Lien entre le crit` ere de Newman-Girvan, l’ ´ Ecart ` a l’Ind´ etermination

a s´eparer les paires de sommets contenant un sommet de degr´e inf´erieur au degr´e moyen et un autre sommet de degr´e sup´erieur au degr´e moyen. Par cons´equent, les partitions ob-tenues via l’optimisation du crit`ere de l’ ´Ecart `a l’Ind´etermination seront plus homog`enes quant `a la distribution des degr´es intra-classe que celles obtenues via l’optimisation du crit`ere de Newman-Girvan, qui pr´esenteront plus d’h´et´erog´en´eit´e dans la distribution des degr´es intra-classe.

6.2.3 Lien entre le crit`ere de Newman-Girvan, l’´Ecart `a l’Ind´etermination et la Modularit´e ´Equilibr´ee.

Nous avons vu que φ^BM_ii0 6=φ^{N G}_ii0 et φ^BM_ii0 6=φ^DI_ii0 (voir tableau 6.2), donc pour pouvoir comparer le comportement de ce crit`ere `a celui du crit`ere de Newman-Girvan et `a celui du crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination, il est n´ecessaire de prendre en compte l’expression globale du crit`ere (au lieu d’analyser s´epar´ement les fonctionsφ<sup>BM</sup><sub>ii</sub>0 et ¯φ<sup>BM</sup><sub>ii</sub>0 ). `A cet effet, nous exprimerons la Modularit´e ´Equilibr´ee en fonction des deux autres crit`eres mentionn´es.

Commen¸cons par le crit`ere de Newman-Girvan. D’abord remarquons que les termes φ¯^{N G}_ii0 = ^ai._2M^a.i0 et ¯p_ii⁰ = ^(N−a_N^i.2^)(N−2M^−a.i0) v´erifient le lemme suivant :

Lemme 6.1. Si a_i.=d_av ou a_.i⁰ =d_av alorsp_ii⁰+ ¯p_ii⁰ = 1.

6.2. Comparaison des crit`eres lin´eaires 103

Le lemme 6.1 implique que les quantit´es ¯φ^{N G}_ii0 et ¯p_ii⁰ sont compl´ementaires lorsque soit le degr´e du sommetisoit le degr´e du sommetd⁰_iest proche du degr´e moyen. Cela implique aussi quea_i.=d_av eta_.i⁰ =d_av sont solutions du polynˆome :

φ¯^{N G}_ii0 + ¯p_ii⁰−1 = 0.

Si nous d´eveloppons ce polynˆome nous obtenons : φ¯^{N G}_ii0 + ¯p_ii⁰−1 = a_i.a_.i⁰

En divisant le num´erateur et le d´enominateur parN² nous obtenons l’´egalit´e suivante en fonction du degr´e moyen et de la densit´e d’arˆetes :

φ¯^{N G}_ii0 + ¯p_ii⁰ = (a_i.−d_av)(a_.i⁰−d_av)

2M(1−δ) + 1. (6.7)

A partir de l’expression (6.7) nous avons : ¯` p_ii⁰ = ^(ai.−d_2M(1−δ)^{av)(a.i0−dav)} + 1−φ¯^{N G}_ii0 . Si nous rempla¸cons ce r´esultat dans l’expression de la Modularit´e ´Equilibr´ee (voir tableau 6.2) nous obtenons :

Par cons´equent, maximiser la Modularit´e ´Equilibr´ee revient `a maximiser l’expression suivante en fonction du crit`ere de Newman-Girvan :

F_BM = 2F_{N G}+

Cette derni`ere expression montre que maximiser la Modularit´e ´Equilibr´ee revient `a maximiser deux fois le crit`ere de Newman-Girvan plus un termer´egulateur qui d´epend de

la distribution des degr´es, du degr´e moyen et de la densit´e d’arˆetes. Le d´enominateur de ce terme ´etant toujours positif, son signe est d´etermin´e par le num´erateur. Pour chaque paire de sommetsieti⁰ deux cas possibles peuvent se pr´esenter :

1. _(a

i.−dav)(a_.i0−dav) 2M(1−δ)

>0 (zones I et III du sch´ema 6.3). Cela peut s’interpr´eter ainsi : si le terme r´egulateur est positif, la Modularit´e ´Equilibr´ee modifiera le crit`ere de Newman-Girvan de sorte `a favoriser le fait de classer dans la mˆeme communaut´e les paires de sommets dont les degr´es sont soit sup´erieurs au degr´e moyen, soit inf´erieurs au degr´e moyen simultan´ement.

