3-1.3 Localisation des photons

Dans cette sous-section, nous allons montrer que si dans un ´etatΦ, l’´electron et le noyau sont localis´es dans une r´egion finie de l’espace, on peut distinguer, dans ce mˆeme ´etat Φ, les photons “proches” de l’´electron et du noyau des photons “´eloign´es”. Il semble en effet naturel que les photons “´eloign´es” de l’´electron et du noyau n’interagissent que “faiblement” avec ces derniers, si bien que leur contribution `a l’´energie deΦn’intervienne, `a une erreur n´egligeable pr`es, qu’au travers de l’op´erateur d’´energie du champ libre, H_f(m). Le fait que les photons soient consid´er´es comme massifs sera un point crucial de notre d´emonstration en raison de l’estimation valable uniquement pourm >0:

qN 6 1

mq_Hf(m). (3.22)

Commenc¸ons par d´efinir une fonction localisant l’´electron et le noyau dans une r´egion finie de l’espace : soitφ1 ∈C^∞₀ (R⁶)telle que :

D´efinissons ensuite les objets qui vont nous permettre de localiser les photons : soient j₁, j₂ ∈C^∞₀ (R³)telles que :

Puis de la mˆeme fac¸on que pour φ_1,T, soit pour tousQ > 0, y ∈ R³ eti ∈ {1,2}, j_i,Q(y) = ji(y/Q). On obtient alors une isom´etrie partielleUQdeFsdansFs⊗ Fsen posant :

UQΩ := Ω⊗Ω,

U_Qa^∗(f₁). . . a^∗(f_n)Ω :=c^∗_Q(f₁). . . c^∗_Q(f_n)Ω⊗Ω, (3.23) avec :

c^∗_Q(f_i) := a^∗(j_1,Qf_i)⊗I+I⊗a^∗(j_2,Qf_i). (3.24) Remarquons que d’apr`es la proposition 1.7, (3.23) est suffisant pour d´efinir U_Q sur F_s tout entier. Par ailleurs, le fait queU_Qsoit une isom´etrie partielle se montre directement en utilisant l’´egalit´ej₁²+j₂² = 1et les relations canoniques de commutation(1.30).

D´efinissons un op´erateur auto-adjoint agissant dansL²(R⁶;F_s⊗ F_s)`a l’aide de la proposi-tion suivante :

Proposition 3.4 Supposons que(H₀)est v´erifi´ee. Soit la forme quadratiqueq˜_HeV

U(m)d´efinie sur Q(p²₁+p²₂)∩Q(U⁺)∩Q(He_f(m))par :

˜

qHe_U^V(m)(Φ,Ψ) = X

j=1,2

1 2mj

([(p_j−q_jA_j)⊗I]Φ,[(p_j −q_jA_j)⊗I]Ψ) + (Hef(m)^1/2Φ,Hef(m)^1/2Ψ)−((−V)^1/2Φ,(−V)^1/2Ψ)

−((U⁻)^1/2Φ,(U⁻)^1/2Ψ) + ((U⁺)^1/2Φ,(U⁺)^1/2Ψ),

(3.25)

o`u nous avons pos´eHe_f(m) :=H_f(m)⊗I+I⊗H_f(m). Alorsq˜

He_U^V(m)est ferm´ee et semi-born´ee inf´erieurement ; on noteHe_U^V(m)l’op´erateur associ´e `aq˜_HeV

U(m) par la proposition 1.2. De plus, C^∞₀ (R⁶)⊗DS⊗DS est un cœur deHe_U^V(m), et on a sur cet ensemble :

He_U^V(m) =H_U^V(m)⊗I+I⊗H_f(m). (3.26) D´emonstration

Il suffit d’adapter le travail effectu´e pour d´efinirH_U^V dans la sous-section 2-4.1.

