II. Présentation des méthodes de prévision usuelles
II.3. Méthodes endogènes
II.3.3. Les méthodes de prévision par lissage exponentiel
Les méthodes de prévision par le lissage exponentiel simple et double ont été initialement introduites par Brown [BRO 59].
(1) Classification des méthodes de prévision par lissage exponentiel
Différentes formulations du lissage exponentiel existent dans la littérature [ABR 83][GAR 85]. Par exemple, la classification due à Pegels [PEG 69] comporte 9 cas, selon le type de composante de tendance et de composante saisonnière. Les composantes Tt et St sont obtenues par lissage et traduites par les relations suivantes, avec (α,ν,δ)∈[0,1] :
(tendance additive) Tt = νννν(Ft - Ft-1) + (1-νννν)Tt-1
(tendance multiplicative) Tt = νννν(FFt
t-1 ) + (1-νννν)Tt-1
(saisonnier multiplicatif) St = δδδδ(Fxt
t ) + (1-δδδδ)St-s
La moyenne Ft est toujours calculée par une expression du type :
Ft = ααααPt + (1-αααα)Qt ( 4)
où Pt et Qt sont définis dans le Tableau 15 ci-dessous.
Composante saisonnière Composante de tendance 1 (aucune) 2 (additive) 3 (multiplicative) A Pt xt xt- St-s xt St-s (aucune) Qt Ft-1 Ft-1 Ft-1 B Pt xt xt- St-s xt St-s (additive) Qt Ft-1+ Tt-1 Ft-1+ Tt-1 Ft-1+ Tt-1 C Pt xt xt- St-s xt St-s (multiplicative) Qt Ft-1×Tt-1 Ft-1×Tt-1 Ft-1×Tt-1
Tableau 15. Classement des différents types de lissage exponentiel
Le cas A-1 correspond au lissage exponentiel simple, le cas B-1 à la méthode de Holt. Les cas B-2 et B-3 représentent respectivement les méthodes de Winters additives et multiplicatives; mais, le lissage exponentiel double n'apparaît pas. Une autre classification plus vaste, élaborée par Roberts [ROB 82], tient compte uniquement des modèles purement additifs. Enfin, Broze et Mélard [BROz 88] ont effectué un recensement, non exhaustif, des modèles de lissage exponentiel et aboutissent à 27 formulations différentes. Notre étude se limite aux méthodes les plus courantes telles que :
• les méthodes du lissage exponentiel simple et double, • les méthodes de Holt-Winters additives et multiplicatives.
(2) La prévision par lissage exponentiel simple
Le modèle de prévision du lissage exponentiel simple apparaît comme une moyenne pondérée par le coefficient de lissage α de la dernière réalisation et de la dernière prévision. Soit la relation suivante :
x^t(1) = ααααxt + (1-αααα)x^t-1(1) ( 5)
avec Ft=x^t(1) le cas A1 du Tableau 15 est obtenu tel que :
Ft = ααααxt + (1-αααα) Ft-1
(3) La prévision par lissage exponentiel double
La formule précédente permet de calculer une prévision pour des séries chronologiques stationnaires, sans tendance. Dans le cas d'une série avec tendance, un lissage exponentiel double y^t(1) peut être défini par :
y^t(1) = ααααx^t(1) + (1-αααα)y^t-1(1) ( 6)
La prévision calculée à l'instant t à l'horizon h peut s'écrire en fonction du modèle linéaire suivant :
y^t(h) = a^t + b^t h ( 7)
avec a^t = 2x^t(1) - y^t(1) et b^t = αααα
1-αααα (x^t(1) - y^t(1)).
La démonstration du calcul des formes des coefficients a^t et b^t est disponible dans [MEL 90].
(4) Choix du coefficient de lissage α :
Une première méthode consiste à sélectionner des critères d'évaluation d'une méthode de prévision et d'effectuer des simulations sur les différentes valeurs de α. Il suffit alors de choisir la valeur optimale en fonction d'une valeur de α qui améliore le
mieux le critère choisi [MEL 90]; par exemple, la détermination du coefficient de lissage qui minimise la somme des écarts au carré des erreurs de prévision est optimale au sens des moindres carrés. Cependant, la recherche du meilleur coefficient de lissage sur toute la période d'estimation n'implique pas d'être optimum quand la prévision est calculée. Pour supprimer cet inconvénient, des procédures dynamiques de régulation du coefficient de lissage ont été développées [CLA 88][BOU 92].
La valeur optimale instantanée résulte d'un compromis entre : l'inertie liée à l'intégration de données lointaines et la sensibilité aux valeurs récentes. En cas d'erreur de prévision constatée, deux interprétations sont possibles :
• il s'agit d'un accident; le coefficient de lissage doit alors diminuer afin de gommer l'effet de cette valeur anormale;
• il s'agit d'une rupture de tendance durable; le coefficient de lissage doit être augmenté afin d'intégrer plus rapidement cette rupture.
Le rôle de chacun des "signaux d'alertes" est clairement expliqué dans la procédure d'autorégulation du coefficient de lissage proposée par Bourbonnais et Usunier. Cette méthode de régulation permet d'optimiser localement la valeur du coefficient de lissage pour des séries de vente relativement stables [BOU 92] par l'utilisation des deux signaux d'alertes NFt et AWSt définis tels que :
NFt = MADet t et AWSt= ∑ i=1 t ei MADt ( 8) avec MADt=1t∑ i=1 t |ei| et MADt≠≠≠≠0.
La valeur MADt correspond à la moyenne des erreurs de prévision en valeur absolue calculée jusqu'à l'instant t. Le signal d'alerte NFt permet de détecter les observations anormales de la série alors que le signal d'alerte AWSt permet d'identifier un changement de tendance.
