Lois de commande décentralisées du TRMS

3.3.2.4. Lois de commande décentralisées du TRMS

Pour les sous-systèmes horizontal et vertical décrits respectivement par les représentations d'états (3.63) et (3.65), nous formulons dans cette partie les commandes décentralisées à appliquer au TRMS selon l'équation (3.19) comme suit :

𝑢_ℎ(𝑡) = 𝛿𝐾_ℎ(𝑡)𝑥_ℎ(𝑡) + 𝛿𝐾_𝑟ℎ(𝑡)𝜃_ℎ^∗(𝑡) (3.66) 𝑢_𝑣(𝑡) = 𝛿𝐾_𝑣(𝑡)𝑥_𝑣(𝑡) + 𝛿𝐾_𝑟𝑣(𝑡)𝜃_𝑣^∗(𝑡) (3.67) où 𝜃_ℎ^∗ et 𝜃_𝑣^∗ sont respectivement les trajectoires de référence des angles d'orientation et d'élévation 𝜃_ℎ et 𝜃_𝑣 , 𝛿𝐾_𝑖 et 𝛿𝐾_𝑟𝑖, 𝑖 = ℎ, 𝑣 sont leurs gains d'adaptation formulés selon les équations (3.20) et (3.21) :

𝛿𝐾_ℎ(𝑡) = ∫ 𝛼₀^𝑡 ℎ𝑦_𝑒ℎ(𝜏)𝜃_ℎ^∗(𝜏)𝑑𝜏 + 𝛽_ℎ𝑦_𝑒ℎ(𝑡)𝜃_ℎ^∗(𝑡) (3.68) 𝛿𝐾_𝑟ℎ(𝑡) = ∫ 𝛼₀^𝑡 ℎ𝑦_𝑒ℎ(𝜏)𝑥_ℎ^𝑇(𝜏)𝑑𝜏 + 𝛽_ℎ𝑦_𝑒ℎ(𝑡)𝑥_ℎ^𝑇(𝑡) (3.69) 𝛿𝐾_𝑣(𝑡) = ∫ 𝛼₀^𝑡 _𝑣𝑦_𝑒𝑣(𝜏)𝑥_𝑣^𝑇(𝜏)𝑑𝜏 + 𝛽_𝑣𝑦_𝑒𝑣(𝑡)𝑥_𝑣^𝑇(𝜏) (3.70)

Figure 3.6: L'évolution de ∆_𝑣 en fonction de 𝜔_𝑚 et 𝑢_𝑣𝑣

91 𝛿𝐾_𝑟𝑣(𝑡) = ∫ 𝛼₀^𝑡 𝑣𝑦_𝑒𝑣(𝜏)𝜃_𝑣^∗(𝜏)𝑑𝜏 + 𝛽_𝑣𝑦_𝑒𝑣(𝑡)𝜃_𝑣^∗(𝑡) (3.71)

où 𝛼_ℎ, 𝛽_ℎ, 𝛼_𝑣 et 𝛽_𝑣 sont leurs poids d'adaptation, 𝑦_𝑒ℎ et 𝑦_𝑒𝑣 sont les erreurs filtrées calculées suivant l’équation (3.29) comme suit :

𝑦_𝑒ℎ(𝑡) = 𝐶_𝑒ℎ𝑥_𝑒ℎ(𝑡) et 𝑥_𝑒ℎ(𝑡) = 𝑥_ℎ(𝑡) − 𝑥_ℎ(𝑡) (3.72) 𝑦_𝑒𝑣(𝑡) = 𝐶_𝑒𝑣𝑥_𝑒𝑣(𝑡) et 𝑥_𝑒ℎ(𝑡) = 𝑥_𝑣(𝑡) − 𝑥_𝑣(𝑡) (3.73)

où 𝑥_ℎ = [𝜃_ℎ, Ω_ℎ, 𝜎_ℎ]^𝑇 et 𝑥_𝑣 = [𝜃_𝑣, Ω_𝑣, 𝜎_𝑣]^𝑇 sont les vecteurs d'état des modèles de référence associés aux sous-systèmes de commande horizontal et vertical respectivement, 𝐶_𝑒ℎ et 𝐶_𝑒𝑣 sont calculées en fonction des matrices 𝑃_ℎ et 𝑃_𝑣 solutions de l'équation de Lyapunov (3.26) et (3.27).

Enfin, les lois de commande adaptative (3.66) et (3.67) sont appliquées au modèle non linéaire multivariable du TRMS selon le schéma de commande donné par la figure (3.7).

Après avoir illustré et décortiqué la structure des deux contrôleurs adaptatif et leurs lois de mise à jour, nous allons présenter dans la partie suivante les résultats de simulation obtenus.

3.3.3. Simulation et résultats

Dans le but de valider la structure de commande élaborée pour la conduite du TRMS (voir figure 3.7), des tests de performance et de robustesse ont été effectués. La procédure de mise en œuvre de la commandeadaptative décentralisée du TRMS est réalisée selon l'algorithme suivant:

Phase de conception:

étape 1 : choisir un modèle de référence sous la forme canonique (3.5) et (3.6)

étape 2 : calculer 𝐶_𝑒𝑖, 𝑖 = ℎ, 𝑣, par les équations (3.26) à (3.27) et vérifier la positivité de {𝐴_𝑖, 𝐼_𝑛𝑖, 𝐶_𝑒𝑖}.