Le r´esultat principal de cette sous-section est alors le suivant :

Th´eor`eme 3.5 Supposons que(H₀)est v´erifi´ee. Soitm >0et soitΨ∈Q(H_U^V(m)). On a : q_H^V

U(m)(φ1,TΨ, φ1,TΨ) =q_HeV

U(m)(UQφ1,TΨ,UQφ1,TΨ) +ν(Q, T, m)h

aq_H^V

U(m)(Ψ,Ψ) +bkΨk²i

, (3.27)

o`ua, bsont des constantes positives ind´ependantes deQ, T, m, et o`u pour tousT, m >0fix´es : ν(Q, T, m) →

Q→∞ 0.

La d´emonstration est bas´ee sur [GLL01, Lemme A.1] ; nous la r´e´ecrivons au sens des formes quadratiques en justifiant rigoureusement les questions de domaines. Commenc¸ons par un lemme permettant de comparer les ´energies associ´ees `aH_f(m)etHe_f(m):

CHAPITRE 3. PREUVE DE L’EXISTENCE D’UN ´ETAT FONDAMENTAL 63 Lemme 3.6 Soientm >0etΨ∈Q(H_f(m)). On a :

qH_f(m)(Ψ,Ψ) =q_He

f(m)(UQΨ,UQΨ) +ν1(Q)

qN(Ψ,Ψ) +kΨk²

, (3.28)

o`uν₁ v´erifie :ν₁(Q) →

Q→∞0.

D´emonstration

Observons tout d’abord que si Ψ ∈ Q(H_f(m)), il est clair, dans la mesure o`u j₁, j₂ ∈ L^∞(R³), queU_QΨ∈Q(He_f(m)). Cherchons alors une expression de la diff´erenceq˜_Df(m)d´efinie surQ(H_f(m))par :

˜

q_Df(m) :=q_Hf(m)−q_U∗

QHef(m)U_Q. (3.29)

Consid´erons(f_i)_i>0 une base orthonormale deL²(R³)telle que pour tous i> 0etλ ∈ {1,2}, f_i(·, λ)∈ H¹(R³). En particulier, on a ainsiω_m(−i∇)f_i ∈ L²(R³)pour touti >0. Utilisant la d´efinition deHf(m), on observe que pour tousi1, . . . , in∈N:

h

Hf(m)− U_Q^∗Hef(m)UQ

i

a^∗(fi1). . . a^∗(fin)Ω

=U_Q^∗

n

X

l=1

c^∗_Q(fi1). . .[a^∗([j1,Q, ωm(−i∇)]fi_l)⊗I+I⊗a^∗([j2,Q, ωm(−i∇)]fi_l)]

×. . . c^∗_Q(f_in)Ω⊗Ω,

(3.30)

o`u le crochet [j_1,Q, ω_m(−i∇)]d´esigne le commutateur de j_1,Q etω_m(−i∇) et de mˆeme pour le second crochet. Notons h_1,Q := [j_1,Q, ω_m(−i∇)], h_2,Q := [j_2,Q, ω_m(−i∇)]pour simplifier l’´ecriture. On en d´eduit l’´egalit´e des op´erateurs suivants sur l’espace vectoriel engendr´e par les

´el´ements de la formea^∗(f_i1). . . a^∗(f_in)Ω: Hf(m)− U_Q^∗Hef(m)UQ

=U_Q^∗ X

l>0

[a^∗(h_1,Qf_l)⊗I+I⊗a^∗(h_2,Qf_l)] [a(j_1,Qf_l)⊗I+I⊗a(j_2,Qf_l)]U_Q. (3.31) On note D_f(m) := H_f(m)− U_Q^∗He_f(m)U_Q l’op´erateur d´efini sur DS. En utilisant l’isomor-phismeIdonn´e dans la proposition 1.10, il reste simplement :

