Limitations

D

ans ce chapitre, nous introduisons la méthodologie suivie pour

l’étude des instabilités hydrodynamiques dans les supernovæ à effon-drement de cœur (section3.1). Le modèle utilisé est présenté sur le plan des ingrédients physiques qu’il inclut (section3.2) et des condi-tions stationnaires utilisées pour représenter le phénomène de choc d’accrétion au cœur des supernovæ gravitationnelles (section3.3). La technique numérique utilisée est décrite et discutée en section3.4.

3.1. Méthodologie de l’étude

3.1.1. Outils employés

L’étude de processus aussi complexes que les supernovæ à effondrement de cœur doit faire appel à tous les outils possibles : modélisation théorique & étude analytique, simulations numériques, modélisation expérimentale (si possible) et observations.

Le cadre théorique d’explosion retardée gouvernée par l’absorption des neutri-nos semble aujourd’hui bien établi pour expliquer la grande majorité des explo-sions, mais on ne sait pas encore raccorder la diversité des propriétés des explosions à la diversité de structures (masse, compacité, moment cinétique) fournies par l’évolution stellaire. Les nombreuses observations de supernovæ extragalactiques nous renseignent sur l’expansion des éjectas après l’émergence du choc à la surface du progéniteur, bien après son interaction avec toute l’enveloppe de l’étoile. L’ob-servation directe du moteur de l’explosion nécessite la détection de neutrinos ou d’ondes gravitationnelles : SN1987A reste la seule observation directe à ce jour, dont seulement deux douzaines de neutrinos ont été détectés. Les principales nouveautés observationnelles récentes viennent plutôt de quelques événements ex-traordinaires qui ne peuvent pas être expliqués avec le modèle classique d’explosion et nourrissent la recherche sur les mécanismes d’explosions extrêmes, généralement liées à un champ magnétique intense.

Les simulations numériques constituent le principal moyen d’étude de la phy-sique de l’explosion, avec une grande diversité d’approches : des modèles simplifiés 1D aux modèles 3D incluant un réalisme physique aussi poussé que possible, en passant par les modèles 2D destinés à l’étude simplifiée (et surtout moins coûteuse en temps de calcul) des mécanismes multi-D à l’œuvre. Les ingrédients physiques inclus, les méthodes numériques utilisées ou encore les différentes conditions initiales sont autant de paramètres qui ajoutent également à la grande variété des simulations effectuées.

L’analyse perturbative permet de valider le comportement linéaire des simula-tions numériques, et de mettre en évidence les mécanismes physiques à l’origine de certaines instabilités.

La modélisation expérimentale des explosions est inaccessible dans ce domaine d’énergie et de densité, mais il existe au moins un dispositif analogique, la fontaine

aux supernovæ, qui permet une étude approchée de certains des mécanismes hydrodynamiques impliqués dans la dynamique du choc.

Dans cette thèse, il s’agit principalement d’utiliser des simulations numériques 2D d’un modèle simplifié incluant un nombre restreint d’ingrédients physiques afin de pouvoir isoler plus facilement le rôle de certains d’entre eux sur la dyna-mique du choc et le développement des instabilités.

3.1.2. Stratégie d’étude

Si SASI et la convection induite par les neutrinos ont été l’une comme l’autre beaucoup étudiées dans des modèles simplifiés, peu d’études se sont penchées sur leurs interactions, et notamment les régions de l’espace des paramètres ou l’une, l’autre ou les deux sont susceptibles d’apparaître. Nous savons par exemple que SASI produit une grande expansion du choc (Kazeroni et al.,2017), mais un grand rayon de choc est théoriquement défavorable à SASI et à l’inverse favorable à la convection. Il paraît donc important de regarder le comportement de SASI en présence de chauffage, d’autant plus que SASI seule n’esta priori pas susceptible

de produire des explosions.

Par ailleurs, les effets de la rotation restent peu étudiés, notamment en ce qui concerne le domaine des fortes rotations et l’apparition possible d’une corotation. Les quelques simulations 3D dans ce régime (Takiwaki et al.,2016; Summa et al.,2018) montrent des résultats différentsa priori difficiles à concilier.

