Loi d’évolution du gâteau particulaire

Avant de mettre en place la loi d’évolution du gâteau particulaire 1D dans un procédé de type microfiltration frontale (figure 3.19), il est nécessaire de lister toutes les variables utilisées. Nous considérons ainsi :

1. δ_m l’épaisseur de la membrane.

2. δ_c(t) l’épaisseur du gâteau particulaire. 3. ∆p le gradient de pression imposé.

4. µ₀ la viscosité du fluide saturant de la suspension.

5. φ^s_c la fraction volumique de poudre dans le gâteau particulaire. 6. φ^s_b la fraction volumique de poudre dans la suspension à filtrer. 7. R_m la résistance à l’écoulement de la membrane, R_m =δ_m/K_m. 8. R_c la résistance à l’écoulement du gâteau particulaire, R_c= ˆR_cδ_c.

Figure 3.19 – Schéma de la superposition d’un gâteau particulaire 1D et d’une membrane dans un procédé type microfiltration frontale.

La figure 3.19 montre que la membrane et le gâteau particulaire peuvent être vus comme deux résistances à l’écoulement, disposées en série. Ainsi, en se plaçant dans un premier temps dans un écoulement piloté par un gradient de pression imposé, alors le flux de filtration J, d’un fluide de viscosité µ₀ au travers du système membrane + gâteau, peut alors être décrit par la loi de Darcy et vaut :

J = ^∆p

µ₀(R_m+R_c) ^(3.9) Dans cette équation, la résistance du gâteau R_c = ˆR_cδ_c utilise la grandeur ˆR_c qui ca-ractérise sa résistance par unité de surface. Elle est calculée à l’aide de la relation de Kozeny-Carman (2.4) et est à rapprocher de l’inverse de la perméabilité qui a été utilisée dans la section précédente.

A l’aide de ce flux de filtration, nous pouvons effectuer un bilan de particules à la frontière entre le gâteau et la suspension à filtrer :

J +^dδc dt

!

φ^s_b =φ^s_c^dδc

La loi de croissance du gâteau particulaire est alors l’évolution temporelle de l’épaisseur δ_c(t), solution de l’équation différentielle (3.11) obtenue en combinant les équations (3.9) et (3.10) avec une condition initiale nulle :

       dδ_c dt ⁼ φs bJ (φs c−φs b) ⁼ φs b∆p (φs c−φs b)µ₀(R_m+ ˆR_cδ_c) δc(0) = 0 (3.11)

Afin de résoudre simplement cette équation différentielle, quelques hypothèses sont néces-saires :

— ∆p est constant.

— Rm est constant : pas d’écrasement ni d’encrassement de la membrane. — φs

c et ˆR_c sont constants : pas de compression du gâteau particulaire. — φs

b est constant : aucune variation de la concentration de la suspension.

Elles permettent ainsi d’établir la loi de croissance du gâteau particulaire lors d’un procédé de microfiltration frontale à gradient de pression imposé :

δ_c(t) = ^Rm ˆ R_c   1 + ^2t ˆ R_cφs b∆p (φs c−φs b)µ₀R_m² !1/2 −1   (3.12)

Afin d’aller plus loin que les résultats présentés dans les travaux de [Belfort et al., 1994], nous proposons ici de déterminer également la loi de croissance du gâteau particulaire lors d’un procédé de microfiltration frontale à débit imposée. Pour cela, il est nécessaire de redéfinir de flux de filtration J, qui dans ces nouvelles conditions s’écrit simplement comme :

J =kqk (3.13)

où q est la valeur de la vitesse de filtration imposée. Ainsi, en utilisant la même dé-marche que précédemment, l’équation différentielle sur l’épaisseur du gâteau δ_c(t) s’écrit simplement comme :        dδ_c dt ⁼ φs bJ (φs c−φs b) ⁼ φs bkqk (φs c−φs b) δ_c(0) = 0 (3.14)

En effectuant une intégration temporelle et en utilisant la condition initiale nulle, on obtient alors la loi de croissance du gâteau particulaire lors d’un procédé de microfiltration frontale à débit imposé :

