = − 1 3ρ dρ dfs ˙ T I = −1 3 ρs− ρl ρ ˙ fsI ≈ 1 3 ρl− ρs ρl | {z } ∆εtr ˙ fsI = ∆εtrf˙s I (2.15)
∆εtr représente l’expansion volumique relative constatée lors de la solidification
entre les températures du liquidus (Tl) et du solidus (Ts) - variable supposée constante.
En général, ∆εtr est négatif, traduisant une contraction ("retrait") lors de la solidi-
fication.
Reste maintenant à détailler les différentes lois de comportement pour la mécanique et plus particulièrement le terme ˙ε∗
2.3.2.1 Loi de comportement de type élasto-viscoplastique (EVP)
La base du modèle est donc une décomposition additive du tenseur des vitesses de déformation ˙ε. Dans le cadre des petites déformations, nous avons :
˙
ε = ˙εvp+ ˙εel+ ˙εth (2.16)
La partie élastique de ˙ε est reliée à la dérivée temporelle des contraintes par la loi de Hooke, sous sa forme hypoélastique :
˙σ = E ˙εel = E 1 + νε˙ el + Eν (1 + ν)(1 − 2ν)Tr( ˙ε el ) I (2.17)
E est le tenseur d’élasticité d’ordre 4 dont les composantes dépendent de E, le module de Young et de ν, le coefficient de Poisson. ˙σ désigne la dérivée particulaire temporelle du tenseur des contraintes de Cauchy σ (cette dérivée, bien que non objective, est admissible dans notre étude, les rotations et déformations incrémentales étant très faibles).
En décomposant le tenseur σ en une partie déviatoire s et une partie sphérique −pI : σ = s − pI = s +Tr(σ)
3 I (2.18)
Nous pouvons écrire la partie visco-plastique de ˙ε, de trace nulle, en nous référant à un potentiel de viscoplasticité ([Rappaz et al., 1998]). Dans cette étude, nous choisissons un potentiel de type Perzyna et écrivons :
˙ εvp = √ 3 2σeq σeq− σs K(T )¯εn√3 m(T )1 s (2.19)
où K(T ) est la consistance du matériau et m(T ) la sensibilité de la contrainte d’écoulement à la vitesse de déformation. La fonction qui à x associe hxi donne la valeur de x pour x > 0 ou 0 sinon.
Dans l’équation (2.19), on peut donc dire qu’il n’y a écoulement plastique que si la contrainte équivalente de von Mises est supérieure au seuil d’écoulement statique σs.
Sachant que la contrainte d’écoulement de von Mises est donnée par σeq =
q
3 2s : s
et que la vitesse de déformation généralisée a pour expression ˙¯ε = q
2
3εvp : εvp, la forme
monodimensionnelle de (2.19) s’écrit par : σeq= σs+ K(T )
√
3m(T )+1˙εm(T )εn(T ) (2.20) Cette loi combine donc les influences de la vitesse de déformation et de l’écrouissage sous une forme multiplicative (¯ε =
Z t
0
˙¯
εdτ est la déformation plastique cumulée).
2.3.2.2 Loi de comportement de type visco-plastique (VP)
Celle-ci dérive de la loi de comportement EVP, en annulant la contrainte seuil σset en
faisant tendre vers l’infini le module de compressibilité donné par χ = 3(1−2ν)E . Les défor- mations d’origine élastique sont alors négigées et les équations de la loi de comportement VP peuvent alors s’écrire de la façon suivante :
˙
ε = ˙εvp+ ˙εth (2.21)
Nous nous plaçons dans le cadre de la loi de Norton-Hoff et on a : ˙ εvp= 1 2Kvp(T ) √ 3 ˙ε 1−m(T ) s (2.22)
où Kvp(T ) désigne la consistance visco-plastique à la température T .
On peut écrire l’équation (2.22) avec les invariants : σeq = Kvp(T )
√
3m(T )+1˙εm(T ) (2.23) Remarque : Dans l’équation (2.22), quand m(T ) = 1, on retrouve l’expression du tenseur des taux de déformation newtonien. Ceci correspond à l’état purement liquide de l’alliage, pour lequel Kvp est donc égal à la viscosité dynamique.