Loi de comportement plastique

Nous avons vu au paragraphe 3.2.2.2 que la plasticité se traduit par des déplace-ments irréversibles au niveau atomique. Ce phénomène est beaucoup plus complexe que l’élasticité et nous ne proposerons dans cette section qu’une première approche phénoménologique. Lors d’une sollicitation, les atomes composant le solide vont se déplacer tout d’abord de manière réversible, tels des ressorts. Puis, lorsque les contraintes au sein du solide deviendront trop importantes, au-delà d’une limite ap-pelée limite d’élasticité σ_e, les atomes se déplaceront de manière irréversible. Ces déplacements irréversibles vont générer une nouvelle configuration atomique au sein du solide à l’équilibre lorsque toute sollicitation sera évacuée. Si la sollicitation per-siste et croit, dépassant le maximum supportable par le solide appelée limite de ruptureσ_r, les liaisons interatomiques vont être détruites et l’intégrité du solide sera perdue.

Pour modéliser ce phénomène de plasticité à l’échelle macroscopique, il n’existe pas de modèle universel comme la loi de Hooke en élasticité. Des lois expérimentales

sont identifiées à partir d’essais mécaniques particulier. Nous pourrons citer comme exemples des tests de tractions ou de compressions. Ces tests permettront de définir les déformations plastiques ε_p qui viendront s’ajouter aux déformations élastiques ε_e en fonction des contraintes. Nous obtiendrons ainsi une loi du type ε = f(σ) au-delà de la limite d’élasticité. La quantité σ est un tenseur tandis que la limite d’élasticité σ_e est un réel mesuré sur un essai de traction. Il faut donc définir un critère objectif afin de déterminer si les contraintes internes au solide ont dépassé cette limite d’élasticité. Nous utiliserons le critère de Von Mises pour évaluer cette transition :

σ_{V M} = r1

2[(σ₁₁−σ₂₂)²+ (σ₂₂−σ₃₃)²+ (σ₃₃−σ₁₁)²+ 6(σ₁₂²+σ₁₃²+σ₂₃²)]

(3.16) Siσ_{V M} > σ_e, le solide a plastifié. Nous aurons le système d’équations suivant pour modéliser un comportement élasto-plastique dans un solide :

ε = (1+ν

E σ− _E^ν T r(σ) I3 si σV M < σe

f(σ) si σ_{V M} > σ_e (3.17) Cette formulation permet de calculer le tenseur des déformations en fonction de celui des contraintes. Nous allons détailler la loi définissant le domaine plastique. La figure 3.2 présente une modélisation en loi puissance d’un essai de traction uniaxiale réalisé sur un alliage d’Aluminium Al-7075.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 100 200 300 400 500 600 700

Deformation ε

Contrainte σ (MPa)

Elasticite Plasticite

Figure 3.2 – Courbe contrainte-déformation pour l’Aluminium 7075 suivant une loi de Ludwig

Ce type de courbe est aussi connu sous le nom de courbe d’écrouissage. Sur cette modélisation nous utilisons une loi de Ludwig. La contrainte engendrée dans l’axe principal de déformation prendra la forme :

σ=

( Eε siσ < σe

σ_e+K(ε−ε_e)ⁿ sinon (3.18)

La transition entre plasticité et élasticité s’effectue lorsque la contrainte atteint la limite d’élasticité. Les déformations supplémentaires qui se génèrent s’ajoutent aux déformations déjà générées en élasticité pour atteindre cette limite d’élasticité. Sur la figure 3.2 et les suivantes les coefficients utilisés sont ceux de l’Aluminium 7075 dé-terminés par Roy [54]. La limite élastiqueσ_e est fixée à 335 MPa, le module d’Young E est de 71.9GPa, les coefficientsK etnsont fixés respectivement à396MPa et0.30.

Lorsque le solide est soumis à une sollicitation générant de la plasticité, la dé-formation générée au-delà de la limite d’élasticité perdure après relâchement de la sollicitation. Lorsqu’un nouveau chargement est effectué, la limite d’élasticité est modifiée et correspond à la contrainte atteinte avant relâchement de la sollicitation.

Pour pouvoir créer une déformation plastique supplémentaire, il faudra dépasser cette nouvelle limite d’élasticité. Ce concept d’écrouissage avec décharge est repré-senté par la figure 3.3 .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 100 200 300 400 500 600 700

Deformation ε

Contrainte σ (MPa)

(σe et ε

e) ancienne limite d’elasticite

(σe1 et ε

e1) nouvelle limite d’elasticite

Figure3.3 – Exemple de charge décharge sur de l’Aluminium 7075 : loi de Ludwig

Pour conclure, ce paragraphe sur les modèles de plasticité, nous allons introduire le modèle de plasticité de Johnson-Cook [30]. Il permet de prendre en compte l’effet de la vitesse de déformation et l’adoucissement induit par la température d’une manière très simpliste :

0 correspond au rapport entre le taux de déformations en plasticité et un taux de déformation de référence. Le coefficient C dépendra du matériau. La dépendance thermique _T^T−T0

m−T0 dépend la température du solide T, d’une tempéra-ture de référence T₀ et de la température de fusion du solide T_m. Elle contient une valeur comprise entre 0 et 1 qui vaut 1 en-dessous de la température de transition vitreuse du solide et qui s’annule au-delà de la température de fusion. En pratique cette contribution consiste à modéliser l’échauffement thermique induit localement par la déformation plastique.

Lors de son application nous négligerons l’adoucissement thermique et ne pren-drons en compte que les dépendances mécanique de la loi de Johnson-Cook (3.19). La relation contrainte-déformation sera : σ = (σ_e+K(ε−ε_e)ⁿ)

1 +C log(^ε_ε^˙_˙^p

0) avec les valeurs proposées par Roy [54] dans le cas de l’Aluminium 7075 : K=396 MPa, n=0.30 et C=0.0068. Nous pouvons voir sur la figure 3.4 les effets de différents rap-ports entre le taux de déformation plastique et le taux de déformation de référence.

Le niveau d’écrouissage va se produire pour des niveaux de contraintes plus élevés lorsque la vitesse de déformation augmente. Dans le cas de cet alliage d’alumi-nium, le coefficient de sensibilité à la vitesse de déformation est relativement faible (C=0.0068) qui permet de négliger ce terme de vitesse. Mais pour d’autres maté-riaux, comme par exemple l’acier inox A-2205 utilisé par Roy, nous obtenons un coefficient plus élevé (C=0.031) qui induit des courbes d’écrouissage plus élevées lorsque la vitesse de déformation augmente.

A l’issue de cette section nous avons toutes les équations nécessaires (3.8a), (3.8b), (3.18) et (3.19) pour connaître l’évolution temporelle des champs de contraintes, déformations et déplacements issus d’une sollicitation extérieure. La prochaine sec-tion abordera la méthode de résolusec-tion numérique utilisée pour résoudre ces équa-tions : la méthode des éléments finis.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure 3.4 – Modèle de Johnson-Cook : contrainte-déformation pour différentes vitesses de déformation plastique pour de l’Aluminium 7075