2.3.2) Limites des approches hydrodynamiques

D’un point de vue « physique » la différence entre le transport stationnaire (modèle DD) et le transport non-stationnaire (modèle HD ou EB) se caractérise par un retard de la réponse en vitesse par rapport à la variation du champ électrique (cf figure II.2.a). On peut regarder cela par rapport au temps de relaxation en énergie : dans le cas d’un transport stationnaire celui-ci est nul ce qui implique que l’énergie des porteurs est supposé être en équilibre avec le champ électrique (cas d’un système homogènes en espace et en temps). A contrario, le transport non-stationnaire considère que les phonons ne peuvent plus absorber instantanément l’énergie créée par les interactions et laisse apparaître une survitesse (cela vient du fait que Tn≠TL donc que les électrons

n’arrivent pas à relaxer leur énergie). Ainsi, la différence principale entre les modèles DD et HD consiste dans le fait que la dépendance du champ électrique existant en DD ne permet pas de prendre en compte les effets non-stationnaires tandis que ces effets sont pris en compte dans HD. Dans le cas d’une modélisation avec le modèle DD la vitesse sera toujours sous estimée, ce qui changera significativement la valeur du courant pour une gamme de longueurs de canal (dépendant du type du matériau, autour 100 nm pour le silicium) où le transport non-stationnaire devient prédominant [Fuchs]. Les figures II.2.b et IV.2.c illustrent (pour le cas du silicium et du

Equation de Transport de Boltzmann (Silicium à 300 K)

Modèle : DD Modèle : HD L n T T ≈ 2 . 2 * . 2 3 moy n b v m T k w= + Q J S=− n+ n b q T k . . 2 . . 5

- Q est un terme empirique donné par la loi de Fourrier - knest calculé par la loi de Wiedermann-Franz

Moment d’ordre 0 et 1 Moment d’ordre 0,1 et 2

Relation de fermeture sur l’énergie moyenne (w) Relation de fermeture sur le flux d’énergie (S)

Modèle : EB

Introduction de : τ_fet τ_ε

La fonction de distribution est décrite comme une maxwellienne déplacée qui se scinde en une partie symétrique et une partie anti symétrique :

) 1 )( ( ) (k ≈ _M k +b.k MD f f 0 → ε τ ⇒ Transport stationnaire Transport non-stationnaire Introduction de : τ_f, τ_metτ_ε

germanium) l’influence du type de matériaux sur la variation de la vitesse moyenne en fonction du champ électrique et du temps [Soliveres2].

Figure II.2. Simulations de dispositifs MOSFET usuels : (a) Différence entre DD et HD concernant la réponse en vitesse à un échelon de champ électrique, (b) vitesse de saturation et de temps de relaxation en énergie pour le silicium et germanium et (c) allures de l’évolution de la vitesse en fonction du champ électrique ou du temps pour le silicium et le germanium [Soliveres2].

Les travaux de l’équipe de Purdue [Stettler] ont montré les limitations des relations de fermeture, comme le fait de simplifier la partie « drift » par rapport à la partie thermique (équation II.28), ou encore le fait de modéliser le flux de chaleur par la loi de Fourier (équation II.33). Ceci remet en question la physique même des modèles hydrodynamiques. Néanmoins, le problème n’est pas de savoir si ces modèles marcheront en dehors de ces limites, mais bien de comprendre le cadre de leur application. A ce titre, les relations de fermeture réalisées sur l’énergie moyenne ou le flux d’énergie ne considèrent que trois moments. Le laboratoire de Vienne [Gritsch] a démontré (avec des comparaisons Monte Carlo) qu’en allant jusqu'à l’ordre 6 ou en modifiant la forme de la fonction de distribution par une somme de fonctions exponentielles, les conclusions restent les mêmes : il est difficile de décrire précisément par ces modèles les nouveaux phénomènes de transport électronique dans des dispositifs ultimes (notamment le transport quantique). Finalement, la pertinence des modèles présentés est bien évidemment liée aux hypothèses de l’ETB semi-classique, mais dépend surtout de la forme particulière de la fonction

Dérive-Diffusion HydroDynamique v t Si Ge vsat(m.s-1) 105 6.104 τ_ε(s) 0.2.₁₀12 ₂.₁₀12 (a) (b) (c)

de distribution. Car comme nous l’avons expliqué, scinder la fonction de distribution en une partie symétrique et une partie asymétrique est la clé pour obtenir mathématiquement les différents moments et relations de fermeture du système. Mais il est possible d’étendre les capacités de ces modèles en apportant des corrections comme les effets de confinement avec le modèle Density Gradient [Ancona], l’introduction des effets non-stationnaires dans les modèle de type DD [Kampen] ou encore, la prise en compte des effets de confinement quantique dans une approche dérive diffusion (approche dérive diffusion quantique) [Munteanu2].

II.3) Formalisme de la méthode des flux

Dans les années 50-60 McKelvey et al [McKelvey] posèrent un nouveau formalisme, ou plutôt une solution alternative au problème de modélisation du transport électronique, basé sur de précédents travaux d’optique de [Coltman] [Longini]. Cette solution était présentée comme l’alternative de l’approche classique connue (de nos jours) sous de nom de dérive-diffusion et proposée par Van Roosbroeck* [Van Roosbroeck]. Il est vrai qu’introduire les notions de flux et de coefficients réflexion/transmission pour décrire le fonctionnement de dispositif était alors à l’époque totalement inédite ; Shockley lui-même a réalisé une revue de la méthode de McKelvey en la comparant à l’approche dérive-diffusion [Shockley]. Ce faisant, les travaux de McKelvey sont passés pratiquement inaperçus au profit des approches de type dérive-diffusion†_{. Il faudra} attendre les années 90 avec la publication annonciatrice de Vaidyanathan et al [Vaidyanathan] ou encore les travaux de Tanaka et Lundstrom [Tanaka] sur la méthode de McKelvey appliquée au transistor bipolaire. Par la suite, l’équipe de l’Université de Purdue réalisera un nombre impressionnant d’études en utilisant toujours la méthode de McKelvey : d’un point de vue temporel avec [Alam], appliquée au MOSFET [Lundstrom] [Lundstrom2] [Lundstrom3] ou encore utilisée pour les dispositifs nanométriques [Lundstrom4].

Durant les années 90/2000 d’autres chercheurs se sont penchés sur cette méthode pour expliquer/modéliser le transport électronique [Lundstrom] [Chen] [Barral] [Jiménez] [Palestri] [Clerc] [Saint-Matin] [Ferrier] [Fuchs] [Mugnaini] … Nous citerons plus particulièrement les travaux de Gidenblat et al [Gidenblat] [Wang] qui ont pour la première fois utilisés la méthode de McKelvey dans une application concrète de simulation de circuit. D’autres travaux ont étendu le domaine d’utilisation de la méthode des flux aux niveaux énergétiques [McKinnon]. Mais le

*

Van Roosbroeck faisait partie du « Bell Telephone Laboratories » et a aussi travaillé avec Shockley [Van Roosbroeck2].

†

véritable renouveau de la méthode des flux est lié à la définition même de la physique mésoscopique qui trouve son application pour des transistors qui ont des dimensions de l’ordre du libre parcours moyen [Datta] *_{. McKelvey avait déjà souligné ce point fondamental en 1964 :} “the flux method, unlike simplest form of the diffusion theory, is directly applicable to systems whose physical thickness is of the order of or smaller than the scattering- and absorption- free-path lengths”.