Caractérisation du capteur réalisé
4.4 Limitations de la précision sur la détection de phase
Cette section porte sur un certain nombre de facteurs limitant la précision de mesure de déphasage ∆ϕ dans le système étudié. En particulier, nous nous intéressons à l'eet de l'échantillonnage de la caméra ainsi qu'aux erreurs induites lors de la détection de phase par l'algorithme FFT. De plus, nous étudions l'in uence d'une inégalité de la largeur du canal entre les zones de sondage et de référence. En n, nous examinons l'instabilité fréquentielle de la source laser de sonde et démontrons son impact sur la mesure de phase au sein d'un interféromètre.
4.4.1 Limitations par la caméra
Dans cette partie, nous abordons l'in uence de la caméra sur la limite de détection du système. Nous commençons notre considération avec la question, Quel est le décalage le plus petit d'une image qui est encore détectable par la caméra ? En eet, au sens strict du terme, la caméra ne détecte pas un décalage, mais un changement de l'intensité lumineuse incidente sur ses capteurs. La détection du décalage de l'image doit alors se faire par un algorithme approprié, mettant en correspondance l'image décalée avec l'image de référence en s'appuyant sur des caractéristiques communes de ces deux dernières.
La précision avec laquelle un décalage peut être résolu dépend des propriétés de la caméra, des propriétés de l'image et de celles de l'algorithme. En eet, en traitement d'image, le problème de détection d'un décalage fait partie du domaine du recalage, qui a pour but la mise en correspondance d'images a n de combiner où comparer leurs informations respectives. Ses applications se trouvent par exemple dans la médecine, le traitement de vidéo ou l'imagerie satellite [132].
réso-4.4. Limitations de la précision sur la détection de phase A Aq q dy dx (a) (b) A max
Figure 4.16 Résolution spatiale (a) et résolution de la puissance lumineuse (b) de la caméra
lution spatiale est donnée par le pas d'un pixel dx,y; la résolution sur la puissance lumineuse
est donnée par le pas de discrétisation numérique q de la caméra. La précision spatiale est
donc égale à δx = δy = dx,y/2 et la précision en amplitude égale δA = q/2. Une caméra de
n bit dispose alors de Nq = 2n valeurs discrètes pour représenter un signal dans l'intervalle
[0, Amax].
A n de pouvoir détecter un décalage entre deux images, ces dernières doivent avoir une certaine ressemblance en vertu de laquelle elles peuvent être comparées. Un critère pour évaluer cette ressemblance est la corrélation [133]. Les algorithmes fondés sur ce critère calculent la fonction de corrélation croisée entre deux images pour ensuite chercher le maximum de cette fonction, qui correspond au décalage recherché [133]. La fonction de corrélation croisée entre deux signaux deux-dimensionnels discrets est donnée sur la page 151. Quand la fréquence d'échantillonnage est su samment élevée, des valeurs inter-pixel peuvent être interpolées. Dans ce cas, il est possible de détecter des décalages inférieurs à la résolution spatiale de la caméra avec laquelle les images ont été enregistrées. La gure 4.17 montre deux exemples qui illustrent l'in uence du type d'image sur la précision avec laquelle un décalage de ces dernières peut être déterminé. A n de faciliter l'analyse, nous nous contentons au cas des
x x
A A
Figure 4.17 Images unidimensionnelles : échantillonnage d'un point de source (a) et d'une fonction sinusoïdale (b)
images unidimensionnelles. L'image de gauche montre le cas d'une image noire avec un point source éclairant un seul pixel. La fonction de corrélation croisée entre cette image et une copie décalée est, elle aussi, une impulsion unité qui ne permet pas une résolution sur le décalage plus importante que 2δx.
