Lignes de courbure

3.2.1 Définitions

Plusieurs définitions des lignes de courbure d’une surface se déduisent de leur relation avec les directions principales :

Fig. 3-2: Réseau isoparamétrique d’une pSurface

Définition 1

Les lignes de courbure sont des courbes tracées sur la surface qui sont tangentes en chaque point à l'une des directions principales.

Il en résulte qu’en tout point d’une surface, à l’exception des points ombilics et des méplats (annexe B), passent deux lignes de courbure orthogonales. L’ensemble de ces lignes forme par conséquent un réseau orthogonal.

Définition 2

Les lignes de courbure sont à torsion géodésique nulle.

Définition 3

Les lignes de courbure sont telles que la « normalie » associée soit développable, c'est-à-dire que la surface réglée engendrée par les normales à la surface le long d’une de ses lignes de courbure soit développable.

3.2.2 Avantages

Dans le domaine de l’architecture textile, la connaissance des lignes de courbure est d’une importance capitale pour la conception d’une toile.

Intérêt technologique

Dans une membrane architecturale, les contraintes principales sous prétension sont généralement orientées selon les directions principales de courbure. En respectant ce calepinage pour la découpe des laizes, le comportement de la structure est optimisé et mieux contrôlé car le matériau en toile est ainsi correctement orienté, en respectant sa technologie de fabrication (directions chaîne / trame) (Fig. 3-4 et Fig. 3-5).

Intérêts mécaniques

D’autre part, la tension dans la toile est directement liée aux rayons de courbure. Le « Guide de la conception des membranes architecturales » [VER 97] proscrit des valeurs excessives de rayon de courbure aux delà desquels la précontrainte ne peut plus être assurée et où les effets de battement au vent peuvent nuire à la pérennité de l’ouvrage. En maîtrisant ces informations géométriques, nous avons donc un contrôle plus précis de la géométrie d’une toile et une meilleure anticipation de son comportement.

Dans d’autres domaines du bâtiment, les lignes de courbures sont peu utilisées à notre connaissance mais portent toutefois des intérêts qui mériteraient d’être exploités à différents niveaux.

Intérêt technologique

La définition 3 des lignes courbure révèle l’intérêt en fabrication pour un tel réseau sur une surface gauche. La propriété des normales à générer une surface développable permet en effet d’envisager le

3. Recherche de réseaux structuraux sur une pSurface 101

parcourt du réseau par des âmes de profilés, ou des éléments de fixation, dont la fabrication serait simplifiée.

Par ailleurs, l’orthogonalité du réseau présente un avantage indiscutable pour la conception des nœuds de connexion, en les ramenant à un élément standard et unique pour l’ensemble de l’objet (Fig. 3-6).

A partir de ces atouts, les réseaux de courbure peuvent ainsi définir la localisation d’éléments structuraux sur une enveloppe complexe (Fig. 3-8). Une étude mécanique doit cependant justifier un tel choix d’orientation en fonction des autres contraintes du projet.

3.2.3 Application

Les propriétés des lignes de courbure sont traduites par l’équation différentielle 0

= ∧ Nd M

d ( 3.2 )

où N est le vecteur normal à la surface en M.

La propriété associée à la première définition permet l’écriture d’un algorithme incrémental pour le tracé de ces lignes particulières sur une pSurface. L’appel itéré de la macro de calcul des directions principales permet d’obtenir un tableau de n points de la pSurface constituant une solution approchée d’une ligne de courbure (Fig. 3-7), où les

(

)

Au-delà du paraboloïde hyperbolique, surface gauche élémentaire, nous montrons l’allure du réseau de lignes de courbure sur une pSurface de forme plus complexe (Fig. 3-8).

Fig. 3-6: Le réseau des lignes de courbure est orthogonal et génère des normalies développables

3.2.4 Commentaires

La figure (Fig. 3-9) permet de visualiser un autre exemple de réseau. Les singularités observées correspondent à des points ombilics (définis en annexe B), au voisinage desquels les lignes « tournent ». On trouve ainsi trois classes de points ombilics, nommées Lemon, Monstar et Stars (Fig. 3-10). Elles sont distinguées selon leur « index » et leur nombre de directions principales « limitantes ». L’index décrit de quelle façon la ligne de courbure tourne autour du point ombilic. Une direction principale limitante est une direction du plan tangent à la surface au point ombilic, qui est tangente à une ligne de courbure aboutissant à l’ombilic.

La classe Lemon est ainsi caractérisée par une seule direction principale limitante, les deux autres classes ayant trois directions principales limitantes. Toutefois, pour un Monstar, les trois directions sont contenues dans un angle droit et toutes les lignes de courbure dans cet angle aboutissent au point ombilic formant le secteur parabolique du Monstar. Soulignons que toutes ces lignes ont la même tangente à l’ombilic (la direction principale limitante). Pour la classe Star, seulement trois lignes de courbure aboutissent à l’ombilic et les directions limitantes ne sont pas contenues dans un angle droit. L’étude approfondie de leur comportement est traitée dans le domaine des mathématiques appliquées à l’infographie [GUT 91] [MAE 96a] [POU 05].

Les lignes de courbure obtenues sont néanmoins des solutions approchées. Nous déterminons en effet chaque point « suivant » à partir des données obtenues dans plan tangent au point précédent. La valeur du pas d’incrémentation est donc importante pour la précision du résultat car ce schéma génère des erreurs accumulées à chaque pas. D’autre part, les troncatures effectuées lors de la résolution

Fig. 3-8: Réseau de courbure sur une pSurface

Fig. 3-9: Réseau de ligne de courbure sur une pS35

Fig. 3-10: Points ombilics Lemon, Monstar et Star [POU 05]

Singularités au voisinage d’un point ombilic

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numérique altèrent aussi la précision. Néanmoins, à l’échelle de la réalisation architecturale, l’exploitation de ces courbes est d’un grand intérêt.