D_f(m) = U_Q^∗IX

l>0

a^∗(h_1,Qf_l⊕h_2,Qf_l)a(j_1,Qf_l⊕j_2,Qf_l)I⁻¹U_Q. (3.32) Soit alorsΨ∈Q(H_f(m))etΨ_q ∈DS tel queΨ_q →Ψetq_Hf(m)(Ψ−Ψ_q,Ψ−Ψ_q)→0quand q → ∞. PuisqueΨ_q ∈D_S, on peut ´ecrire en utilisant(3.31):

hΨ_q, D_f(m)Ψ_qi=X

l>0

a(h_1,Qf_l⊕h_2,Qf_l)I⁻¹U_QΨ_q, a(j_1,Qf_l⊕j_2,Qf_l)I⁻¹U_QΨ_q

. (3.33) Notons pour simplifierΨeq :=I⁻¹UQΨq. Le terme du produit scalaire apparaissant dans(3.33) et correspondant `a la(n+ 1)^ecomposante deΨeqdansFs(L²(R³))s’´ecrit alors :

(n+ 1)X

l>0

Z

R³ⁿ

h1,Qfl⊕h2,Qfl,Ψe⁽ⁿ⁺¹⁾_q (·, k1, . . . , kn)

L²(R³)

×

j_1,Qf_l⊕j_2,Qf_l,Ψe⁽ⁿ⁺¹⁾_q (·, k₁, . . . , k_n)

L²(R³)

dk₁. . . dk_n.

(3.34)

Remarquons que dans la derni`ere ´egalit´e (3.34), nous avons utilis´e implicitement l’isomor-phisme(1.65)et la notation (1.66). Par ailleurs, on peut montrer queh1 eth2 se prolongent `a des op´erateurs born´es deL²(R³)v´erifiant :

kh_1,Qk=k[j_1,Q, ω(−i∇)]k6 C

Q , kh_2,Qk=k[j_2,Q, ω(−i∇)]k6 C

Q, (3.35)

o`uCest une constante positive. Commeh_1,Q,h_2,Qsont de plus sym´etriques, et comme(f_l)_l>0 est une base Hilbertienne deL²(R³),(3.34)se simplifie en :

(n+ 1) X

λ,λ⁰=1,2

Z

R³ⁿ

h_λ,QΨe⁽ⁿ⁺¹⁾_q ((·, λ), k₁, . . . , k_n), j_λ⁰_,QΨe⁽ⁿ⁺¹⁾_q ((·, λ⁰), k₁, . . . , k_n)

L²(R³)dk₁. . . dk_n.

(3.36)

En utilisant (3.35) et le fait quekj_λ⁰_,Qk∞ = 1, on obtient que le module de(3.36) est major´e par :

(n+ 1)2C Q

Ψe⁽ⁿ⁺¹⁾_q

L²(R³⁽ⁿ⁺¹⁾)

, (3.37)

ce qui conduit en prenant la somme surn > 0, dans la mesure o`uU_Q etI sont des isom´etries,

`a :

|hΨ_q, D_f(m)Ψ_qi|6 2C

Q hΨ_q,(N + 1)Ψ_qi. (3.38) En prenant la limite quandq→ ∞et en utilisant(3.22), on en d´eduit :

˜

q_Df(m)(Ψ,Ψ)6 2C Q

q_N(Ψ,Ψ) +kΨk²

. (3.39)

On a donc bien le r´esultat.

Poursuivant la d´emonstration du th´eor`eme 3.5, il nous faut maintenant comparer les ´energies associ´ees `a(p_j−q_jA_j)² et(p_j−q_jA_j)²⊗I. C’est l’objet du lemme suivant.

Lemme 3.7 Supposons que(H₀)est v´erifi´ee. Soientm >0etΨ∈Q(H_U^V(m)). On a : k(p_j−q_jA_j)φ_1,TΨk² =k(p_j −q_jA_j)⊗IU_Qφ_1,TΨk²

+ν2(Q, T, m) h

a⁰q_H^V

U(m)(Ψ,Ψ) +b⁰kΨk²i

, (3.40)

o`ua<sup>0</sup>, b<sup>0</sup>sont des constantes positives ind´ependantes deQ, T, met o`u pour tousT, m >0fix´es : ν₂(Q, T, m) →

Q→∞ 0.