2. _(a

i.−dav)(a_.i0−dav) 2M(1−δ)

<0 (zones II et IV du sch´ema 6.3). Donc, si le terme r´egulateur est n´egatif la Modularit´e ´Equilibr´ee modifie le crit`ere de Newman-Girvan de sorte qu’il favorise la s´eparation des paires de sommets compos´ees d’un sommet avec degr´e inf´erieur au degr´e moyen et un autre sommet avec degr´e sup´erieur au degr´e moyen.

A partir de ces r´` esultats nous pouvons d´eduire que la Modularit´e ´Equilibr´ee modifie le crit`ere de Newman-Girvan de fa¸con `a homog´en´eiser la distribution des degr´es intra-classe.

Autrement dit, si nous distinguons deux cat´egories de sommets : ceux dont le degr´e est sup´erieur au degr´e moyen et ceux dont le degr´e est inf´erieur au degr´e moyen ; le crit`ere de la Modularit´e ´Equilibr´ee favorise le fait de classer ensemble les sommets se trouvant dans la mˆeme cat´egorie. Cependant, ces r´esultats d´ependent de la contrainte de transitivit´e sur la partition cherch´eeX comme nous le verrons au chapitre 7.

Comparons maintenant l’ ´Ecart `a l’Ind´etermination et la Modularit´e ´Equilibr´ee. Les termes ¯φ^DI_ii0 = ^a_N^i. +^a_N^.i0 −^2M_N2 et ¯p_ii⁰ = ^(N−a_N^i.2^)(N−a−2M ^.i0) v´erifient le lemme suivant :

Lemme 6.2. Si ai.=dav ou a.i⁰ =dav alorsφ¯^DI_ii0 + ¯pii⁰ = 1.

D´emonstration. Siai.=dav nous avons :

φ¯^DI_ii0 + ¯p_ii⁰ = ^a_N^i. + ^a_N^.i0 − ^2M_N2 + ^(N−a_N^i.2^)(N−a−2M ^.i0) = ^2M_N2 + ^a_N^.i0 − ^2M_N2 + ^(N−

2M

N )(N−a_.i0)

N²−2M =

a_.i0

N +^(N−a_N^.i0) = 1

La d´emonstration est analogue sia_.i⁰ =dav.

Le lemme 6.2 implique que les quantit´es ¯φ^DI_ii0 et ¯p_ii⁰ sont compl´ementaires lorsque d_i ou di⁰ sont proches du degr´e moyen. Cela implique aussi que ai. =dav et a.i⁰ =dav sont solutions du polynˆome :

φ¯^DI_ii0 + ¯p_ii⁰−1 = 0.

Si nous d´eveloppons ce polynˆome nous obtenons : φ¯^DI_ii0 + ¯p_ii⁰−1 = ^a_N^i. + ^a_N^.i0 −^2M_N2 + ^(N−a_N^i.2^)(N−2M^−a.i0)

= ^{N(N2−2M)ai.+N(N2−2M)a.i0−2M(N}_N^2−2M2(N^2)+N−2M)^{2(N2−ai.N−a.i0N+ai.a.i0)−N2(N2−2M)}

6.2. Comparaison des crit`eres lin´eaires 105

= ^{N3ai.−N2M ai.+N3a.i0−N2M a.i0−2M N}_N²2^+4M(N²−2M^2+N)^{4−ai.N3−a.i0N3+ai.a.i0N2−N4+N22M}

= ^{ai.a.i0N2−N}_2M(N^{2M ai.}2−2M)^{−N2M a.i0+4M2} = ^(ai.N−2M_N2(N^)(a2−2M^.i0N)^−2M).

