Les méthodes analytiques élastiques

Les méthodes analytiques élastiques qui considèrent un comportement élastique permanent du massif avoisinant l’excavation (Lamé, Kirsch, Einstein-Schwartz). La plupart de ces méthodes utilisent les hypothèses susmentionnées, et leurs calculs se fait selon ces étapes :

 Calculer les contraintes (σr, σθ, τrθ) et les déformations dans le sol dus aux champs initiaux des contraintes. Ensuite les déplacements initiaux Ui et Vi peuvent être obtenus après intégration ;

 Calcul de la contrainte totale et le champ de déplacement supplémentaire dans le sol ainsi que les contraintes de contact à l'interface sol-soutènement ;

 Calcul des forces internes dans le soutènement (Ms, Ts).

Figure IV.4 : Les contraintes et déplacement selon Einstein-Schwartz

Ces trois étapes de calcul ci-dessus mènent aux équations finales qui donnent les déplacements radial u, tangentiel v, effort axial N et moment de flexion M dans les soutènements.

84 IV.3.2Les Méthodes analytiques élasto-plastique

Ces méthodes tiennent en compte le développement d’une zone plastique autour de la cavité souterraine due de l’excavation du tunnel. Parmi les analyses élasto-plastiques on a :

i. Théorème limite (1950). [Caquot, Atkinson, Mühlhaus]. ii. Convergence-confinement (1980).

IV.3.2.1 Théorème limite (1950). [Caquot, Atkinson, Mühlhaus].

Le théorème limite est apparu dans les années 1950 afin d'étudier les comportements des ouvrages souterrains. L'analyse limite est une application directe des théorèmes limites inférieures et supérieures.

Le théorème de la limite inférieure établit que toute solution statiquement admissible qui ne viole nulle part, les conditions du sol constitue une valeur limite inférieure à la pression interne nécessaire à la stabilité de l’excavation ;

Le théorème de la limite supérieure établit que toute solution cinématiquement admissible constitue une valeur limite supérieure à la pression interne nécessaire à la stabilité de l'excavation.

a) Solution statiquement admissible de Caquot (1956)

L'intérieur de l'excavation est rempli d'un fluide qui au même poids volumique que le sol, et le problème consiste à estimer la pression de ce fluide qui mène à la rupture des parois. On considère qu'il y aura rupture lorsque le rayon plastique atteindra le sol. Caquot a pu ainsi de calculer, en égalant la pression Pi à zéro, la profondeur h associée à la rupture du sol.

𝒑_𝒊= −𝑯[𝟏 − (^𝒂 𝒉⁾ 𝒌−𝟏+ ^𝒚𝒂 𝒌 − 𝟐 ^{[𝟏 − (} 𝒂 𝒉⁾ 𝒌−𝟏] H = c/ tan φ et K = 𝑡𝑎𝑛²(^π 4+^π 2)

b)Solution statiquement admissible d’Atkinson et Potts (1977)

On considère qu'il y aura rupture lorsque le rayon plastique atteindra le sol. Les équations d'équilibre sont intégrées dans l'aire circulaire qui s'étend du périmètre du tunnel jusqu'à la surface. Les contraintes à l'intérieur de cette surface sont supposées à l'état plastique.

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Mühlhaus a également proposé une solution similaire aux deux précédentes solutions mais surtout, il a proposé une solution statiquement admissible pour la longueur non-supportée de l'excavation L.

Figure IV.5 :Portée non soutenue d'un tunnel

La portée non soutenue L et le diamètre D du front d'attaque définissent une sphère de surface S1 et celle-ci est comprise dans une autre sphère de surface S2 dont l'extrémité supérieure atteint la surface. En considérant les contraintes à l'intérieur de ce volume comme à l'état plastique, les conditions limitées à la surface (σs = σr), on peut intégrer les équations d'équilibres pour obtenir l'expression de Mühlhaus :

L = √ ⁽¹⁺² ℎ 𝑑)2 [1+(ʎ_𝑝−1)^σs σu] 1 ʎ𝑒−1 𝜆𝑒 = 1 + sin𝜑 / 1 − sin 𝜑

𝜎𝑠 = la surcharge au niveau de la surface.

𝜎𝑢 = résistance à la compression non confinée du sol.

d) Utilisation des méthodes analytiques

L'emploi des méthodes analytiques est limité à des conditions relativement simples,

correspondant essentiellement à des ouvrages profonds. Toutefois ces méthodes permettent d'obtenir rapidement des ordres de grandeur des paramètres de dimensionnement recherchés. Elles permettent aussi de contrôler la validité des calculs numériques.

86 IV.3.3Méthode convergence-confinement

IV.3.3.1Introduction

La méthode de convergence-confinement permet d'analyser l'interaction entre le massif et le soutènement. C'est une méthode de dimensionnement de tunnels simple pour tenir compte des conditions de mise en œuvre du soutènement derrière le front de taille au prix d'une simplification des lois de comportement et d'une homogénéisation d'un certain nombre de zones du massif.

Elle conduit à un pré dimensionnement satisfaisant du soutènement et elle oriente au stade de l’avant-projet, le choix des caractéristiques de soutènement et donne l’ordre de grandeur des déformations à attendre.

IV.3.3.2Principe générale de la méthode

Considérons une section plane d'un terrain dans lequel on souhaite creuser une galerie circulaire. Ce terrain est soumis à une contrainte naturelle correspondant à un état initial isotrope Po. Le déplacement radial u des parois de la galerie non encore excavée est évidemment nul.

Pour modéliser l'excavation de la galerie, nous supposons d'abord la cavité remplie d'un liquide à une pression Pi correspondant à l'état initial isotrope P.

IV.3.3.3Comportement du massif

Ensuite, en diminuant la pression Pi, on provoque un déplacement radial u correspondant à la décompression du massif. Cette pression Pi est diminuée depuis la valeur P jusqu'a la pression nulle. Dans un premier temps, le comportement du terrain est élastique linéaire et la courbe de pression déplacement est une droite. Dans un second temps, lorsque le critère de résistance du matériau du massif est atteint sur les parois de la cavité, une zone décomprimée apparait autour du tunnel. Elle s'étend vers l'intérieur du massif au fur et au mesure que la pression Pi décroit. La courbe est appelée courbe caractéristique du massif excave ou courbe de convergence.

87 IV.3.3.4Comportement du soutènement

Avec le même système d'axes, nous pouvons aussi représenter le déplacement radial du soutènement en fonction de la pression extérieure Pi qui lui est appliquée. Sa courbe caractéristique est une droite, courbe de confinement, si nous supposons que son comportement est élastique linéaire. Son origine est décalée de la valeur us0 pour tenir compte de la convergence qui s'est déjà produite lors de sa mise en place.

IV.3.3.4L'équilibre final

L’interaction entre le massif et le soutènement est obtenu en superposant les deux courbes caractéristiques (convergence-confinement) figure (IV.6) sur un même graphique. Le point d'intersection est définit alors le point d'équilibre, ce qui permet de déterminer la pression de soutènement.

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La méthode Convergence – Confinement permet de traiter le cas de tunnels circulaires, réalisés dans un massif homogène isotrope. On admet que les contraintes initiales sont isotropes et que le tunnel est suffisamment profond pour que l'on puisse négliger le gradient de contrainte au voisinage du tunnel (couverture minimale de l'ordre de 3 à 4 diamètres).

IV.4 Les méthodes numériques