Ce m´emoire repose partiellement sur une bonne compr´ehension de la reconstruction d’un champ de vecteur `a divergence nulle `a partir de son rotationnel. Cet appendice est cens´e pourvoir `a cette n´ecessit´e.
Rappelons tout d’abord comment obtenir la loi de Biot-Savart. La paire d’´equations form´ee par div v = 0 et rot v = w est formellement ´equivalente1 `a v = ∇⊥φ avec 4 φ = ω. D’o`u v = −∇⊥(−4)−1w, ce qui, en variable de Fourier, conduit `a
bv(η) = i η⊥
|η|2 w (η)b (C.1)
et, connaissant la solution fondamentale associ´ee au Laplacien sur R2, `a
v(x) = 1 2π Z R2 (x − y)⊥ |x − y|2 w(y) dy . (C.2)
On dit alors que v est obtenu `a partir de w via la loi de Biot-Savart et l’on note v = KBS? w, o`u KBS est le noyau de Biot-Savart : KBS(x) = 2π1 |x|x⊥2.
Donnons maintenant des estimations dans les espaces de Lebesgue. Proposition C.1
1. Soient 1 < p < 2 < q < ∞ tels que 1 + 1q = 12 +1p.
Il existe une constante C > 0 telle que, si w appartient `a Lp(R2), alors (C.2) d´efinit v dans Lq(R2) avec
k v kq ≤ C k w kp . (C.3)
En outre, dans ce cas, on a bien div v = 0 et rot v = w.
2. Soient 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ et 0 < θ < 1 tels que θp +1−θq = 12.
Il existe une constante C > 0 telle que, si w appartient `a Lp(R2) ∩ Lq(R2), alors (C.2) d´efinit v dans L∞(R2) avec
k v k∞ ≤ C k w kθp k w k1−θq . (C.4) En outre, dans ce cas, on a bien div v = 0 et rot v = w.
3. Soit 1 < p < +∞. Il existe une constante C > 0 telle que, si w appartient `a Lp(R2) et v est d´efini par (C.2), alors ∇v appartient `a Lp(R2) avec
k ∇v kp ≤ C k w kp . (C.5)
D´emonstration. La premi`ere partie d´erive d’une in´egalit´e de type Young, appel´ee in´egalit´e de Hardy-Littlewood-Sobolev. En effet, le noyau de Biot-Savart KBS manque de peu d’ˆetre de carr´e int´egrable, mais il appartient `a l’espace L2-faible. Pour l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood-Sobolev, nous ren-voyons `a [48, th´eor`eme V.1]. On pourra trouver plus g´en´eralement des r`egles de convolution pour les espaces de Lorentz dans [5] ou [40].
La deuxi`eme partie est triviale lorsque w = 0. Dans le cas contraire, remarquons que des in´egalit´es de H¨older on d´eduit
|v(x)| ≤ 2π1 Z |y|≤R|w(x − y)| dy | y | + 1 2π Z |y|≥R|w(x − y)| dy | y | ≤ C k w kq R1−2q + C k w kp 1 Rp2−1 ,
pour presque tout x ∈ R2 et tout R > 0. Choisissons R = (k w kp/ k w kq)β o`u β = (1 − θ)/(2p − 1) = θ/(1 −2q), pour optimiser vis-`a-vis de R le dernier membre de cette double in´egalit´e. Nous obtenons ainsi (C.4).
D´eriver (C.2) montre que ∇v est obtenu `a partir de w via une convolution avec un noyau de type Calder´on-Zygmund. Ces noyaux n’appartiennent qu’`a L1-faible, mais ils v´erifient des conditions suppl´ementaires de r´egularit´e et d’annulation qui assurent leur continuit´e sur Lp(R2), pour tout 1 < p < ∞. Pour plus de d´etail, nous renvoyons `a [48, th´eor`eme II.3].
Remarques :
1. Notons qu’en dimension deux il existe un certain d´ecalage, faible mais primordial pour la dynamique asymptotique en temps long, entre les es-paces de Lebesgue auxquels appartiennent simultan´ement v et w. Si w est int´egrable, v n’est que faiblement de carr´e int´egrable d`es lors que w n’est pas d’int´egrale nulle. En effet, si w est int´egrable maisw(0) 6= 0, alors bb w est continu et |bv(η)| est ´equivalent au voisinage de l’origine `a | bw(0)| / |η|, bv et v
ne peuvent par cons´equent pas ˆetre de carr´e int´egrable.