En divisant le num´erateur et d´enominateur parN²nous obtenons l’expression suivante qui d´epend du degr´e moyen et de la densit´e d’arˆetes : Si nous rempla¸cons ces r´esultats dans l’expression de la Modularit´e ´Equilibr´ee (voir tableau 6.2), nous obtenons :

FBM(X) =

Par cons´equent, maximiser la Modularit´e ´Equilibr´ee revient `a maximiser l’expression suivante en fonction du crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination :

F_BM = 2F_DI +

La derni`ere expression montre que maximiser la Modularit´e ´Equilibr´ee revient `a maxi-miser deux fois le crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination plus un termer´egulateur qui d´epend de la distribution des degr´es, du degr´e moyen et de la densit´e d’arˆetes. Le d´enominateur de ce terme est toujours positif, cependant ce terme est pr´e-multipli´e par la quantit´e 2−¹_δ qui s’annule si et seulement si la densit´e d’arˆetesα= 0,5, comme nous avons vu lors de la d´efinition de densit´e, (voir chapitre 1, section 1.5) pour des graphes r´eelsδ <<0.5 comme le montre le tableau 1.1. Cela implique que pour des r´eseaux r´eels nous aurons dans la plupart de cas 2− ¹_δ

<0. D´esormais nous supposant que le terme 2−¹_δ

est n´egatif.

Donc, pour chaque paire de sommetieti⁰ nous avons les deux cas suivants :

1. Le terme r´egulateur est n´egatif lorsque deux sommets ont des degr´es simultan´ement sup´erieurs au degr´e moyen ou simultan´ement inf´erieurs au degr´e moyen (zones I et III du sch´ema 6.3) :

2−¹_δ(a

i.−dav)(a_.i0−dav) N²(1−δ)

<0. Par cons´equent, la Modularit´e ´Equilibr´ee modifiera le crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination de fa¸con `a d´efavoriser le fait de classer ces sommets dans la mˆeme communaut´e.

2. Le terme r´egulateur est positif pour toute paire de sommets compos´ee d’un sommet avec degr´e inf´erieur au degr´e moyen et d’un autre sommet avec degr´e sup´erieur au degr´e moyen (zones II et IV du sch´ema 6.3) :

2−¹_δ(a

i.−d_av)(a_.i0−d_av) N²(1−δ)

>0. Donc, la Modularit´e ´Equilibr´ee, modifiera le crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination de fa¸con `a favoriser le fait de les mettre dans la mˆeme classe).

A partir de ces r´` esultats nous d´eduisons que la Modularit´e ´Equilibr´ee modifie le crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination de fa¸con `a h´et´erog´en´eiser la distribution des degr´es intra-classe. Cependant, ces r´esultats d´ependent de la contrainte de transitivit´e sur la partition cherch´eeX.

Nous avons vu que les partitions obtenues via l’optimisation du crit`ere de Newman-Girvan pr´esentent plus d’h´et´erog´en´eit´e dans la distribution des degr´es intra-classe que celles obtenues via l’optimisation du crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination. Nous avons vu aussi que la Modularit´e ´Equilibr´ee modifiait le crit`ere de Newman-Girvan avec un terme r´egulateur qui permettait d’homog´en´eiser la distribution des degr´es intra-classe. Nous ve-nons de voir que la Modularit´e ´Equilibr´ee modifie le crit`ere d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination avec un terme r´egulateur qui permet d’h´et´erog´en´eiser la distribution des degr´es intra-classe. Nous pouvons d´eduire de ces r´esultats que la Modularit´e ´Equilibr´ee se comporte comme un crit`ere r´egulateur entre les crit`eres de Girvan-Newman et celui d’ ´Ecart `a l’Ind´etermination.

6.2.4 Lien entre les quatre crit`eres d´ependant de la distribution des