Pour le cas d'une image d'un interférogramme, d'un autre côté, une ligne horizontale de l'image peut être représentée par une fonction sinusoïdale, comme nous le voyons sur la gure 4.17 (b). Pour ce cas, nous allons démontrer que la résolution sur le décalage entre deux fonctions sinusoïdales est en eet limitée par la résolution en amplitude q de la caméra. En
partant d'une expression simpli ée pour les franges d'interférence, nous écrivons :
A = A0
2 h
sin(kxx + ϕx) + 1i, (4.14)
où A0est l'amplitude, kxest le nombre d'onde et ϕxla phase. Cette dernière peut être exprimée
en fonction de l'amplitude comme suit :
ϕx= sin−1 2 A A0 − 1 − kxx. (4.15)
Le changement de phase ∆ϕxen fonction d'un changement d'amplitude ∆A se calcule selon :
∆ϕx= ∂ϕx
∂A∆A. (4.16)
La dérivée ∂ϕx/∂A devient maximale pour une amplitude égale à A = A0/2. Dans ce cas,
nous trouvons un déphasage minimal détectable
∆ϕx= 2
A0
∆A. (4.17)
Nous pouvons ramener cette équation au pas de discrétisation numérique q en considérant que
le changement en amplitude minimal détectable par la caméra est égal à ∆Amin= q/2. Avec
q = A0/(2n), nous trouvons alors :
∆ϕx,min= 2−n, (4.18) ou n est le nombre de bit disponible par pixel. La caméra Goodrich, utilisée au cours de ce travail, enregistre des images avec une profondeur numérique n = 12 bit ; le déphasage minimal
d'une fonction sinusoïdale détectable est alors égal ∆ϕmin= 3,9× 10−5× 2π.
En travaillant avec la jonction-Y d'un écart dY = 100µm, nous obtenons environ Nf = 20
franges sur la largeur totale L = 8 mm de la dalle de la caméra. Le décalage spatial minimal
détectable est alors ∆xmin= ∆ϕmin/(2π)· L/Nf= 15,6nm, ce qui est environ trois ordres de
grandeurs plus faible que le pas de pixel de la caméra dx= 25µm.
4.4.2 In uence d'une inégalité de la largeur du canal
Le canal étant fabriqué avec une scie diamantée, ses bords ont une rugosité qui est de l'ordre de 10 µm. Par conséquent, les faisceaux de sonde et de référence traversent des sections du canal qui ont des largeurs potentiellement diérentes.
Le calcul suivant montre l'in uence d'une diérence en largeur sur la mesure du déphasage
∆ϕ. Si ls et lr sont respectivement les distances parcourues par le faisceau de sonde et le
faisceau de référence, ∆l = ls− lr est la diérence entre ces deux et ∆nf le changement
4.4. Limitations de la précision sur la détection de phase
∆ϕon entre les deux bras pour le cas où le laser d'excitation est allumé :
∆ϕon= ϕs− ϕr (4.19)
= k0(nfls+ ∆nf2we− nflr) (4.20)
= k0(nf∆l + ∆nf2we). (4.21)
Quand le laser est éteint, le déphasage vaut : ∆ϕoff = k0nf∆l. Puisque nous mesurons la
diérence ∆ϕ = ∆ϕon− ∆ϕoff, une diérence entre les chemins de propagation ∆l n'est pas
prise en compte dans la mesure. Par conséquent, le fonctionnement du capteur est indépendant
d'une variation de la largeur du canal lµc.
Dans la section suivante, nous présentons l'erreur de phase introduite lors de l'étape de la détection de phase.
4.4.3 Erreur de phase introduite par l'algorithme FFT
Dans cette partie, nous traitons l'erreur de phase δϕ introduite lors de l'étape de l'extrac-tion de phase des franges échantillonnées à l'aide de l'algorithme FFT.
Les deux sources d'erreur principales dans ce contexte sont reliées au fenêtrage et l'échan-tillonnage des franges [130].
En eet, la transformée de Fourier développe une fonction sur une base de fonctions péri-odiques, étendues sur tout l'axe réel. En réalité, l'observation d'une fonction périodique de
fréquence ν0 ne peut se faire que sur un temps ou un espace limité de longueur ou largeur L,
qui est ensuite périodisé arti ciellement pour pouvoir eectuer une transformée de Fourier. Cette troncature introduit des artefacts dans la représentation fréquentielle, se manifestant dans des erreurs sur la détermination de la fréquence et, par conséquent, de la phase ϕ.
