Chapitre II :La méthode FP-LAPW
II. Les types de base des méthodes de premier principes
II.2 Les caractéristiques générales de la méthode FP-LAPW
La méthode FP-LAPW est principalement la méthode LAPW utilisée avec un potentiel complet qui résulte d’une modification améliorée de la méthode dite des ondes planes augmentées (APW) élaborée par Slater [65]. Ainsi, avant de s’engager dans la description de la méthode FP-LAPW, nous devons revoir quelques aspects relevant de la méthode APW.
II.2.1 La méthode des ondes planes augmentées (APW)
Slater [66] formula au voisinage d’un noyau atomique, le potentiel et les fonctions d’onde sont de la forme « Muffin
sphérique à l’intérieur de la sphère MT de rayon R
le potentiel peut être considéré comme étant constant. Ainsi, dans une région éloignée des noyaux, les électrons sont libres
les électrons se comportent comme dans un atome libre et peuvent être décrits plus efficacement par des fonctions atomiques (figure II.3
deux régions et les fonctions d’ondes du cristal sont développées dans des
selon la région considérée : Solutions radiales de l’équation de Schrödinger à l’intérieur de la sphère MT et ondes planes dans la région inte
(a)
Figure. II.3 : (a) Approximation Muffin
Fig
Chapitre II : Théorie et les méthodes de calculs La méthode des ondes planes augmentées (APW)
formula au voisinage d’un noyau atomique, le potentiel et les fonctions « Muffin-Tin » (MT) (figure II.3 (a)) présentant une symétrie
r de la sphère MT de rayon Rα, alors que dans l’espace restant du solide,
le potentiel peut être considéré comme étant constant. Ainsi, dans une région éloignée des libres et sont décrits par des ondes planes alors que près du no les électrons se comportent comme dans un atome libre et peuvent être décrits plus
s fonctions atomiques (figure II.3 (b)). En effet, l’espace est divisé en deux régions et les fonctions d’ondes du cristal sont développées dans des
selon la région considérée : Solutions radiales de l’équation de Schrödinger à l’intérieur de la sphère MT et ondes planes dans la région interstitielle (figure II.4).
(b)
: (a) Approximation Muffin-tin de la forme du potentiel, (b) Forme de la fonction d’onde dans les deux régions.
Figure. II.4 : Potentiel «Muffin-Tin»
Chapitre II : Théorie et les méthodes de calculs
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formula au voisinage d’un noyau atomique, le potentiel et les fonctions (a)) présentant une symétrie , alors que dans l’espace restant du solide, le potentiel peut être considéré comme étant constant. Ainsi, dans une région éloignée des et sont décrits par des ondes planes alors que près du noyau, les électrons se comportent comme dans un atome libre et peuvent être décrits plus (b)). En effet, l’espace est divisé en deux régions et les fonctions d’ondes du cristal sont développées dans des bases différentes selon la région considérée : Solutions radiales de l’équation de Schrödinger à l’intérieur de la
Chapitre II : Théorie et les méthodes de calculs
Alors la fonction d’onde φ(r) est de la forme :
W X
:
ΩY∑ HZ Z[" ZN\ 6 ] ^_
∑ `a a ba ca d ^_% (III.2)
Où Ω le volume de la cellule, CG et Almles coefficients du développement en harmoniques sphériques Ylm, ondes planeset la fonction Ul(r) est une solution régulière de l’équation radiale de Schrödinger qui s’écrit sous la forme :
e f6f a aN:6 ag ba 0 (III.3)
V(r) représente le potentiel Muffin-Tin et Ell’énergie de linéarisation. Les fonctions radiales
définies par (III.3) sont orthogonales à tout état propre du cœur mais Cette orthogonalité disparaît aux limites des sphères [67].
Slater a justifié le choix particulier de ces fonctions en notant que les ondes planes sont des solutions de l’équation de Schrödinger lorsque le potentiel est constant. Quant aux fonctions
radiales, elles sont des solutions dans le cas d’un potentiel sphérique, lorsque El est une valeur
propre. Cette approximation est très bonne pour les matériaux à structure cubique à faces centrées, et de moins en moins satisfaisante avec la diminution de symétrie du matériau. Pour assurer la continuité de la fonction à la surface de la sphère MT, les coefficientsAlmdoivent être développés en fonction des coefficients CG des ondes planes existantes dans les régions interstitielles. Ceci est exprimé par l’expression suivante :
`a hi"j
ΩY
kj lm ∑ HZ Zna |o p|^_ caq o p (III.4)
L'origine est prise au centre de la sphère, et les coefficients Alm sont déterminés à partir de
ceux des ondes planes CG. Les paramètres d'énergie Elsont appelés les coefficients
variationnels de la méthode APW. Les fonctions individuelles étiquetées par G deviennent ainsi compatibles avec les fonctions radiales dans les sphères, et on obtient alors des ondes planes augmentées (APW).
Les fonctions APW sont des solutions de l'équation de Schrödinger dans les sphères, mais
seulement pour l’énergie El. En conséquence, l’énergie El doit être égale à celle de la bande
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obtenues par une simple diagonalisation, et qu’il est nécessaire de traiter le déterminant séculaire comme une fonction de l’énergie.
La méthodeAPW, ainsi construite, présente quelques difficultés liées à la fonction U l(Rα) qui
apparaît au dénominateur de l’équation (III.4). En effet, suivant la valeur du paramètre El, la
valeur de Uα(Rα) peut devenir nulle à la surface de la sphère MT, entraînant une séparation des fonctions radiales par rapport aux fonctions d’ondes planes. Afin de surmonter ce problème plusieurs modifications à la méthode APW ont été apportées, notamment celles proposées par Koelling[68] et par Andersen [67]. La modification consiste à représenter la fonction d’onde φ(r) à l’intérieur des sphères par une combinaison linéaire des fonctions radiales Ul (r) et de leurs dérivées par rapport à l’énergie U(r) donnant ainsi naissance à la méthode LAPW.