2.7.1 Introduction
Les logiques métriques[57][58] permettent de traiter la notion de distance.
Ces logiques s’appliquent sur un espace métrique hW, di constitué d’un en-semble de points W et d’une fonction d:W ×W →R+ qui satisfait :
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x=y (2.7)
d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) (2.8)
d(x, y) =d(y, x) (2.9)
Quelquefois il est utile de relâcher certains de ces axiomes. On définit ainsi les espaces de distancesD satisfaisant seulement l’axiome (1), les espaces de distances symétriques satisfaisantDsym (1) et (3) et les espaces de distances triangulairesDtr satisfaisant (1) et (2).
2.7.2 La logique métrique du premier ordre F M[M ]
La logiqueF M[M][57] s’applique sur des distances appartenant à l’ensem-ble M ⊆R+, l’ensemble M devant contenir 0. Le langage F M[M] fournit :
– un ensemble comptable infini de constantesc1, c2, ...
– un ensemble comptable infini de variables x1, x2, ...
– un ensemble comptable infini de symboles de prédicats unairesP1, P2, ...
– le symbole d’égalité .
=
– deux ensembles (pouvant être infinis) de prédicats binaires de la forme : δ(_,_)< a etδ(_,_) =b (a, b∈M)
– les opérateurs booléens ∧ (et), ∨ (ou), ¬ (négation), ⊥ (falsum) et >
(verum)
– les quantificateurs ∃ et ∀
Le problème de la satisfiabilité de la logique F M[M] est indécidable dans le cas général. Cependant en se restreignant à deux variables on obtient la logiqueF M2[M] qui est décidable pour la classe des distancesD et la classe des distances symétriquesDsym avecM =Q+ et M =N.
2.7.3 Logique métrique du premier ordre F M
2[M ]
Le problème de satisfaisabilité d’une formule F M[Q+] ou F M[N] est indécidable pour tout espace de distance contenant l’espace métrique M.
On définit F M2[Q+] comme la logiqueF M[Q+] restreinte à deux variables.
On sait que le fragment de la logique du premier ordre à deux variables est décidable[39]. On obtient les résultats suivants :
– F M2[Q+] est décidable pour :
– la classe D des espaces de distances,
– la classe Dsym des espaces de distances satisfaisant l’axiome (3).
– F M2[Q+] est indécidable pour : – la classe Mdes espaces métriques,
– la classe Dtr des espaces de distances satisfaisant l’axiome (2).
2.7.4 Logique métrique modale MS [M ]
Comme alternative àF M[M], nous pouvons définir un langage purement propositionnel muni d’opérateurs de distance, d’une manière similaire à la logique modale. L’alphabet de MS[M] est constitué comme suit :
– une liste infinie de variables d’ensembles (ou de régions) X1, X2, ...
– une liste infinie de constantes de location c1, c2, ...
– un ensemble constant {c} pour toute constante de location c – les ensembles constants > et⊥
– les opérateurs booléens pour les ensembles de termes (u et ¬) et pour les formules (∧ et ¬)
– les constructeurs d’ensemble de termes E<a,E>a,E=a et E>a<b ainsi que leur duals A<a,A>a,A=a et A>a<b aveca, b∈M et a < b
2.7.5 Langage sans variables MS
#[M ]
La logique MS#[M] se restreint aux opérateurs E<a, E>a , A<a, A>a. On peut montrer que MS#[Q+/N] est décidable pour
– la classe D des espaces de distance,
– la classe Dsym des espaces de distance satisfaisant l’axiome (3), – la classe Dtr des espaces de distance satisfaisant l’axiome (2), – la classe Mdes espaces métriques.
CependantMS#[M] est moins expressif queMS[M] et ne permet pas d’ex-primer le concept d’anneau (cercles concentriques entre un rayon min et un rayon max).
2.7.6 Logiques descriptives et logiques métriques
Il est possible de combiner logiques descriptives et logiques métriques.
Nous décrirons ici la logiqueALC(MS)[58].
Syntaxe
Au niveau de la syntaxe, les symboles de ALC(MS) sont ceux de ALC et de MS combinés. PourALC, nous avons les noms de concepts A0, A1, .., les noms de rôles R0, R1, ..., les noms d’individus c0, c1, ... et les construc-teurs de conceptsu,¬,>,∃Ri. PourMS nous avons les variables d’ensemble X0, X1, ..., les nominaux n0, n1, ...et les constructeurs de termes d’ensemble
∩,¬, E≤α etE≥α, pour tout α∈Q+.
