Les erreurs sur la prédiction des trajectoires

A côté de l'exactitude du modèle de déplacement choisi, la trajectoire prédite comprend deux sortes d'erreurs ou d'incertitudes :

L'erreur sur la position GPS : les positions délivrées par un récepteur GPS dé-pendent de l'algorithme de positionnement utilisé dans le récepteur et de la qualité des signaux reçus. Par conséquent, une marge d'erreur sera toujours induite dans ce calcul. Pour ces raisons, il est plutôt judicieux de parler d'une probabilité de pré-sence dans une zone autour de la position délivrée par le GPS que de parler d'une position ponctuelle. Dans nos études, nous représentons la position du véhicule par une ellipse d'incertitude ou de probabilité de positions. Les dimensions de deux axes de l'ellipse sont calculées à partir de l'erreur de positionnement induite par le ré-cepteur. Et de ce fait, les dimensions du véhicule seront étendues aux bordures de cette ellipse.

Par ailleurs, la collision entre les véhicules est calculée à partir de la mesure de la distance entre leurs positions respectives. Ceci revient dans notre cas à détecter une collision entre les deux ellipses représentatives des deux véhicules. Un calcul analy-tique de l'intersection de deux ellipses représente un coût calculatoire considérable.

C'est pour cela que nous sommes inspirés des méthodes astucieuses employées clas-siquement en infographie 3D pour la détection de collision d'objets 3D maillés.

Ainsi, nous modélisons chaque ellipse par un ensemble de cercles centrés sur le grand axe de l'ellipse. La détection de collision entre deux ellipses revient donc à l'existence d'au moins une collision entre cercles appartenant aux deux ellipses.

L'intersection des cercles est facilement calculable puisqu'il sut de calculer la dis-tance entre les deux cercles et de la comparer à la somme des deux rayons. La modélisation de chaque ellipse est illustrée sur la gure 4.7.

Fig. 4.7 La détection d'un choc entre deux véhicules à travers l'intersection de deux cercles du modèle

L'erreur liée à la non synchronisation des systèmes embarqués : Comme déjà expli-qué dans le paragraphe 3.3.7, les diérentes latences impliexpli-quées dans les systèmes informatiques font que les informations seront reçues avec un délai et notre connais-sance distribuée des véhicules reète l'état des véhicules dans un passé proche. Ces informations ont ainsi besoin d'être recalées dans le temps en estimant leur vrai mo-ment de génération. Notre méthode consiste à eectuer ce recalage lors du processus de prédiction. Nous ajoutons toutes les latences estimées au temps de prédiction.

Ainsi, par cette méthode nous utilisons la prédiction aussi pour combler le retard inévitable dans notre système et nous obtenons une estimation plus vraisemblable des données échangées en fonction du temps et de l'espace.

Filtrage de Kalman

An d'améliorer la qualité de la prédiction, nous avons décidé d'utiliser un ltre de Kalman discret pour améliorer la qualité du positionnement, réduire les erreurs GPS et eectuer la prédiction des positions futures. La gure 4.8 illustre la manière avec laquelle ce ltre a été utilisé. En eet, comme tout ltrage récursif, ce ltre comprend deux étapes : une étape de prédiction de la trajectoire selon un modèle prédéni d'évolution et une étape de correction du celui ci une fois les mesures (observations) sont disponibles [15].

Fig. 4.8 Le ltrage des positions est eectué à la base d'un ltre de Kalman

A noter que pour pouvoir utiliser ce ltrage, nous avons fait la supposition que l'er-reur sur le positionnement par récepteur GPS a la forme d'un bruit blanc gaussien. Par exemple dans le cas de la prédiction d'une trajectoire rectiligne, le ltre sera linéaire et pourra être décrit de la manière suivante :



où le {x, y} est le vecteur position.

{V_x, V_y} est le vecteur position.

{a_x, a_y} est le vecteur accélération.

∆T est la période de temps entre deux prédictions.

Ce modèle de mouvement est intégré dans la phase de prédiction d'un ltre de Kalman discret de la forme :

La matrice de prédiction A donc :



Cette prédiction est eectuée en l'absence d'un signal de commandeu.

La matrice de variance du système P est mise à jour à chaque étape de prédiction.

Cette matrice jouera un rôle de détermination des dimensions des ellipses d'incertitude.

R_v est la matrice de covariance du processus.

Etape de correction :

Une fois les mesures de positions et vitesses disponibles, nous eectuons une correction de notre modèle. Soit Z le vecteur d'observation.

Z_k =

Cette observation sera liée au vecteur d'état par l'équation :

Z_k=C_kX_k (4.8)

Le gain K du ltre de Kalman est donc calculé selon l'équation suivante : K_k=P_Xk/k−1C_k^th

C_kP_Xk/k−1C_k^t +R_ni−1

(4.10) Où R_n est la matrice de covariance du bruit de mesure.

Et en utilisant ce gain, nous eectuons une correction de notre prédiction selon l'équa-tion suivante :

Xˆ_k/k = ˆXk/k−1+K_k(Z_k−C_kXˆk/k−1) (4.11) Et nous mettons à jour la matrice de de variance P :

P_k/k = (I −K_kC_k)×Pk/k−1 (4.12)

Le vecteur accélération {a_x, a_y} sera donc estimé par ce ltre.

Nous utilisons ce ltrage aussi pour déterminer les dimensions et l'orientation de nos ellipses d'incertitudes. Ainsi, la première sous-matrice carré de dimension 2 de la matrice P aura des vecteurs propres qui désignent les deux axes principaux de l'ellipse. Les valeurs propres correspondantes donnent les dimensions de ces axes.

Exemples de ltrage :

En vue d'illustrer l'utilité de ce ltrage, nous l'avons appliqué à des données issues de deux GPS ; le résultat des positions ltrées est présenté sur la gure 4.9 par des points rouges en comparaison avec les points bleus qui représentent les données GPS brutes.

Nous constatons sur la gure 4.9 la réduction des bruits de mesure puisque les positions ltrées présentent une trajectoire plus lisse qui suit instantanément les données brutes.

Fig. 4.9 En bleu, les positions GPS brutes et en rouge, les positions lissées pas le ltre Kalman proposé