Deux classes essentielles de milieux sont d’ordinaire consi- d´er´ees dans les ´etudes (voir (131), (84) et r´ef´erences contenues dans ces ouvrages) : les milieux d´esordonn´es, o`u les constituants fluctuent `a la fois en position et en composition, ou les milieux p´eriodiques compos´es d’une cellule ´el´ementaire (une inclusion plong´ee dans une matrice) r´epliqu´ee dans tout le plan ou vo- lume. Les mat´eriaux p´eriodiques fournissent un mat´eriau dont la g´eom´etrie est compl`etement d´etermin´ee. Ainsi dans la pra- tique, ils permettent de comparer les th´eories d’homog´en´eisation non-lin´eaires `a des r´esultats exacts (conductivit´e effective d’un r´eseau de sph`eres, Rayleigh, 1892), `a l’approche par “premier principe” (130) ou aux m´ethodes num´eriques par FFT (81; 82). Les d´eveloppements au premier ordre des modules ´elastiques effectifs κ et µ dans la limite dilu´ee (concentration en inclusions f → 0) pour un milieu lin´eaire isotrope furent pour la premi`ere fois calcul´es par Bruggeman (1937), Dewey (1947), et Eshelby (1957). Ces r´esultats d’ordre `a “un corps” sont exacts pour des inclusions sph´eriques et dans des structures d´esordonn´ees en par-
ticulier.
Le milieu p´eriodique lin´eaire en trois dimensions (3D) avec inclusions sph´eriques a pour la premi`ere fois ´et´e ´etudi´e dans le contexte de la conductivit´e par Rayleigh en 1892 (pour des d´e- veloppements ult´erieurs, voir (114; 54)). Le d´eveloppement par m´ethode des multipˆoles introduite par Rayleigh compare le d´e- veloppement en harmoniques sph´eriques du potentiel ´electrosta- tique d’une inclusion avec celui des contributions des inclusions alentour (79; 25; 124). Il a ´et´e par la suite modifi´e (74) en un outil de pr´ediction pr´ecis dont un aboutissement est notamment une m´ethode de r´esolution num´erique du probl`eme. Des d´eve- loppements explicites de la conductivit´e effective dans la limite dilu´ee, en fonction de la concentration en sph`eres f , pour di- vers r´eseaux cubiques, ont ´egalement ´et´e calcul´es (McPhedran et McKenzie, 1978 ; McKenzie, McPhedran et Derrick, 1978). Comme cela a ´et´e remarqu´e par Sangani et Acrivos (1982), tous les termes multipˆoles n’ont pas ´et´e pris en compte dans ce der- nier travail, et une formule d´efinitive a ´et´e trouv´ee par Cheng et Torquato (1997).
Les probl`emes de perm´eabilit´e magn´etique ont ´et´e consid´e- r´es par Lam (1986). Dans le cas d’un r´eseau p´eriodique 2D de cylindres conducteurs, des travaux importants ont ´et´e men´es, voir entre autres (55; 104; 75). L’une des caract´eristiques les plus remarquables de ces r´esultats est que les formules expli- cites disponibles contiennent des puissances non-enti`eres de f en 3D. Ceci provient du fait que ces solutions utilisent un d´e- veloppement en la distance radiale des potentiels dans toutes les puissance rl de la distance r du centre d’une sph`ere. Ceci implique en principe que toutes les puissances du rayon a de la sph`ere interviennent et `a leur tour les puissances de f1/d (o`u d est la dimension spatiale) sont en g´en´erale, requises. Cependant, en fonction des sym´etries du r´eseau, seuls certains des multipˆoles l sont “s´electionn´es”. Ainsi, pour le r´eseau cubique simple 3D `a
faces centr´ees, la premi`ere puissance non triviale dans la limite dilu´ee de la conductivit´e est un terme en f10/3. Ceci d´emontre que les d´eveloppements limit´es dans la limite dilu´ee sont en g´e- n´eral non analytiques en f = 0. Dans le cas 2D, seules des puissances enti`eres de f apparaissent dans les d´eveloppements de (104) pour des r´eseaux carr´es et hexagonaux.
Le probl`eme p´eriodique ´elastique lin´eaire du mˆeme ordre est plus complexe, et a ´et´e ´etudi´e notamment dans (93; 94; 59; 130; 118; 136; 21; 20; 16). La plupart de ces r´ef´erences concernent des m´ethodes de calcul g´en´eriques et leurs applications, et ne s’at- tachent pas en particulier `a des d´eveloppements dans la limite dilu´ee. Cependant, le cas d’un r´eseau p´eriodique de cylindres longs dans une matrice a ´et´e trait´e par le d´eveloppement en multipˆoles dans (76). Des renforts ´elastiques en 3 dimensions par diff´erents r´eseaux cubiques de sph`eres rigides ont ´et´e consi- d´er´es dans (96) en utilisant une m´ethode d’int´egrale de surface. Les d´eveloppements limit´es dans la limite dilu´ee des trois mo- dules ´elastiques du milieu effectif avec sym´etrie cubique incluent un terme d’exposant fractionnel O(f8/3) (voir aussi (131)). La m´ethode par multipˆoles a depuis ´et´e ´etendue pour traiter num´e- riquement des syst`emes avec un grand nombre de particules.
Enfin, le probl`eme ´elastique a ´egalement abouti `a un exemple de mat´eriau d´esordonn´e avec des d´eveloppements non-analytiques dans la limite dilu´ee. Le sch´ema “auto-coh´erent” de Christensen et Lo (18; 19) s’applique de mani`ere approch´ee (47) au milieu de Hashin (Hashin et Shtrikman, 1962) en deux ou trois dimen- sions. Ce milieu infini est form´e d’un empilement d’inclusions sph´eriques de toute taille, chaque inclusion ´etant form´ee de deux phases dont l’une est situ´ee `a l’int´erieur d’une sph`ere plus pe- tite, le rapport des rayons entre les deux sph`eres ´etant constant. Ce milieu poss`ede un certain niveau de d´esordre, l’arrangement exact des sph`eres ´etant indiff´erent. Le d´eveloppement de la for- mule donn´ee par Christensen et Lo fait apparaˆıtre un premier
terme singulier `a l’ordre f11/3 pour le module effectif en cisaille- ment dans la limite dilu´ee en dimension 3 (aucun exposant non- entier n’apparaˆıt en dimension 2).
Pour conclure cette partie, les r´esultats exacts sur un r´eseau ainsi que dans le milieu de Christensen et Lo montrent que les multipˆoles d’ordre ´elev´es (i.e. les interactions d’une inclusion avec son environnement) sont responsables de la non-analyticit´e observ´ee dans la limite dilu´ee. La microstructure joue un rˆole dans la d´etermination des puissances de f retenues. Les expo- sants non-entiers rencontr´es dans les probl`emes de m´ecanique et de conductivit´e sont des termes d’ordre plus grand que f2 dans la limite dilu´ee. Ainsi, l’exposant observ´e dans le contexte de la localisation plastique est d’une nature diff´erente. Il nous semble qu’une des indications les plus explicites de ce ph´enom`ene r´eside dans les calculs par analyse limite de Drucker (27).