Dans le traitement de signal, le fenêtrage sous-entend la multiplication d'un signal I(x) avec une fonction limitée dans le temps ou dans l'espace W(x), modélisant ainsi l'observation limitée de la fonction I(x).
L'erreur causée par l'échantillonnage devient importante quand la fréquence ν0 du signal
I(x) n'est pas un multiple de la résolution fréquentielle ∆ν du spectre échantillonné : ν0 6=
m∆ν, où m est un entier. Dans ce cas, l'erreur de fréquence δν s'écrit : δν = arg min
m∈N|ν0− m∆ν| . (4.22)
Nakadate a publié en 1988 une analyse du comportement de l'erreur de phase δϕ pour une erreur de fréquence δν/∆ν = 0,1 [130]. Or, lors de l'échantillonnage, l'erreur de fréquence est inconnue à priori et peux atteindre des valeurs jusqu'à δν/∆ν = 0,5 [134]. Nous avons donc repris ses calculs en considérant le pire des scénarios avec une erreur de fréquence égale δν/∆ν = 0,5.
écrivons :
I(x) =W(x) [1 + β cos(2πν0x− ϕ)] , (4.23)
où W(x) est la fonction fenêtre, β est le contraste des franges, ν0 est la fréquence de
l'inter-férogramme et ϕ sa phase. La transformée de Fourier ˜I(ν) de l'interl'inter-férogramme I(x) s'écrit : ˜
I(ν) = ˜W (ν) +β
2 ˜W (ν + ν0)e−jϕ+ ˜W (ν− ν0)ejϕ, (4.24)
où ˜W (ν)est la transformée de Fourier de la fonction de fenêtrage.
En eet, une fonction fenêtre minimisant l'erreur de phase est donnée par la fonction de Hanning, s'exprimant sous la forme :
W(x) = cos2πx
L
, (4.25)
où L est la largeur totale de la fenêtre. La transformée de Fourier de la fonction de Hanning s'écrit : ˜ W (ν) =L 2 sinc(Lν) +1 2sinc(Lν− 1) + 12sinc(Lν + 1) (4.26) où sinc(x) = sin(πx)/(πx).
L'erreur de phase δϕ induite par une erreur de fréquence δν peut être calculée en évaluant
le spectre des franges ˜I(ν) à la fréquence d'observation ν = ν0+ δν :
δϕ =
argh ˜I(ν0+ δν)i
− ϕ
. (4.27)
Pour le cas de la fenêtre de Hanning, nous avons calculé l'erreur de phase relative δϕ/(2π) en fonction de la fréquence d'observation normalisée νL. Puisque l'erreur de phase δϕ varie aussi en fonction de la phase ϕ de l'interférogramme, nous avons, à chaque point νL, évalué δϕ sur une plage ϕ ∈ [0, π]. Sur cette plage, la valeur maximale de δϕ a été retenue et tracée sur la gure 4.18. Nous remarquons que les courbes d'erreur tracées en fonction de νL sont continues. Or, a n d'étudier un signal expérimental avec des moyens informatiques, il est nécessaire de l'échantillonner. D'un point de vue analytique, l'échantillonnage d'un signal observé sur une
plage −L
2 ≤ x ≤ L
2 entraîne une périodisation arti cielle de son spectre avec une période
égale à L. Ensuite, la transformée de Fourier discrète, implémentée dans la FFT, représente
le spectre avec des fréquences discrètes, multiples de la résolution spectrale 1
L.
Si nous échantillonnons le signal interférométrique I(x) avec N pixel, écartés spatialement de ∆x sur une largeur totale de L, de sorte que L = N∆x, les fréquences normalisées du
spectre sortant de la FFT sont entières νL = νN∆x = 0,1,2, . . . ,N
2. Par conséquent, dans la
gure 4.18, nous nous intéressons surtout aux erreurs de phase pour des fréquences entières,
4.4. Limitations de la précision sur la détection de phase 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 0 5 10 15 20 25 Erreur de phase
Fréquence d'observation normalisée = 0,2 = 0,6 = 1
Figure 4.18 Erreur de phase maximale δϕ en fonction de la fréquence normalisée νL pour une erreur de fréquence δν/∆ν = 0,5 et des contrastes de franges β diérents
environ 20 franges sur la largeur L de la caméra. À la fréquence normalisée νL = 20, l'erreur
de phase est de l'ordre de δϕ = 10−6× 2π ce équivaut une résolution de λ · 10−6 ≈ 0,1 pm à
λ = 980nm.