Les études paramétriques des effets de la rotation et du chauffage combinés ont exploré un espace des paramètres réduit avec relativement peu de simulations (Iwakami et al.,2014b) malgré le caractère stochastique de SASI. Inversement, l’étude des propriétés stochastiques de SASI et de la convection de Cardall et Budiardja (2015) n’a pas pris en compte l’effet de la rotation.

L’idée ici est donc de parcourir assez largement l’espace des paramètres avec des simulations numériques 2D, selon trois axes : le chauffage, la rotation et le taux d’accrétion. D’autre part, il s’agit de réaliser plusieurs fois les simulations numé-riques pour certains jeux de paramètres (avec un bruit aléatoire initial différent) afin d’estimer la stochasticité des différents résultats dans plusieurs régions de cet espace paramétrique. Une telle étude devrait ainsi permettre de déterminer quelles instabilités existent et éventuellement dominent pour quelles valeurs des différentes grandeurs considérées, dans quelles zones les modèles conduisent à des explosions et de quels types s’il y en a plusieurs, ainsi que la variabilité de ces

résul-tats selon que l’on se situe à forte rotation ou non, chauffage important ou modéré et fort ou faible taux d’accrétion.

Ce large panorama de simulations doit également permettre d’en savoir plus sur les différents mécanismes à l’œuvre en identifiant leurs caractéristiques typiques à travers de multiples indicateurs comme la turbulence ou le degré d’asymétrie.

3.2. Ingrédients et équations

Parmi les nombreux ingrédients listés dans la section1.2.2, un certain nombre ne seront pas pris en compte, ou sous une forme approchée. Les intérêts sont mul-tiples : obtenir un modèle simplifié où l’effet d’un ingrédient donné soit plus facile à identifier, mais également réduire conséquemment le coût de calcul des simula-tions numériques du modèle. Pour rappel, les simulasimula-tions 3D les plus complexes nécessitent des dizaines de millions d’heures de calcul chacune.

Cette section passe donc en revue chacun des items listés précédemment pour discuter de la manière dont ils seront traités ici.

Domaines temporel & spatial

Nos études se porteront sur les régions les plus internes d’une étoile en effondre-ment gravitationnel, l’état initial étant pris au moeffondre-ment où le choc est stationnaire, environ 100 ms après le rebond. Les simulations numériques se poursuivront jus-qu’à ce que le choc atteigne un rayon de 1000 km, sans dépasser quelques secondes au plus.

La frontière interne du domaine sera placée au rayon de la PNS, également assimilé à celui de la neutrinosphère. Les régions plus internes ne seront donc pas traitées permettant ainsi de s’affranchir des problématiques d’équations d’état de la matière nucléaire et de dynamique interne de la PNS.

Le taux d’accrétion au bord externe sera maintenu constant (aucune variation dans la structure d’un éventuel progéniteur n’étant donc prise en compte) afin d’évaluer l’évolution d’un système globalement stationnaire.

Dimensionnalité

Le profil initial sera établi en une dimension, donc assimilable à une symétrie sphérique. Pour les simulations numériques, nous nous restreindrons au plan

équatorial du problème qui sera décrit en géométrie cylindrique 2D (la direction 𝑧 ne revêtant alors aucune espèce d’importance), le profil initial 1D étant initialement recopié selon chaque direction.

L’utilisation d’une géométrie 2D équatoriale permet d’étudier les déformations non-axisymétriques du choc, mais fait en revanche l’usage d’équations hydrody-namiques cylindriques au lieu de sphériques, alors que la dépendance radiale de certaines quantités comme le flux de neutrinos et l’intensité de la gravité sont choisies conformes à leur valeur sphérique (∝1/𝑟2).

Par ailleurs on sait que la turbulence ne se comporte pas de la même façon à 2D et à 3D (cascade inverse pour l’énergie). L’hypothèse 2D est susceptible de privilégier les grandes échelles de SASI et de modifier les propriétés de la convection dans la région de gain (Kazeroni et al.,2018).