D´emonstration

Tout d’abord, siΨ ∈ Q(H_U^V(m)), il est clair que φ_1,TΨ ∈Q(H_U^V(m))vue la d´efinition de φ_1,T, puis que U_Qφ_1,TΨ ∈ Q(H_U^V(m)⊗I)vue la d´efinition de j_1,Q intervenant dansU_Q. Les

´el´ements apparaissant dans(3.40)sont donc bien d´efinis et il nous faut estimer la diff´erence : D_j :=k(p_j−q_jA_j)φ_1,TΨk²− k(p_j −q_jA_j)⊗IU_Qφ_1,TΨk². (3.41)

CHAPITRE 3. PREUVE DE L’EXISTENCE D’UN ´ETAT FONDAMENTAL 65 NotonsQ_j l’op´erateur d´efini surQ(H_U^V(m))par :

Q_j := (p_j−q_jA_j)− U_Q^∗(p_j−q_jA_j)⊗IU_Q. (3.42) On a alors :

D_j = 2Re ((p_j −q_jA_j)φ_1,TΨ, Q_jφ_1,TΨ)− kQ_jφ_1,TΨk², (3.43) et on veut majorer |Dj|. En utilisant les lemmes 2.9 et 2.10, ainsi que le fait que V +U⁻ est relativement born´e par rapport `ap²₁+p²₂ avec borne relative 0, on montre facilement que pour toutΦ∈Q(H_U^V(m)):

k(pj −qjAj)Φk² 6a1q_H^V

U(m)(Φ,Φ) +b1kΦk², (3.44) o`ua₁, b₁ sont des constantes positives ind´ependantes de m. D’autre part, en faisant commuter p₁, p₂ etφ_1,T, on montre, de la mˆeme fac¸on par exemple que dans [CFKS87, IMS Localization Formula], que :

q_H^V

U(m)(φ1,TΨ, φ1,TΨ) =q_H^V

U(m)(φ²_1,TΨ,Ψ) + (|∇φ1,T|²Ψ,Ψ). (3.45) D’o`u, par(3.44)et puisqueφ1,T,∇φ1,T ∈L^∞(R³):

k(p_j−q_jA_j)φ_1,TΨk² 6a₂q_HV

U(m)(Ψ,Ψ) +b₂kΦk², (3.46) o`u a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub> sont des constantes positives ind´ependantes dem. Revenant `a (3.43), il nous reste `a estimerkQ_jφ_1,TΨk. CommeU_Q n’agit que surF_s, on ap_j− U_Q^∗(p_j⊗I)U_Q= 0, et donc :

Q_jφ_1,TΨ =−q_j

A_j − U_Q^∗A_j⊗IU_Q

φ_1,TΨ. (3.47)

Or, vues les d´efinitions deA_j etU_Q, on a pour presque toutX ∈R⁶ et pouri= 1,2,3: Aⁱ_j − U_Q^∗Aⁱ_j⊗IU_Q

(X)

=U_Q^∗

a^∗([j_1,Q−1]hⁱ(x_j − ·))⊗I+I⊗a^∗(j_2,Qhⁱ(x_j − ·)) U_Q +U_Q^∗

a([j_1,Q−1]hⁱ(x_j − ·))⊗I+I⊗a(j_2,Qhⁱ(x_j− ·)) U_Q.

(3.48)

En utilisant une nouvelle fois l’isomorphisme donn´e dans le lemme 1.10, on en d´eduit : kQ_jφ_1,TΨk² =q_j²

3

X

i=1

Z

R⁶

U_Q^∗I

a^∗([j_1,Q−1]hⁱ(x_j − ·)⊕j_2,Qhⁱ(x_j− ·)) +a([j_1,Q−1]hⁱ(x_j − ·)⊕j_2,Qhⁱ(x_j− ·))

I⁻¹U_Qφ_1,T(X)Ψ(X)

2dX.