δ_c(t) = ^φ s bkqk (φs c−φs b)^{t (3.15)}

Enfin, il peut aussi être intéressant de présenter ces lois d’évolution sous leur forme adi-mensionnée. Pour cela on introduit les variables sans dimension suivantes (notées∗) :

X =X^∗L_c, q=q^∗U_c, t=t^∗Lc

U_c^{, p = p}

∗µU_c L_c

Après avoir déterminé les variables sans dimension L_c et U_c, l’adimensionnement des lois est directe (voir annexe D). L’expression adimensionnée de la loi de croissance à gradient de pression imposé (3.16) et à débit imposé (3.17) est alors :

δ_c^∗ = ^Rm ˆ R_cL_c   1 + ^2t ∗φs b_Rˆ_c∆p∗ (φs c−φs b)R_m² !1/2 −1   (3.16) δ_c^∗ = ^φ s b (φs c−φs b)^t ∗ (3.17)

3.3.3 Mise en place de la simulation

Dans le but de conforter ces lois à nos résultats de simulation, il est nécessaire de se placer dans la même configuration que dans les travaux de [Belfort et al., 1994]. Le domaine de simulation sera donc un carrée de 1,6 mm × 1,6 mm (figure 3.20).

Figure 3.20 – Domaine d’étude pour la simulation de la croissance du gâteau. État initial de la suspension homogène (vert) et du filtre (bleu).

Le maillage mis en place dans cette simulation est un maillage cartésien structuré compor-tantN_x×N_y éléments. Étant donné que le phénomène de compaction étudié est seulement 1D et dirigé selony, seul le choix du nombre d’élémentN_y influera sur la qualité des résul-tats. Afin d’étudier cette influence, trois discrétisations successives de cette direction sont mises en place pour N_y1 = 80, N_y2 = 160 et N_y3 = 320 éléments. Les maillages utilisés dans cette étude seront donc :

∆y₁ =L_y/N_y1 = 2.10⁻⁵ m (3.18) ∆y₂ =L_y/N_y2 = 1.10⁻⁵ m (3.19) ∆y₃ =L_y/N_y3 = 5.10⁻⁶ m (3.20)

Une fois la géométrie fixée, et afin de complètement paramétrer la simulation, il est né-cessaire de déterminer les paramètres opératoires. Pour cela, une membrane d’épaisseur δ_m = 4.10⁻5 m et de perméabilité fixée K_m = 1.10⁻15 m2, est placée en sortie de do-maine (figure 3.20). Sa résistance à l’écoulement définie par R_m = δ_m/K_m est donc de R_m = 4.1010 m⁻1. Le reste du domaine est rempli d’une suspension constituée d’eau dis-tillée (µ0 = 1.10⁻3 Pa.s) et de particules réparties de telle sorte que la suspension ait une concentrationφs

b uniforme. Ainsi, au temps initial, les particules sont au niveau de la membrane et le gâteau n’est pas encore formé.

De plus, la résistance du gâteau particulaire par unité de surface ˆR_c est calculée à partir de la relation de Kozeny-Carman (2.4) comme évoqué dans la partie précédente. Au vu de la taille des particules et de la concentration φs

c à laquelle se forme le gâteau particulaire dans notre modèle, cette résistance vaut ˆR_c= 2,7.1015 m⁻2.

Enfin, pour forcer un écoulement du haut vers le bas du domaine, il est nécessaire de fixer les conditions aux limites résumées dans les tableaux 3.6 et 3.7 correspondant res-pectivement à un écoulement piloté par un gradient de pression imposé ou par un débit imposé.

Table 3.6 – Ensemble des conditions limites appliquées pour la simulation de la croissance du gâteau particulaire. Écoulement à gradient de pression imposé.

Limite Pression Vitesse Espèce Supérieure Constante : p₁ Neumann Constante : φ^s_b

Inférieure Constante : p₂ Neumann Neumann Gauche Libre Symétrie Neumann Droite Libre Symétrie Neumann

Table 3.7 – Ensemble des conditions limites appliquées pour la simulation de la croissance du gâteau particulaire. Écoulement à débit imposé.

Limite Pression Vitesse Espèce Supérieure Libre Constante : u_y0 Constante : φs

b Inférieure Libre Neumann Neumann

Gauche Libre Symétrie Neumann Droite Libre Symétrie Neumann