2. De mˆeme, si (1+|·|) w est int´egrable, alors bw est continˆument d´erivable etbv ne peut ˆetre continu — et v int´egrable — que si bw(0) = 0 et ∂iw(0) = 0b pour i = 1, 2, c’est-`a-dire R
R2w = 0 etR
R2xiw(x) dx = 0 pour i = 1, 2. ´
Enon¸cons `a pr´esent des estimations pour les semi-normes de Sobolev homog`enes. Nous avons vu que v ne peut pas en g´en´eral appartenir `a L2(R2), mais nous montrons cependant que Isv peut bel et bien appartenir `a L2(R2), pour tout indice de r´egularit´e s > 0. Rappelons `a cet effet I = (−4)12. Proposition C.2
1. Soit s ∈ R.
Il existe une contante C > 0 telle que, si Is−1w appartient `a L2(R2), alors, si v est d´efini par (C.2), Isv appartient `a L2(R2) et
| v |H˙s ≤ C | w |H˙s−1 . (C.6) 2. Soit 0 < s < 1.
Il existe une constante C > 0 telle que, si (1 + | · |) w appartient `a L2(R2), alors, si v est d´efini par (C.2), Isv appartient `a L2(R2) et
| v |H˙s ≤ C k (1 + | · |) w k2 . (C.7)
D´emonstration. La premi`ere partie est une cons´equence directe de l’ex-pression de la loi de Biot-Savart en variables de Fourier (C.1). Elle nous permet par ailleurs de r´eduire la d´emonstration de la deuxi`eme partie `a une majoration de | w |H˙s−1. Or pour 0 < s < 1, on a | w |2H˙s−1 = C Z R2 | bw(η)|2 |η|2(1−s) dη ≤ C Z |η|≤1 | bw(η)|2 |η|2(1−s) dη + C Z |η|≥1| bw(η)|2dη . Le second terme du dernier membre de cette in´egalit´e est domin´e par k w k2
2. Choisissons maintenant un p > 2/s et appliquons d’abord une in´egalit´e de H¨older puis une injection de Sobolev pour borner l’autre terme comme suit
Z
|η|≤1
| bw(η)|2
|η|2(1−s) dη ≤ C k bw k2p ≤ C | bw |2H1 .
Nous pouvons `a pr´esent conclure la d´emonstration de la proposition en ras-semblant tout cela pour obtenir
Concluons cet appendice par une proposition, qui certes ne nous est pas r´eellement utile par ailleurs, mais qui constitue une justification de la d´erivation formelle de la loi de Biot-Savart en tant que r´eciproque partielle de la premi`ere proposition de cet appendice.
Proposition C.3 Soient 1 < p < 2 < q < ∞ tels que 1 + 1q = 12+p1. Si v est un champ de vecteurs `a divergence nulle appartenant `a Lq(R2) tel que w = ∂1v2− ∂2v1 appartienne `a Lp(R2), alors v = KBS? w.
D´emonstration. D´efinissons ev = v − KBS ? w dans Lq(R2), grˆace `a la premi`ere proposition de cet appendice. Alors divev = 0 et rot ev = 0. Par cons´equent ev est harmonique, puisque 4 ev = ∇ div ev + ∇⊥rotev = 0. Il s’ensuit que ev v´erifie la propri´et´e de la moyenne. D’o`u l’on d´eduit, via une in´egalit´e de H¨older, pour tout x ∈ R2,
|ev(x)| ≤ π1 Z
|x−y|≤1|ev(y)| dy ≤ C k ev kq .
Ainsi ev est une fonction harmonique et born´ee sur tout l’espace, donc, d’apr`es le principe de Liouville, constante. Or ev appartient `a Lq(R2). Fi-nalement, q ´etant fini,ev est donc bel et bien nulle et l’on a v = KBS? w.
Annexe D
Notations
Soucieux du confort de lecture, nous regroupons ici l’essentiel des nota-tions et convennota-tions de ce m´emoire, toutes ´etant classiques ou d´ej`a d´efinies dans le corps du texte.
Sans aucun doute la convention la plus fr´equemment employ´ee consiste `a d´esigner par C toute constante inoffensive, dont la valeur peut mˆeme varier au cours d’une mˆeme formule.