2.1 Les modèles « fluides »
2.1.1 Les modèles de convection pour l’étude d’une subduction
Dans les modèles basés sur la résolution du problème de Stokes (eqs. (I-9)-(I-10)) dans la lithosphère et dans l’asthénosphère, les deux entités sont différenciées par un contraste de viscosité [Capitanio et Faccenda, 2012; Di Giuseppe et al., 2008; Schellart et Moresi, 2013;
Stegman et al.,2006]. Généralement, après que la subduction soit initiée par une perturbation géométrique (une partie de la plaque plongeante est immergée dans le manteau au début de l’expérience), la dynamique du système est contrôlée uniquement par le contraste de densité
I.2 La modélisation numérique des systèmes de subduction
a1
a2
b1
b2
Figure I.18– Figures du haut d’après [Capitanio et al.,2010]. a1) Ètat initial, conditions aux limites et viscosités du modèle 2D. a2) Ètat du modèle après 22 Ma lorsque les deux plaques sont libres. Figures du bas d’après [Schellart et Moresi,2013]. b1) Modèle de subduction libre en 3D avec plaques visco-plastiques.
b2) Coupe verticale représentant la viscosité dans le modèle 3D.
entre la plaque plongeante et l’asthénosphère sous-jacente. Autrement dit, la cinématique des plaques n’est pas imposée (voir p. ex. fig. I.18). Le système est usuellement qualifié de « sub- duction libre », notion sur laquelle nous revenons une prochaine section.
Certains modèles (thermo-mécaniques) couplent les équations (I-9)-(I-10) à l’équation de la cha- leur [Billen et Hirth,2007;Christensen,1996;Čížková et al.,2007;Garel et al.,2014;Rodríguez- González et al., 2014; Van Hunen et al.,2002b] :
∂T
∂t = −v · ∇T + κ∇
2T + H (I-11)
où v et T sont, respectivement, la vitesse et la température, κ est la diffusivité thermique, H la chaleur interne. Typiquement, dans les modèles de convection f = (∆ρ + ρ0α(T − T0))g
est la force représentant les variations de densité en fonction de la température avec T0 une
température de référence, ρ0 la masse volumique référence à T0, et α le coefficient de dilatation
et est décrite le plus souvent par des lois de fluage par diffusion et par dislocation similaires à la loi puissance presentée dans lapartie I.1.3 (voir fig. I.19).
t = 50,5 Ma
t = 80 Ma
d) c)
Figure I.19 – Modèle thermo-mécanique de convection fluide appliqué à l’étude de la subduction [Čížková et Bina,2013]. a) Schéma de l’état initial avec les conditions aux limites du modèle. b) Champ de température initial. c) Champ de température pour un des modèles de l’étude après 50 Ma. d) Viscosité effective pour un des modèles de l’étude après 80 Ma.
Dans les modèles fluides, la résolution numérique du problème (thermo-)mécanique s’effectue classiquement sur une grille eulérienne, ce qui facilite le traitement des très grandes déforma- tions du système.
La difficulté réside en revanche dans le suivi des interfaces mobiles entre des corps ayant des propriétés mécaniques différentes. Notamment, la modélisation des systèmes de subduction im- plique des contrastes de viscosité élevés (viscosité moyenne du manteau supérieur d’environ 5.1020 Pa.s [Peltier, 1998] et viscosité d’un slab supérieure à 1023 Pa.s [p. ex. Hirth et Kohl-
stedt, 2003]) et plusieurs méthodes ont été développées pour la gestion de tels contrastes.
Moresi et Solomatov[1995] définissent la viscosité sur chaque élément de la grille en fonction du champ de température. La résolution des équations (I-9)-(I-10) discrétisées s’effectue avec des méthodes itératives (préconditionnées) par une approche multi-grille assurant la stabilité des calculs malgré les contrastes de viscosité. Cette procédure permet de résoudre des problèmes
I.2 La modélisation numérique des systèmes de subduction
où le contraste maximal dans tout le domaine peut atteindre 14 ordres de grandeur [Deubel- beiss et Kaus,2008]. Cependant,Moresi et al.[1996], rapportent que des problèmes surviennent lorsque de forts contrastes de viscosité sont présents à l’intérieur d’un élément de grille et pré- conisent d’éviter des sauts de viscosité supérieurs à 2 à l’intérieur d’un élément de grille. Des méthodes itératives de Krylov ont également été employées pour la résolution des équations de Stokes en présence de forts contrastes de viscosité [p. ex. Davies et al., 2011; May et Moresi,
2008] et appliqués dans la modélisation de la subduction [p. ex. Garel et al.,2014].
Pour faciliter le suivi des interfaces, une technique couramment utilisée est celle des marqueurs lagrangiens [Gerya et Yuen,2003;Moresi et al.,2003] qui portent les propriétés et l’histoire de la matière. Le transfert des grandeurs entre les particules et la grille peuvent cependant conduire à des résultats différents pour un même essai selon les méthodes utilisées [Deubelbeiss et Kaus,
2008;Schmeling et al.,2008]. Une densité suffisante de particules doit être assurée près des zones d’intérêt afin de suivre les interfaces mais augmente les temps de calcul. Cependant, cela n’évite pas, dans certains cas, l’apparition d’artefacts numériques lorsqu’il y a de forts contrastes de viscosité au sein d’un même élément du maillage [Deubelbeiss et Kaus,2008].
Une autre limitation propre à l’utilisation de grilles eulériennes est la modélisation de surfaces libres. Les modèles de subduction de type fluide imposent en général une condition aux limites à vitesse normale nulle (surface free-slip) [Capitanio et Faccenda, 2012; Capitanio et al., 2010;
Christensen,1996;Čížková et Bina,2013;Rodríguez-González et al.,2014;Stegman et al.,2010;
Van Hunen et al.,2002b] générant ainsi un état de contrainte artificiel à la surface des plaques. De plus, des essais de référence d’un système de subduction [Schmeling et al., 2008] modéli- sés numériquement et analogiquement, montrent que la dynamique du panneau plongeant est différente, dans les modèles numériques, si la surface libre n’est pas prise en compte. En effet, la surface libre permet au slab d’adopter une courbure naturelle une fois la subduction initiée [Kaus et al.,2010].
Une des techniques utilisées pour pallier à cette limitation consiste à placer une couche de fluide non-pesante et de viscosité très faible au-dessus des plaques [Schmeling et al., 2008], avec les difficultés que les contrastes impliquent (voir paragraphe ci-dessus). Plus récemment, d’autres méthodes pour simuler la surface libre dans une grille cartésienne ont été développées [Kaus et al., 2010; Kramer et al., 2012] et appliquées à l’étude de la subduction [p. ex. Ga- rel et al., 2014].
Cette approche de modélisation est également utilisée pour étudier la convection à l’échelle du manteau entier. Des modèles récents de ce type permettent de reproduire des zones de
subduction à l’échelle de la Terre entière. Nous présentons donc brièvement certains de ces modèles avant de présenter les modèles de « lithosphère solide ».