Les transformations Log-ratios Log-ratio additif (alr)

La représentation alr de données sur la composition est calculée comme suit (Aitchison, 1986):

𝒂𝒍𝒓 = 𝐥𝐧 (^𝒙𝒊

𝒙_𝑫) (2)

Où 𝒙_𝒊 est une i^ème composante au numérateur, i = [1. . .D], 𝒙_𝑫 dénominateur commun à tous les composants, qui donne D-1 valeurs alr, car le composant de dénominateur sacrifié. Les ratios sont plus dociles que les ratios ordinaires (Aitchison, 2003), parce que l'inverse de log-ratio est un changement de signe trivial. Les alrs sont adaptés pour effectuer une analyse multivariée, mais ne sont pas orthogonaux entre eux, ce qui les rend difficiles à interpréter. Le log-ratio additif est une formulation log-ratio des règles stoechiométriques. Il convient de noter que, en raison de leur géométrie oblique, les statistiques fondées sur la distance à travers log-ratios additif doivent être manipulés avec précaution (Van-Den Boogaard, 2008 ; 2013).

Le log-ratio centré (clr)

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supplémentaire pour une matrice du rang de D - 1 (clr variables aléatoires ajouter jusqu'à 0).

Une valeur de clr doit être sacrifiée (par exemple, celui de la valeur de remplissage) dans de nombreuses analyses multivariées, d'où le retour des adéquats degrés de liberté D-1. (Filzmoser et Hron, 2013), La transformation de clr génère D variables non orthogonaux qui conduisent à des matrices singulières en analyse multivariée. En outre, il n'y a pas de théorie ad hoc derrière clr ou alr (Pawlowsky et al., 2001 ; Egozcue et al., 2006 ; Parent et al., 2012). La transformation clr a été appliquée comme un outil efficace dans différents domaines pour l’analyse statistique des tissus végétaux (Parent et al., 1992 ; 2009 ; Khiari et al., 2001), des sols (McBrateny et al., 1992 ; Parent et al., 1997) et des solutions nutritives (Lopez et al., 2002).

L’isométrique log-ratio (ilr)

La technique de l'ilr (Egozcue et al., 2003), permet la projection du S^D simplex des données compositionnelles ont espace euclidien de D-1 en contrastes orthogonaux qui ne se chevauchent pas, également appelés des balances orthonormales ou géométriques

"coordonnées" (ne le confondre pas avec les coordonnées spatiales).

Dans une première étape, les parties de la composition sont divisées en deux groupes : les parties du premier groupe sont codées par +1 et les parties du deuxième groupe sont codées par une -1. De cette manière, la première coordonnée décrivant la balance entre les parties obtenues +1 et - 1. Dans la deuxième étape, les parties de groupe précédent sont divisées en de nouveaux groupes, eu même codé par +1 et -1. Tandis que les composants qui ne sont pas impliqués sont codés avec un zéro (0). L'ensemble de la procédure est résumé dans le tableau 19 comme indiqué dans (Egozcue et al., 2005 ; Buccianti., 2013). D'un point de vue général, la transformation ilr (Eq (4)) c’est une balance entre deux groupes est obtenue de sorte que les parties r (+1) sont balancées avec les parties s (-1):

𝑖𝑙𝑟_𝑖 = √_𝑟+𝑠^{𝑟 𝑠} ln^{𝑔(𝑥𝑖+)}

𝑔(𝑥𝑖−) (4)

Où ilri est la balance entre les deux sous-compositions, i [1, D-1], r et s sont le nombre de composants dans des sous-ensembles au numérateur et au dénominateur, respectivement, et g(xi+) et g (xi-) sont les moyennes géométriques des composants de sous-ensembles (Buccianti et al., 2011). L'identification des balances est facilement interprétable peut également être utile pour révéler des lois naturelles régissant proportions dans plusieurs domaines de la terre, car la transformation ilr est utiliser dans déférents domaines, la géochimie (Buccianti et al., 2008 ; Filzmoser et al., 2012 ; Galloa et al., 2013 ; Liu et al., 2016), les sols (Reimann et al., 2012 ;

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Parent et al., 2014 ; Abdi et al., 2015), les tissus végétaux (Hernandes et al., 2012 ; Parent et al., 2013 ; Blagojević et al., 2013).