La procédure d'autorégulation du coefficient de lissage exponentiel double α peut se résumer ainsi [BOU 92] :
• Une valeur initiale du coefficient de lissage α=α0 est choisie,
• Si la valeur observée du processus de vente est anormale, la valeur absolue du signal d'alerte NFt augmente et, par conséquent, la valeur de α doit être diminuée d'une valeur de pas choisie ∆α telle que α = α - ∆α,
• Si un changement de tendance est observé, la valeur absolue du signal AWSt augmente, alors la valeur de α doit être augmentée de la même valeur de pas ∆α telle que: α = α + ∆α;
• Si les valeurs absolues de NFt et AWSt sont relativement stables à une valeur de seuil près (valeur recommandée par l'auteur [BOU 92] alors α reste inchangée.
(5) Méthode de prévision utilisant les notions de tendance et de «saisonnalité» Parmi l'ensemble des méthodes permettant d'établir un modèle de prévision sur les notions de tendance et de «saisonnalité», la méthode de Holt-Winters [WIN 60] s'avère être la plus connue et la plus utilisée. Cette méthode permet de combiner linéairement la tendance et la composante saisonnière suivant différents formats :
• par addition, c'est le cas du modèle de Winters additif
• par multiplication, c'est le cas du modèle de Winters multiplicatif
L'application de cette méthode nécessite un historique des coefficients saisonnier de la saison de vente précédente. Soient S la périodicité de la «saisonnalité» des données et α, γ, δ trois valeurs réelles positives comprises entre 0 et 1 caractérisant des coefficients de lissage.
(a) Modèle additif
Les trois composantes de la série temporelle sont calculées à chaque instant t par les relations suivantes.
Lissage de la moyenne.
Ft = αααα(xt - St-s) + (1-αααα)(Ft-1 + Tt-1) ( 9)
Lissage de la tendance.
Lissage de la "saisonnalité".
St = δδδδ(xt - Ft) + (1-δδδδ)St-s ( 11)
La valeur de la "saisonnalité" est calculée à la période t de la saison de vente courante afin d'être intégrée aux prévisions futures effectuées à la prochaine saison de vente.
La valeur prévue à l'instant t pour un horizon de h périodes est calculée selon le modèle additif suivant :
x^t(h) = Ft+hTt+St+h-S ( 12)
En plus de la valeur prévisionnelle, un intervalle de prévision pour la méthode de Holt-Winters de type additif avec "saisonnalité" peut être calculé en fonction d'un seuil de probabilité fixé par l'industriel [YAR 90].
(b) Modèle multiplicatif
Les relations permettant de calculer les trois composantes de la série temporelle à intégrer dans le modèle multiplicatif sont les suivantes :
Lissage de la moyenne. Ft = ααααSxt-st + (1-αααα)(Ft-1 + Tt-1) ( 13) Lissage de la tendance. Tt = γγγγ(Ft - Ft-1) + (1-γγγγ)Tt-1 ( 14) Lissage de la "saisonnalité". St = δδδδFxtt + (1-δδδδ)St-s ( 15)
La valeur prévue à l'instant t pour un horizon de h périodes est calculée selon le modèle multiplicatif suivant :
x^t(h) = (Ft+hTt)St+h-S ( 16)
De même que pour le modèle additif, un intervalle de prévision pour la méthode de Holt-Winters de type multiplicatif avec «saisonnalité» peut être calculé en fonction d'un seuil de probabilité [CHA 91].
(6) Procédure d'auto-régulation de la méthode de Holt-Winters [VRO 96][VRO 97]
Une procédure d'auto-régulation des paramètres de lissage α et β de la méthode de Holt-Winters a été étudiée par Vroman [VRO 96]. Les performances du modèle de prévision visent deux objectifs :
• obtenir une réaction rapide face à une variation significative de la tendance et/ou de la "saisonnalité"
• reconnaître et "lisser" les événements qui sont purement aléatoires
Ainsi, cette approche consiste à observer la courbe de demandes réelles, et d'adapter la méthode de calcul de la prévision aux résultats de cette observation. Cela implique la définition des paramètres d'observation du contexte de la demande, puis l'initialisation des paramètres de calcul de la prévision par l'utilisation de la théorie floue.
Le modèle de prévision de Holt-Winters et la procédure d'autorégulation FAHWS sont représentés en Figure 9 :
Système Flou Observation de la courbe de vente Calcul de la prévision "Désaisonnalisation" (action qui consiste à extraire la composante saisonnière de la série).
"Resaisonnalisation" (action qui consiste à ajouter la composante saisonnière de la série). t=t+1 Indicateurs d'observation ICT et V Paramètresαet βde la méthode de Holt-Winters Prévision "désaisonnalisée" à la période t Calcul de l'erreur de prévision Courbe de ventes réelles Courbe de ventes "désaisonnalisées" Coefficients saisonniers Prévision finale à la période t+1 Erreur de prévision à la date t
Figure 9. Présentation de la procédure d'autorégulation
des paramètres αααα et ββββ de la méthode de Holt-Winters.
A partir des données réelles, une procédure d'analyse du processus de vente permet d'identifier les deux indicateurs d'observation ICT (Indicateur de Changement de Tendance) et V (Variance) à intégrer dans le système flou. Les valeurs des paramètres de lissage α et β obtenues par le système flou permettent de calculer la valeur de la prévision suivant le modèle de Holt-Winters sur des données sans composante saisonnière. Une procédure de "resaisonnalisation" des données fournit la valeur de la prévision calculée à l'instant t pour l'instant t+1 (pour un horizon de prévision égal à 1). Les mises à jour des différents paramètres et des coefficients saisonniers sont effectuées à chaque instant t par le calcul de l'erreur de prévision et l'exploitation des données réelles de vente les plus récentes.