Composition & Équation d’état

Nous considérerons un gaz parfait constitué d’un seul type de particules re-lativistes. L’équation d’état sera donc celle d’un gaz parfait d’indice adiabatique γ = 4/3. Cette approximation est justifiée dans la région du choc où la pression des électrons et positrons relativistes est dominante; en principe il faudrait pour être un peu plus réaliste considérer un raidissement de l’équation d’état au fur et à mesure que le fluide se compresse dans la couche de refroidissement jusqu’à atteindre une densité proche de la saturation nucléaire, pour laquelle on aurait plutôt γ ≈ 2.

Par ailleurs, aucune réaction nucléaire ne sera prise en compte puisque la com-position du milieu n’est pas considérée. De plus, aucun effet magnétique ne sera étudié par souci de simplicité et car ceux-ci ne sont probablement pertinents que pour une minorité de supernovæ (celles donnant naissance aux magnétars).

Enfin aucune dissociation à travers le choc ne sera prise en compte, et celui-ci sera donc considéré comme adiabatique. Le princelui-cipal effet de la dissocelui-ciation est de diminuer l’énergie du fluide en aval du choc, rendant les explosions plus difficiles à obtenir. On pourra donc s’attendre à obtenir des luminosités critiques plus faibles que celles observées dans la littérature. Il est également possible que la dissociation soit défavorable à SASI d’après Fernández et Thompson (2009a), même si les effets de la dissociation et de l’efficacité du refroidissement n’ont pas été distingués dans cette étude.

Neutrinos

L’effet des neutrinos est pris en compte par l’utilisation de fonctions de chauffage et refroidissementad-hoc. Notons tout de suite que la zone située au-dessus du

choc sera considérée adiabatique, l’émission et l’absorption de neutrinos y étant négligeables. Également, le transfert de quantité de mouvement des neutrinos au fluide ne sera pas pris en compte, voir au paragraphe suivant pour une courte discussion de cet effet.

Le refroidissement, qui correspond à l’émission de neutrinos par la matière accrétée, observera une loi de la forme

𝒬_𝑐 ∝ ρ^β−αP^α, (3.1)

tel que proposé initialement par Houck et Chevalier (1992). En réalité la forme physique du refroidissement s’écrit 𝒬_𝑐 ∝ ρT6(Janka,2001), ce qui peut se comprendre comme un rayonnement d’équilibre par rapport à une absorption qui serait en T4× ρT², le premier terme correspondant à l’émission du corps noir et le second à la section efficace d’absorption. Pour déterminer les coefficients α et β à partir de cela, il faut déterminer la loi reliant P et T. Janka (2001) suggère que proche de la PNS la pression est dominée par les baryons et donc que P ∝ ρT, impliquant α = 6 et β = 1, tandis que proche du choc la pression est dominée par les photons ainsi que les électrons et positrons relativistes avec par conséquent P ∝ T⁴, soit α = 3

2 et β = 5

2. Dans notre cas, nous utiliserons une loi 𝒬_𝑐 ∝ ρP3/2

correspondant à ce second cas comme proposé par (Blondin et Mezzacappa,

2006). Ce choix est motivé d’une part pour correspondre à notre choix d’indice adiabatique de notre équation d’état, et d’autre part pour des raisons numériques : en effet, si α > β alors l’efficacité du refroidissement diminue au fur et à mesure que le gaz se refroidit et le temps d’accrétion jusqu’à la surface de la PNS devient infini (Foglizzo et al.,2007), ce qui pose problème pour nos simulations nu-mériques. Dans le cas contraire, il devient de plus en plus efficace, le processus s’emballe et l’accrétion s’effectue en un temps fini. À noter que cet emballement n’est pas non plus anodin pour les simulations, et qu’en pratique il faut ajouter une coupure de la fonction de refroidissement pour éviter la divergence des quantités physiques à proximité du bord interne. Différentes coupures sont possibles, le plus physique et plus simple seraita priori une coupure en densité (le refroidissement

devenant inefficace à des densités supérieures à 10¹¹g⋅cm−3car la matière est alors optiquement épaisse aux neutrinos). En pratique c’est cependant une fonction

de coupure en entropie qui est utilisée dans la littérature (e.g. Fernández et

Thompson,2009a; Fernández,2015; Kazeroni et al.,2016,2017) et que nous conserverons pour rendre plus aisée la comparaison avec ces études. La loi s’écrira donc

𝒬_𝑐 ∝ ρP3/2𝑒⁻⁽Scut^S )², (3.2)

où Scutest une entropie de coupure définie comme la valeur de l’entropie mesurée sur le profil stationnaire initial au bord interne et sans coupure. Le coefficient de proportionnalité sera fixé une fois pour toutes afin de conserver une efficacité identique du refroidissement dans tous les modèles.