4.4.4 Erreur due à l'instabilité fréquentielle de la source laser
Comme nous avons évoqué dans la section 2.3.2, la stabilité d'un interféromètre de Young ne dépend pas des uctuations en intensité de la source laser. Cependant, la mesure du déphasage
∆ϕest sensible au bruit fréquentiel de la source laser. En absence d'un bruit basse fréquence,
le bruit fréquentiel peut être correctement représenté par la largeur spectrale de l'émission laser [135].
En eet, la source laser utilisée au cours de cette étude et stabilisée par un réseau de Bragg et montre ainsi peu de bruit à basse fréquence [136]. En mesurant le spectre d'émission de la source, il nous est alors possible d'estimer l'impact de sa stabilité fréquentielle sur la précision de la mesure du déphasage ∆ϕ
La gure 4.19 montre le spectre de la source sur une plage de 2 nm, avec un pic d'émission centré autour de λ = 976 nm. La largeur du spectre, mesurée à −3 dB du maximum, est d'environ 2δλ = 0,2 nm, ce qui est égal à la résolution de l'appareil de mesure. Par conséquent, la vraie largeur du spectre est potentiellement inférieure au résultat de mesure. Cependant, la valeur est proche de celles trouvées dans la littérature pour ce type de diode, publiées entre
δλ = 0,05 . . . 0,2nm [136]. Autour d'une longueur d'onde λ = 976 nm, une telle largeur est
équivalente à des largeurs spectrales en fréquence de δν = 16 . . . 62 GHz.
En prenant la demi-largeur du spectre δλ en tant que l'incertitude sur la longueur d'onde
d'émission λ0de la source, nous pouvons déterminer son impact sur la précision d'une mesure
0 1 2 3 4 5 6 975 975,5 976 976,5 977 Puissance /dBm Longueur d’onde /nm Mesure
Figure 4.19 Mesure du spectre du laser de sondeFiber Bragg Grating Stabilized Diode, 27-7602-300, JDS Uniphase à λ = 976 nm avec une demi-largeur du spectre δλ ≤ 0,1 nm avec un analyseur de spectre optique (Anritsu MS9710B) ; résolution de la mesure RBW = 0,2 nm, VBW = 10 Hz
faisceau de référence comme suit :
∆ϕ = ϕs− ϕr = 2π λ0 lµc(ns− nr) = 2π λ0 lµc∆n, (4.28)
où nset nrsont les indices de réfraction moyennés sur la largeur du canal, respectivement vus
par le faisceau de sonde et le faisceau de référence. Une incertitude spectrale δλ se traduit alors sur la mesure d'un déphasage ∆ϕ selon :
δ(∆ϕ) = ∂ϕ ∂λ0 δλ =−2πλ2 0 ∆nlµcδλ. (4.29)
Pour faciliter la lisibilité, nous modi ons la notation sur l'erreur de déphasage selon δ(∆ϕ) =
δϕ∆.
L'erreur δϕ∆sur le déphasage est alors proportionnelle au changement d'indice induit dans
le canal ∆n et, par conséquent, peu présente quand ∆ϕ est petit. À la limite de détection
pour ∆n = 10−6, nous trouvons nous trouvons une erreur δϕ∆= 2,5× 10−8× 2π.
4.4.5 Conclusion
A n de comparer les contributions des diérentes sources d'erreur dans les expériences présentées ci-dessus, nous les avons résumées dans le tableau 4.1. L'in uence de la résolution de la caméra et de l'erreur introduite par la FFT sont du même ordre de grandeur. L'erreur