Limite hydrodynamique des gaz raréfiés

L’équation de Boltzmann, que la LBM approxime en discrétisant l’espace de phase, permet de décrire un fluide sur toute la plage de Kn. Afin de la résoudre, on applique l’expansion de

Chapman-Enskog : celle-ci considère les fonctions de distribution comme une perturbation relative à Kn autour de la fonction de distribution à l’équilibre [60]. Par cette méthode, il est

alors possible de relier les fonctions de distribution aux variables macroscopiques pour leur donner un sens physique.

Chaque population fi peut être définie comme un développement en Kn :

fi = f (0) i + Knf (1) i + K2 n 2 f (2) i + O(Kn2) (4.4) avec f_i(0) = f_ieq.

Pour relier les fonctions de distributions aux grandeurs macroscopiques, on suppose une solu- tion de f avec la forme décrite ci-dessus, puis en la réinjectant dans l’équation de Boltzmann, il est possible d’identifier les coefficients de chaque ordre de Kn. Par exemple, en prenant

l’ordre 0, on retrouve l’équation de conservation de masse, tandis que l’ordre 1 nous donne l’équation de conservation de la quantité de mouvement [60].

une "couche de limite hydrodynamique" que l’on nomme couche de Knudsen. À l’intérieur de cette couche, on considère que les collisions intermoléculaires régissent le mouvement des particules de fluide à proportion égale avec les collisions avec les parois solides.

L’épaisseur de la couche de Knudsen est de la taille du libre parcours moyen de la particule de fluide λ [16]. Puisque Kn est très faible en régime continu, on peut supposer la couche

négligeable ; c’est pourquoi on peut appliquer les équations de Navier-Stokes dans tout le domaine.

Lorsque le gaz est faiblement raréfié (Kn < 0,1), il est toutefois toujours possible d’utiliser

les équations de Navier-Stokes avec des conditions limites modifiées pour prendre en compte la raréfaction du fluide.

Cependant, lorsque Knaugmente, les effets microscopiques prennent une part plus importante

dans l’écoulement global du fluide. Pour représenter la part prise par la couche de Knudsen en fonction du taux de raréfaction, on représente qualitativement l’épaisseur de la couche de Knudsen dans un écoulement entre deux plans parallèles infinis (figure 4.1). Dans cet exemple illustré, on peut voir que la couche de Knudsen s’épaissit lorsque Kn augmente et que pour

Kn ' 0,5, plus aucune zone de l’écoulement ne valide l’hypothèse continue.

Physiquement, les effets raréfiés se traduisent par une discontinuité des propriétés du fluide au niveau des parois solides, comme des sauts de température ou une vitesse de glissement [16]. Pour déterminer la valeur de la vitesse de glissement ug aux parois, on se place à l’intérieur

de cette couche de Knudsen, où l’on suppose qu’aucune collision intermoléculaire n’a lieu. On ajoute également l’hypothèse que la vitesse au voisinage de la paroi est purement tangentielle, ie. ug = ugex.

Les particules de fluide réfléchissent sur les parois solides de deux manières [16] :

— Réflexion spéculaire : les particules réfléchissent à la manière de particules de lumières, elles rebondissent sur la paroi en se propageant dans la direction opposée par rapport à la normale à la paroi.

— Réflexion diffusive : les particules perdent toute information sur leur valeur au temps précédent pour capturer l’équilibre et rebondissent en se dispersant dans toutes les directions opposées à la paroi selon une distribution de Maxwell [2].

Figure 4.1 Proportion de la couche de Knudsen entre deux plans parallèles infinis en fonction de Kn

Le type de réflexion est pondéré par un coefficient d’accommodation σν (ou TMAC pour Tan-

gential Momentum Accommodation Coefficient). σν = 1 correspond à une réflexion purement

diffusive et σν = 0 correspond à une réflexion purement spéculaire. Les données expérimen-

tales proposent une valeur de σν entre 0,8 et 1 [16]. En implémentant ce modèle, on suppose

également que le solide est non-absorbant, c’est-à-dire que la totalité des particules incidentes est réfléchie selon l’un des deux types décrits plus haut.

La vitesse du fluide à la paroi uw qui est dérivée est simplement une moyenne de la vitesse

des particules se dirigeant vers le solide et de la vitesse des particules réfléchies par le solide. On dérive cette vitesse de glissement à la limite de la couche de Knudsen à l’aide des vitesses représentées sur la figure 4.2 sur le modèle de [16] :

uw = 0, 5(ξincident+ ξréfléchi)ex = 0, 5( u(λ) | {z } incident + [(1 − σν)u(λ) | {z } spéculaire + σνus | {z } diffusive ] (4.5)

Puis, on effectue un développement de Taylor à l’ordre 2 par rapport à la normale à la paroi :

u(λ) = u(0) | {z } uw + λ∂u ∂y|0+ 1 2λ 2∂2u ∂y2|0+ O(λ 2_{) (4.6)}

On remplace les termes de l’équation 4.5 et l’on pose la vitesse de glissement comme la vitesse du fluide relative à la paroi solide, ie. ug = uw− us. La formule devient alors :

Figure 4.2 Schéma explicatif du glissement du fluide raréfié sur une paroi plane ug = 2 − σν σν (λ∂u ∂y|0+ 1 2λ 2∂2u ∂y2|0) (4.7)

On obtient donc une vitesse de glissement dépendante du taux de raréfaction du fluide (par le biais de λ et de l’équation 4.1).

Enfin, l’hypothèse de l’absence de collisions intermoléculaires dans la couche de Knudsen étant erronée en réalité, on applique des coefficients aux ordres en λ :

ug = 2 − σν σν (C1λ ∂u ∂y|0 + C2λ 2∂ 2_u ∂y2|0) (4.8)

où C1 et C2 sont déterminées de manière expérimentale et/ou empirique.

Le tableau 4.1 référence quelques coefficients de vitesse de glissement : on peut voir que les nombreuses corrélations existantes nous indiquent qu’il n’existe pas de coefficients exacts. De plus, il est observé en [1] que la vitesse de glissement dépend du constituant gazeux et que les coefficients ne sont pas constants et dépendraient de Kn.

Une autre conséquence de l’augmentation de Kn est également l’invalidité de l’expansion de

Chapman-Enskog, puisque Kn n’est plus négligeable. Dès lors, la description des grandeurs

Tableau 4.1 Coefficients de la vitesse de glissement en régime raréfié Référence C1 C2 de Izarra [16] 1 0,13 Guo [27] 0,8183 0,6531 Cercignani [9] 1,1466 0,9756 Hadjiconstantinou [29] 1,11 0,61 Hsia [31] 1 0,5 Li [47] 0,8183 0,8

Il faut alors modifier la LBM de sorte qu’elle puisse résoudre l’équation de Boltzmann cor- rectement en définissant les interactions entre les particules de fluide et les parois solides et incorporer dans son algorithme les effets de glissement conséquents à la raréfaction du fluide.