étape 3 : choisir les poids d'adaptations 𝛼_𝑖 et 𝛽_𝑖, 𝑖 = ℎ, 𝑣, selon (3.41). Phase de calcul en temps réel::

étape 1 : calculer les erreurs filtrées à partir des équations (3.72) et (3.73).

étape 2 : calculer les gains d'adaptations 𝛿𝐾_𝑖(𝑡) et 𝛿𝐾_𝑟𝑖(𝑡), 𝑖 = ℎ, 𝑣, suivant les équations (3.68), (3.69), (3.70) et (3.71).

étape 3 : calculer les signaux de commande 𝑢_𝑖(𝑡), 𝑖 = ℎ, 𝑣, à partir des équations (3.66) et (3.67).

étape 4 : répéter les mêmes calculs pour l'itération suivante en allant à l'étape 1.

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Nous allons dans la suite présenter les résultats issus de la mise en ouvre en simulation des lois de commande (4.66) (4.67) et ses lois de mise à jour (4.68) à (4.72) pour la commande du simulateur. Pour cela, trois variantes des signaux de référence sont considérées :

(1) Deux signaux alternatifs de période 100 secondes et d'amplitude 0.4 𝑟𝑎𝑑 : un signal à dent de six pour l'angle d'orientation et un signal carré pour l'angle d'élévation dans le but d'observer l'effet des interactions entre les sous-systèmes.

(2) Un signal carré de période 30 secondes et d'amplitude 0.4 𝑟𝑎𝑑 pour les deux angles du TRMS avec une perturbation impulsionnelle injecté à 𝑡 = 25 secondes.

(3) Un signal sinusoïdal de période 50 secondes et d'amplitude 0.5 𝑟𝑎𝑑 pour les deux angles du TRMS avec une perturbation impulsionnelle injectée à 𝑡 = 25 secondes.

Les résultats de simulation du test de performance sont donnés par les figures (3.8) et (3.9).

la dynamique des angles d'orientation et d'élévation du TRMS et ses vitesses de variation, dans la figure (3.8), suivent leurs trajectoires de référence après un court régime transitoire dû aux effets des conditions initiales et des interactions. Quand aux tensions de commande, illustrées par la figure (3.9a) sont admissibles, elles présentent des allures lisses avec des valeurs saturées uniquement au moment du changement de consigne (changement de sens de mouvement), alors que les gains d'adaptation pour les deux sous-systèmes horizontal et vertical (voir figure 3.9b et 3.9c) sont bornés sans dérives et convergent vers des valeurs constantes.

Les figures (3.10), (3.11), (3.12) et (3.13) exposent les résultats issus du test de robustesse.

Les deux premières figures représentent la réponse du TRMS pour un signal de référence carré, et les deux autres représentent la réponse pour un signal de référence sinusoïdale. Dans les deux cas une perturbation impulsionnelle est injectée à l’instant 𝑡 = 25 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠. Les constatations sont pratiquement les mêmes en terme de robustesse, telles que, les tensions de commande ont pu stabiliser les états du système vis-à-vis l'effet de la perturbation en quelques instants après son injection. Quand aux gains d'adaptation, ils restent toujours bornés et ne présentent aucune dérive.

A partir des résultats obtenus, nous pouvons conclure que la loi de commande adaptative décentralisée proposée conduit à de bonnes performances et garantit la stabilité globale même en présence de perturbations. En plus, nous constatons aussi que cette méthode ne nécessite pas la connaissance des paramètres du TRMS pour l'élaboration des lois de commande, et que seules

94 des informations locales sur les états de chaque sous-système ont été utilisées pour générer le

signal de commande. Cependant, dans toutes les simulations réalisées, les tensions de commande ont atteint des valeurs de saturation (±2.5 𝑉) au démarrage et aux instants du changement de sens de rotation (voir figure 3.9a et 3.11a), ce qui peut conduire à un état d'instabilité du simulateur pour des trajectoires de référence plus importantes en amplitude et en fréquence.

Pour corriger ce problème, nous allons proposer dans la section suivante une autre structure de commande décentralisée pour le système complexe (3.1) basée sur l'algorithme Er-MCSI.

Figure 3.8 : Réponses en position et en vitesse du TRMS.

95 Figure 3.9 : Tensions de commande et gains d'adaptation du TRMS.

96 Figure 3.10 : Réponses en position et en vitesse du TRMS perturbé pour des signaux

de référence carrés.

Figure 3.11 : Tensions de commande et gains d'adaptation du TRMS perturbé pour des signaux de référence carrés.

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Figure 3.12 : Réponses en position et en vitesse du TRMS perturbé pour des signaux de référence sinusoïdales.

Figure 3.13 : Tensions de commande et gains d'adaptation du TRMS perturbé pour des signaux de référence sinusoïdales.

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