(3.49) L’estimation des op´erateurs de cr´eations et d’annihilation en fonction de l’op´erateur du nombre de photons donne alors (´etant entendu que ces op´erateurs agissent ici dansF_s(L²(R³)⊕L²(R³)) et qu’il s’agit donc d’adapter, de mani`ere ´evidente, la proposition 1.9) :

kQ_jφ_1,TΨk² 64q_j²

3

X

i=1

Z

R⁶

φ_1,T(X)²h

[j_1,Q−1]hⁱ(x_j − ·)⊕j_2,Qhⁱ(x_j − ·)

2

×qN(I⁻¹U_QΨ(X),I⁻¹U_QΨ(X)) +kΨ(X)k²i dX.

(3.50)

Maintenant on constate, de la mˆeme fac¸on que dans la proposition 1.10, que :

qN(I⁻¹U_QΨ(X),I⁻¹U_QΨ(X)) =qN(Ψ(X),Ψ(X)). (3.51) En utilisant alors les faits queφ_1,T = 0surB(0,2T)^c et j_1,Q−1 = 0 = j_2,Qsur B(0, Q), on peut obtenir, `a partir de(3.50), l’in´egalit´e suivante :

kQ_jφ_1,TΨk² 6C

3

X

i=1

Z

B(0,Q−2T)^c×{1,2}

|hⁱ(y)|²dy

q_N(Ψ,Ψ) +kΨk²

, (3.52)

o`uCest une constante positive, et en supposant ici queQ >2T. Or, commehⁱ ∈L²(R³)on a, pourT >0fix´e :

Z

B(0,Q−2T)^c×{1,2}

|hⁱ(y)|²dy →

Q→∞ 0. (3.53)

Ainsi, en utilisant l’estimation : qN 6 1

mq_Hf(m) 6 1 m

h a₃q_H^V

U(m)+b₃i

, (3.54)

o`ua₃etb₃sont des constantes positives ind´ependantes dem, et en ins´erant(3.46)et(3.52)dans (3.43), on obtient le r´esultat annonc´e.

Appliquons pour conclure les deux lemmes que nous venons de d´emontrer afin d’obtenir le th´eor`eme 3.5 :

D´emonstration du th´eor`eme 3.5

Soient doncm >0etΨ∈Q(H_U^V(m)). Notons : ν(Q, T, m) =e q_H^V

U(m)(φ_1,TΨ, φ_1,TΨ)−q

He_U^V(m)(U_Qφ_1,TΨ,U_Qφ_1,TΨ). (3.55) En d´eveloppantq_H^V

U(m), on trouve :

eν(Q, T, m) =q_Hf(m)(φ_1,TΨ, φ_1,TΨ)−q_He

f(m)(U_Qφ_1,TΨ,U_Qφ_1,TΨ)

+k(p_j −q_jA_j)φ_1,TΨk²− k(p_j−q_jA_j)⊗IU_Qφ_1,TΨk². (3.56) Nous avons utilis´e dans cette ´equation le fait que (U +V)− U_Q^∗(U +V)⊗IU_Q = 0 dans la mesure o`uU_Q n’agit que surF_s. En appliquant les r´esultats des lemmes 3.6 et 3.7, il vient imm´ediatement (en utilisant une fois encorekφ_1,Tk∞ 61) :

|ν(Q, T, m)|e 6ν₁(Q)

qN(Ψ,Ψ) +kΨk²

+ν₂(Q, T, m)h a⁰q_H^V

U(m)(Ψ,Ψ) +b⁰kΨk²i

. (3.57) Une nouvelle utilisation de(3.54)permet alors de conclure.

CHAPITRE 3. PREUVE DE L’EXISTENCE D’UN ´ETAT FONDAMENTAL 67

Dans le document L’ionhydrog´eno¨ıdeconfin´een´electrodynamiquequantiquenonrelativiste.EffetLamb-Dicke. Docteurdel’Universit´edeReimsChampagneArdenne J´er´emyFAUPIN THESE (Page 69-75)