Pour le chauffage, représentant l’absorption de neutrinos par les particules du gaz, nous supposerons un flux isotrope émis par la neutrinosphère (“light-bulb approximation”) qui sera donc de la forme

𝒬_ℎ ∝ _𝑟^ρ₂. (3.3)

Le coefficient de proportionnalité sera varié librement afin d’étudier l’impact de la luminosité des neutrinos, que l’on paramétrera par la luminosité des seuls neutrinos électroniques ℒ_νe. En effet, Janka (2001) donne cette formule simplifiée pour le chauffage par les neutrinos :

𝒬_ℎ ≃ ^κ𝑎ℒνe

4π𝑟2⟨μ_ν⟩^{, (3.4)}

où ⟨μ_ν⟩ est le facteur de flux des neutrinos (quantité sans dimension variant entre 0.25 à la neutrinosphère et 1 à grande distance de celle-ci) et κ_𝑎est l’opacité d’ab-sorption moyenne des deux interactions considérées : n + νe → p⁺ + e⁻et p+ + ̄νe → n + e⁺. Les luminosités de neutrinos électroniques ℒ_νe et d’anti-neutrinos électroniques ℒ_̄νe étant du même ordre, cette opacité moyenne peut s’écrire directement comme étant la somme des deux opacités, qui s’écrivent comme le produit de la section efficace d’interaction par la densité numérique de particules cibles :

κ_νe = σ_νe𝑚^ρ

uYn, (3.5)

κ_̄νe = σ_̄νe𝑚^ρ

Y_net Ypsont les fractions respectivement neutronique et protonique, 𝑚ul’unité de masse atomique (la différence de cette masse avec celles du proton et du neutron étant négligée) et les sections efficaces sont données par :

σ_νe = ^G 2 Fϵ²_νe π(ℏ𝑐)4(𝑔2 V+ 3𝑔2 Α)(1 + Δ𝑚_ϵ νe )√1 + 2Δ𝑚_ϵ νe +^{Δ𝑚2− (𝑚}_ϵ2 ^e𝑐2)2 νe , (3.7) σ_̄νe = ^G 2 Fϵ²_̄νe π(ℏ𝑐)4(𝑔_V² + 3𝑔_Α²)(1 − Δ𝑚_ϵ ̄νe )√1 − 2Δ𝑚_ϵ ̄νe + ^{Δ𝑚2− (𝑚e𝑐2)2} ϵ2 ̄νe , (3.8)

où Δ𝑚 ≃ 1.3 MeV est la différence d’énergie de masse entre le neutron et le proton, tandis que GF/(ℏ𝑐)3 ≃ 1.17 GeV⁻², 𝑔_V = 1 et 𝑔_Α ≃ 1.26 sont les constantes de couplage respectivement de Fermi, vectorielle et pseudovectorielle de l’interaction faible¹. Enfin, ϵ_νeet ϵ_̄νe sont l’énergie des neutrinos et anti-neutrinos électroniques. Dans le cadre des supernovæ à effondrement de cœur, la valeur moyenne de ces énergies peut être obtenue en supposant que le spectre du flux de neutrinos est celui d’un corps noir de particules observant une distribution de Fermi–Dirac, auquel cas on a ⟨ϵ2

ν⟩ ≈ 21(𝑘_ΒT_ν)²avec des températures de l’ordre de 𝑘_ΒT_νe ≈ 4 MeV et 𝑘_ΒT_̄νe ≈ 6 MeV (Janka,2001). Ces énergies moyennes, de l’ordre de 18 et 27 MeV donc, étant grandes devant Δ𝑚, tous les termes enΔ𝑚