Le problème est ensuite de combiner les deux formalismes. Pour ce faire, on associe les éléments de ALC à ceux de MS par une relation binaire sur ∆×D, où ∆ est le domaine de ALC et D celui de MS. Si C est un ALC-concept, son extension spatialeς(C) est définie de la manière suivante :
ς(C) ={x∈D| ∃a∈CJ.a x}
De la même manière, pour un terme d’ensemble t, on définit son extension conceptuelleς−1(t) par :
ς−1(t) ={a ∈∆| ∃x∈tD.a x}
Les concepts de ALC(MS) sont définis inductivement de la manière suiv-ante :
– tous les noms de concepts Ai sont des concepts ;
– si C et D sont des concepts, R un nom de rôle et t un ensemble de termes alors
CuD, ¬C, ∃R.C, ς−(t) sont des concepts.
Les termes d’ensemble deALC(MS) sont définis inductivement de la manière suivante :
– Tous les nominaux et les variables d’ensemble sont des termes d’ensem-ble.
– Si s, t sont des termes d’ensemble, C un concept, c un nom d’individu, etα ∈Q+ un rationnel positif alors
t∩s, ¬t, E≤αt, E≥αt, ς(C), ς(c) sont des termes d’ensemble.
Les formules de ALC(MS) sont des combinaisons booléennes des formules atomiques de la forme
c:C, cRd, C vD, tvs oùC, D sont des concepts et t, s des termes d’ensemble.
Sémantique
Un modèle du langage ALC(MS)[58] consiste en un modèle standard de ALC, un modèle d’espace métrique pour MS et une relation entre les domaines, interprétant les fonctions d’extension spatiale et conceptuelle ς et ς−.
Un modèle ALC(MS) est un triple de la forme M=hJ,D, i dans lequel – J =h∆, RJ0, ..., AJ0 , ..., cJ0, ...iest un modèleALC, où ∆ est un ensem-ble non-vide, le domaine des individus deM, RJi sont des relations bi-naires sur ∆ interprétant les noms de rôles,AJi sont des sous-ensembles de ∆ interprétant les noms de concept, et cJi sont des éléments de ∆ interprétant les noms d’individus.
– D = hD, δ, X0D, ..., nD0, ...i est un modèle MS, où hD, δi est un espace métrique,XiD ⊆Dsont les sous-ensembles deDinterprétant les termes d’ensemble, et nDi sont les singletons de Dinterprétant les nominaux.
– est une relation binaire sur ∆×D.
L’extension CM ⊆ ∆ d’un concept C de ALC(MS) se fait de la manière suivante :
– AMi =AJi , où Ai est un nom de concept, – (C0uC1)M=C0M∩C1M,
– (¬C0)M= ∆\C0M,
– a∈(∃Ri.C0)M ssi il existe un b ∈C0M tel que aRiJb, – a∈(ς(t))M ssi il existe un x∈tM tel que a x.
L’extension tM ⊆ D d’un terme t de ALC(MS) se fait de la manière suiv-ante :
– XiM=XiD, où Xi est une variable d’ensemble, – nMi =nDi , où ni est un nominal,
– (t0∩t1)M=tM0 ∩tM1 , – (¬t0)M=D\tM0 ,
– (E≤αt0)M ={x∈D| ∃y∈D(δ(x, y)≤α∧y∈tM0 )}, – (E≥αt0)M ={x∈D| ∃y∈D(δ(x, y)≥α∧y∈tM0 )}, – x∈(ς(C))M ssi il existe un a∈CM tel que a x, – x∈(ς(ci))M ssi cJi x.
Décidabilité
Comme dans les logiques descriptives classiques la plupart des tâches de raisonnement peuvent être réduites au problème de satisfiabilité des formules ALC(MS). PourALC et pourMS le problème de satisfiabilité est décidable.
Dans l’article[58], il est démontré que la logique ALC(MS) est décidable et que toute ALC(MS)-formule φ possède un modèle fini dont la taille peut être calculée à partir de la longueur deφ.