Lissage

Certaines imprécisions au niveau des enregistrements GPS peuvent altérer les données de vitesses et d’accélérations, faussant ainsi grandement le calcul de consommation énergétique. Parfois, les vitesses calculées sont de plus 200 km/h avec des accélérations de 25 m/s2. Un lissage des données est donc nécessaire. Pour ce faire, différentes techniques existent : retrait des données erronées, lissage simple exponentiel (simple exponential smoothing), lissage à l’aide de la méthode du noyau d’Epanechnikov (Epanechnikov kernel smoothing), lissage robuste par la méthode du noyau (robust kernel smoothing) et lissage robuste simple exponentiel (robust simple exponential smoothing). Après avoir testé ces différentes méthodes sur la précision des résultats obtenus, certains auteurs (Rakha, H., Dion, & Sin, 2001) en ont conclu que la méthode de lissage robuste par la méthode du noyau était la meilleure technique de lissage.

La méthode de lissage robuste utilise les mêmes équations que pour la méthode de lissage par la méthode du noyau d’Epanechnikov, mais en supprimant par la suite les données qui sont supérieures aux limites possibles. Voici les équations utilisées (Hellinga & Chan, 2002):

X Y6Z = 0,75 1 − Y_6Z0 _{B@ Y} 6Z £ 1 0 B@EJE Équation 3-3 Y_6Z =|6aZ|_b Équation 3-4 Où

K(zij) = fonction d’estimation de la densité par la méthode du noyau

i : enregistrement central qui est lissé (position 0)

j : position de l’enregistrement par rapport à i auquel un poids sera ajouté pour l’estimation du point i

c = nombre d’enregistrements dans le passé égal à celui dans le futur (amplitude) qui aura un impact sur la valeur à estimer

L’amplitude (c) qui a été choisie est de 3, donc un poids spécifique sera accordé aux deux valeurs qui précèdent et qui suivent la valeur à lisser. Cette valeur a été choisie puisque des auteurs (Rakha, H. et al., 2001) ont démontré que les résultats obtenus avec une largeur de bande égale à trois

étaient ceux qui représentaient le plus les valeurs de vitesses estimées, tout en enlevant les valeurs suspicieuses. Une fois la valeur de la bande déterminée, il faut appliquer l’équation 3-5 afin de déterminer le poids qui sera accordé aux différentes valeurs qui contribueront au lissage des vitesses : d6Z = e(fgh_e(f) gi) gjk ilgmk Équation 3-5 Où d_6Z = nJ@=B à %FFJG=AG à L% ;%LAHG p nJHG AB9@DAG @

Finalement, la valeur de la vitesse sera estimée en appliquant l’équation 3-6: q_r = 6sb (d_6Z∗ q₆)

Zt6ab Équation 3-6

Où

q₆ = ;@9ABBA à AB9@DAG q_r = ;@9ABBA AB9@DéA

Comme mentionné précédemment, la valeur de l’amplitude choisie est de 3. Les différents paramètres calculés sont donc égaux à :

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 3 (|i – j| = 3) par rapport à la vitesse estimée (i) :

Y_6au =3

3 = 1, =JEF C Y6au = 0,75 ∗ 1 − 10 = 0

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 2 (|i – j| = 2) par rapport à la vitesse estimée (i) : Y6a0 = 2 3, =JEF C Y6a0 = 0,75 ∗ 1 − 2 3 0 = 0,4167

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 1 (|i – j|= 1) par rapport à la vitesse estimée (i) : Y6ay = 1 3, =JEF C Y6ay = 0,75 ∗ 1 − 1 3 0 = 0,6667

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 0 (|i – j| = 0) par rapport à la vitesse estimée (i), soit la valeur à estimer elle-même :

Y6a? =

0

3, =JEF C Y6a? = 0,75 ∗ 1 − 0 3

0

= 0,7500

Pour terminer, il ne reste qu’à calculer le poids accordé à chacune des valeurs qui précèdent et qui suivent la valeur à estimer :

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 0 (|i – j| = 0) par rapport à la vitesse estimée (i), soit la valeur à estimer elle-même, le poids à leur accorder est égal à :

d_6a? = 0,7500

0,4167 + 0,6667 + 0,7500 + 0,6667 + 0,4167= 0,2570

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 1 (|i – j| = 1) par rapport à la vitesse estimée (i), le poids à leur accorder est égal à :

d_6ay = 0,6667

0,4167 + 0,6667 + 0,7500 + 0,6667 + 0,4167= 0,2285

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 2 (|i – j| = 2) par rapport à la vitesse estimée (i), le poids à leur accorder est égal à :

d_6a0 = 0,4167

0,4167 + 0,6667 + 0,7500 + 0,6667 + 0,4167= 0,1429

Ø Pour les valeurs ayant une différence de position égale à 3 (|i – j| = 3) par rapport à la vitesse estimée (i), le poids à leur accorder est égal à :

d_6au = 0

0,4167 + 0,6667 + 0,7500 + 0,6667 + 0,4167= 0 L’équation finale pour calculer la vitesse est donc l’équation suivante:

q_>= 0,1429 ∗ q_>a0+ 0,2285 ∗ q_>ay+ 0,2570 ∗ q_>+ 0,2285 ∗ q_>sy+ 0,1429 ∗ q_>s0 Afin de bien illustrer l’impact du choix de l’amplitude, la Figure 3-4 démontre les poids à accorder en fonction du choix de l’amplitude.

Figure 3-4 : Poids à accorder aux valeurs en fonction de l'amplitude choisie

Puisque la limite de vitesse sur autoroute est de 100 km/h au Québec, les enregistrements qui présentaient des vitesses supérieures à 120 km/h ont été supprimés; une seconde interpolation a ensuite été effectuée au niveau des valeurs supprimées pour que tous les enregistrements aient une valeur de vitesse qui leur soit attribuée. Pour le calcul de l’accélération, l’équation 3-2 a été appliquée une fois les valeurs de vitesses lissées. La Figure 3-5 présente un profil de vitesse avec les valeurs brutes (courbe bleue) et celles obtenues après avoir appliqué la technique de lissage (courbe orangée). 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Po id s Position par rapport à i (0)

Poids à accorder aux valeurs à estimer en fonction des

différentes amplitudes

Figure 3-5 : Différence entre les valeurs de vitesses brutes et celles lissées et interpolées La Figure 3-5 démontre qu’il y a une grande différence entre les valeurs brutes de vitesses et celles lissées et interpolées. Or, il est évident que les valeurs brutes ne représentent pas la réalité puisqu’il y a de fortes variations qui sont physiquement impossibles (une différence de 50 km/h pour un intervalle d’une seconde est mécaniquement impossible pour un véhicule). Ces oscillations peuvent être dues au faible niveau de précision temporel des enregistrements : les données ont une précision à la seconde alors qu’il faudrait au moins une précision au dixième de seconde. Deux enregistrements consécutifs peuvent avoir moins d’une demie seconde de différence, alors qu’elles seront enregistrées en ayant une seconde de différence, ce qui peut avoir un gros impact sur les résultats.