ϵν peuvent être négligés; d’autre part on supposera ⟨ϵ2

̄νe⟩ ≃ 2⟨ϵ²_νe⟩ ce qui nous amène à une opacité moyenne de : κ_𝑎 ≃ _π(ℏ𝑐)^GF2 ₄(𝑔_V² + 3𝑔_Α²)⟨ϵ²_νe⟩_𝑚^ρ

u(Yn+ 2Yp) . (3.9)

En remplaçant les différents coefficients par leurs valeurs numériques et avec l’hy-pothèse Yn+ 2Yp≈ 1 (la matière étant essentiellement neutronisée dans la région sous le choc) on obtient

κ_𝑎 ≈ 2.0 × 10⁻⁷ρ₁₀[cm⁻¹] (3.10)

où ρ₁₀ est la densité en unités de 1010g⋅cm−3. Par conséquent, et en prenant ⟨μ_ν⟩ ≈ 0.5 comme valeur moyenne, on obtient :

𝒬_ℎ ≃ 3.1 × 10^36ρ10 𝑟2

7 ℒ_νe,52[erg⋅s⁻¹⋅m⁻³] , (3.11)

où 𝑟₇est le rayon en centaines de kilomètres (10⁷cm) et ℒ_νe,52la luminosité des neutrinos en unités de 10⁵²erg⋅s−1. Cette formule permettra donc de convertir les coefficients de chauffage utilisés dans le code en luminosité des neutrinos. Gravitation

L’auto-gravité du gaz sera négligée devant le potentiel gravitationnel newtonien de la PNS. Cela est relativement justifié dans la mesure où la masse de gaz dans la région post-choc reste faible (≃0.1 M_⊙) devant celle de la PNS (1.3 M_⊙).

Aucune correction de Relativité Générale n’est prise en compte. Les effets de la RG sont surtout importants pour suivre la formation d’un trou noir, mais notre modèle se place de toute façon dans le cadre d’un régime stationnaire au cours duquel on ne considère pas l’augmentation de la masse de la PNS ni sa compression. Cette contraction n’intervient que sur des échelles de temps plus longues que celles des instabilités étudiées.

Quant au transfert d’impulsion des neutrinos vers le fluide, celui-ci peut s’écrire sous la forme d’une correction de la masse effective intervenant dans le potentiel gravitationnel. Cependant cette correction est faible — quelques pourcents tout au plus (Janka,2001) — et typiquement négligeable par rapport à la dispersion des valeurs considérées pour la masse de la proto-étoile à neutrons.

Ainsi, nous aurons simplement :

ϕ = −^GM_𝑟^PNS. (3.12)

Équations d’évolution

Les équations qui décrivent l’évolution du gaz sont donc celles de l’hydrody-namique pour un fluide parfait soumis à un potentiel externe ϕ, et dont l’énergie interne évolue sous l’effet d’un terme source 𝒬 = 𝒬_𝑐+ 𝒬_ℎ, somme des actions du chauffage et du refroidissement : ∂ρ ∂𝑡 + 𝛁 · (ρ𝐯) = 0 , ^(3.13) ∂ρ𝐯 ∂𝑡 + 𝛁 · (ρ𝐯 ⊗ 𝐯) = −𝛁(P) − ρ𝛁(ϕ) , ^(3.14) ∂ρ𝑒 ∂𝑡 + 𝛁 · (ρ𝑒𝐯) = −𝛁 · (P𝐯) − ρ𝛁(ϕ) · 𝐯 + 𝒬 , ^(3.15)

où ρ, P, 𝐯 et 𝑒 représentent respectivement la densité, la pression, la vitesse et l’énergie interne du fluide. La première, appelée équation de continuité, décrit la conservation de la quantité de masse dans l’écoulement, la seconde l’évolution de la quantité de mouvement sous l’effet des forces volumiques dérivant du potentiel ϕ d’une part et de pression d’autre part; la dernière l’évolution de l’énergie sous l’effet de ces deux forces ainsi que du terme source 𝒬. Ce système de 5 équations comporte 6 inconnues, il faut donc y adjoindre une équation de plus pour le clore; celle-ci est donnée par l’équation d’état du gaz parfait qui permet d’écrire :

𝑒 = 1_{γ − 1}^P_{ρ .} (3.16)

Notons au passage que pour les calculs, les différentes quantités seront adimen-sionnées en fonction du rayon et de la masse de la PNS, ainsi que par la vitesse de chute libre définie à l’aide de ces deux grandeurs.