Les équilibres ioniques sont solidement accessibles à des myriades des techniques d'analyse statistique : donc les variables des balances ne sont pas redondantes, sont avec une échelle invariable, sont projetées dans un espace réel et respectent les D-1 degrés de liberté d'un vecteur compositionnel. Le SBP (Sequential Binary Partition) permet à l'analyste de définir des axes orthogonaux afin de se focaliser sur des équilibres interprétables. Afin de comparer les ions des eaux souterraines, une sous-composante du vecteur compositionnel a été définie comme S⁹ = C(Ca²⁺, Mg²⁺, Sr²⁺, Na⁺, K⁺, SO42-, HCO3-, Cl^- et R8). La SBP du tableau 20 formalise les dendrogrammes d'équilibre tels que celui présenté dans la figure 42.

Il existe en effet huit équilibres orthogonaux dans un simplexe de S⁹ (Fig. 42). Notre initiateur de SBP était [R8/ Ca, Mg, Sr, Na, K, Sul, Bic, Cl] pour refléter séquentiellement les relations entre Ca²⁺, Mg²⁺, Sr²⁺, Na⁺, K⁺, SO42-, HCO3-, Cl^- et R8, donc la participation de ces ions dans la salinité de nos eau (Sadek, 2011 ; Ben Cheikh et al., 2012 ; Tarki, 2012 ; Srinivasamoorthy et al., 2014) et les rapports géochimiques [Sr / Ca, Sul] [Bic /Mg], [Sul / Ca], [Cl / Na]qui reflète l'origine et les processus de salinisation qui dominent les eaux souterraines de la région d’étude (Schoeller, 1972 ; Labus, 2005 ; Vallejos et al., 2015).

Tableau 20. Partition séquentielle binaire (SBP) calculée pour déterminé les balances entre les éléments majeurs des eaux souterraines de Remila, Khenchela Isométrique log-ration (ilr).

ilr

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Figure 42. Dendrogramme des balances des eaux de Remila 3.5.2. Résultats d’analyse statistique (CoDa)

Les données ont été traitées au début par le biais d’Excel 2013. Les calculs statistiques ont été réalisés dans l'environnement statistique R-Studio (R Development Core Team, 2012). Le paquet "compositions" (van den Boogaart et al., 2013) a été utilisé pour les calculs de ilr. Le R est un environnement intégré de manipulation des données, de calcul et de préparation de graphiques. Toutefois, ce n’est pas seulement un « autre » environnement statistique (comme SPSS ou SAS, par exemple), mais aussi un langage de programmation complet et autonome (Goulet, 2014).

La théorie des espaces métriques est l'un des paramètres les plus importants et facilement descriptibles pour ces concepts. Intuitivement une séquence converge vers une limite si ses éléments sont plus proches et plus proches de cette limite. La notion de distance est axiomatique décrite dans la définition des espaces métriques. Un espace métrique est un couple (X, d) où X est un ensemble non vide et d est une fonction d: X x X---R, appelée métrique telle que:

(a) d(x,y)= 0 si et seulement si x = y.

(b) d(x,y) = d(y,x) , pour tout x, y ϵ X.

(c) d(x,y)≤ d(x,z) + d(z,y), pour tout x, y, z ϵ X.

Les conditions (a), (b) et (c) sont très naturel si l'on pense de la distance entre les points. La première condition indique que la distance entre les points x et y est égal à 0 si et seulement si ces deux points sont confondus, qui est x = y. La condition (b) indique que la distance de x à y

ilr3

Mg HCO3 Ca SO4 Sr K Na R8

ilr1

Ilr2

ilr5 ilr4

ilr6

ilr7 Ilr8

Cl

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est identique à celle de y à x. Enfin, la condition (c) indique que la distance mesurée à partir de x à y ne peut pas être supérieure à la distance de x à un troisième point z ainsi que la distance de z à y. Cette propriété est généralement appelée l'inégalité du triangle (Buccianti et Magli, 2011).