3.3. Profil stationnaire initial

Le profil stationnaire initial considère la chute axisymétrique et adiabatique d’un fluide parfait soumis au potentiel gravitationnel de la proto-étoile à neutrons. Ce fluide traverse un choc à un moment donné, après lequel il poursuit sa chute mais en étant désormais sous l’effet d’un terme de chauffage (qui domine initialement, jusqu’au rayon de gain) et de refroidissement (qui domine ultérieurement), jusqu’à atteindre le bord interne représentant la surface de la proto-étoile à neutrons, région à laquelle il arrive avec une vitesse quasiment nulle. Cette section présente les grandes lignes du calcul et quelques subtilités de l’implémentation.

3.3.1. Calcul des conditions en amont du choc

En amont du choc, l’écoulement étant adiabatique, les conditions se calculent directement comme étant les solutions d’accrétion de Bondi (Bondi,1952) mo-difiées par la rotation et la géométrie cylindrique. Puisque l’on souhaite obtenir un choc à un moment donné de l’écoulement, il faut nécessairement se placer sur une branche permettant d’atteindre un nombre de Mach plus grand que l’unité dans les régions internes. Cela laisse deux types de solutions possibles, soit l’accré-tion transsonique, soit les solul’accré-tions telles que l’écoulement reste constamment supersonique.

La plupart des modèles simplifiés dans la littérature supposent que le gaz est en chute libre au niveau du choc et intègrent au-delà à partir de cette considéra-tion. Cela revient à considérer une solution supersonique, qui n’est pas forcément prolongeable vers l’extérieur. Pour plus de cohérence hydrodynamique nous choi-sissons systématiquement la solution qui se raccorde à l’accrétion transsonique.

Il est à noter que dans le cadre du choix de paramètres effectué, les conditions en amont du choc dépendent de la position radiale du choc et des conditions immédiatement au-dessus de celui-ci; il faut donc faire une première estimation de sa position puis itérer en fonction de l’écart réalisé avec cette hypothèse jusqu’à obtenir la convergence numérique (cela s’apparente à un problème de recherche de zéro d’une fonction 1D, ce qui peut donc se résoudre aisément avec une méthode de Brent).

3.3.2. Passage à travers le choc

Les relations de passage à travers le choc ou conditions de saut, appelées égale-ment relations de Rankine–Hugoniot, peuvent s’écrire (pour celles qui nous intéressent) dans le cas d’un choc stationnaire comme c’est le cas ici sous la forme suivante : ℳ₂ = √^{2 + (γ − 1)ℳ21} 2γℳ2 1+ 1 − γ^{, (3.17)} 𝑣_𝑟,1 𝑣_𝑟,2 ^{= ρ}ρ²₁ ^{= (γ + 1)ℳ} 2 1 2 + (γ − 1)ℳ2 1, (3.18) 𝑣_θ,1 = 𝑣_θ,2 (3.19)

Les grandeurs indicées₁sont celles pré-choc, celles indicées₂sont celles post-choc. Les grandeurs aval s’écrivent donc entièrement en fonction des grandeurs amont, déterminées juste avant. La force du choc, décrite par le nombre de Mach ℳ₁du fluide en amont de celui-ci, sera utilisée comme un paramètre libre mais dont la valeur sera constante et fixée à ℳ₁ = 5.

3.3.3. Accrétion du choc à la PNS

Pour une luminosité des neutrinos donnée et une fois l’efficacité du refroidisse-ment et le nombre de Mach au choc fixés, il ne reste plus qu’un seul paramètre

Dans le document Explosion asymétrique des supernovæ gravitationnelles (Page 112-132)