Le tore de dimension k dans le modèle H 



i) Algorithme de Park et Choi

Park et Choi ont étudié [24, 25] un algorithme de diusion, pour un message petit, optimal en nombre d'étapes sur les toresTM((2k+ 1)i₎k_{. Elles obtiennent}

en particulier: bR ? H(TM((2k+ 1) i₎k₎ b b=L log
+1N = log2k+1(2k+ 1)ki =ki b

Leur algorithme est basé sur un partitionnement du tore en sous-grilles, le sommet émetteur allant informer le centre de chaque sous-grille. Néanmoins, l'al- gorithme conçu pour un petit message, ne prend pas en compte le paramètre

b(TM((2k+ 1)i)k). Il ne cherche pas à minimiser ce paramètre. Par exemple,

lors de la dernière étape de l'algorithme, les chemins utilisés sont de longueur supérieure à 1.

ii) Algorithme de Delmas et Perennes

Indépendamment des travaux de Park et Choi, nous avons étudié dans [7, 8], pour un petit message, la diusion dans les tores TM((2k+ 1)i₎k _{de dimension}

k . Nous donnons des protocoles de diusion optimaux en nombre d'étapes et quasi-optimaux pour les longueurs des chemins. Ceci généralise le résultat [26] obtenu pourk = 2.

Peut mieux aborder cette section, le lecteur pourra également se reporter à l'article en annexe A. Dans [7] nous montrons que notre technique s'appuie essentiellement sur deux méthodes combinant des outils d'algèbre linéaire et de théorie des codes. En eet, nos algorithmes sont basés sur une décomposition du tore en domaines, qui est associée à un pavage répliqué. Nous commençons par redonner avec notre approche le résultat obtenu par Peters et Syska (Cf. section 3.3.5) sur les tore de dimension 2. Nous verrons que cette approche permet de généraliser aux tores de dimension supérieure.

Ainsi, si on note Bk = fe1;e2;


;ek;0; e1; e2;


; ekg le vecteur nul et

l'ensemble des vecteurs de norme 1 de l'espace ZZ

k

2k+1 on remarque les propriétés

suivantes:  pour k = 2 eti= 1, ZZ 2 5 = (M2 +Id)B2 où M2 =  1 2 2 1  ,  plus généralement pourk = 2 et8i,ZZ

2

5i = (M

2i 1

2 +M22i 2+


+M2+Id)B2.

72

Algorithme

3.3.1



Algorithme de diusion dans

TM(5i)2

 Pourtous les temps t allant de1 à2ifaire

 Au tempsttout sommet xinformé transmet son information aux sommets

x+M22i tB2.

 fin faire

On montre qu'il est possible de réaliser les communications de cet algorithme le long de chemins arcs disjoints. Par induction les sommets informés après l'étape

t sont les éléments de l'ensemble St = (M22i 1+M22i 2 +


+M

2i t

2 )B2. Ainsi

l'algorithme dure 2i étapes et une analyse plus détaillée montre qu'il utilise des chemins de longueur optimale. Le temps de diusion est donc bR?

H(TM(5

i₎2_{) =}

2i+D(TM(5i₎2_{)+ 2iL.}

Nous avons généralisé cette technique aux tores TM(7i₎3 _{de dimension 3. En}

utilisant la matrice: M3 = 0 B @ 0 1 0 2 3 1 1 0 3 1 C A nous obtenons: bR? H(TM(7 i₎3₎ b b b=L log
+1N = log7(73i) = 3i 109D b

En dimension 4, sur une remarque de C. Delorme, il est préférable d'utiliser le tore TM(3)4_{. Ainsi, en utilisant la matrice:}

M4 = 0 B B B @ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 C C C A

on démontre de manière analogue que pour TM(3i₎4 _{nous avons:}

bR?

H(TM(3

i₎4₎

b b b=L

log9(34i) = 2i D b

Plus généralement, nous montrons dans [8] (Cf. annexe A) que le nombre d'étapes de la diusion dans le tore TM((2k+ 1)i₎k _{est optimale, le long de che-}

mins de longueur quasi-optimale. Ainsi, nous avons pu établir les faits suivantes.

Proposition 3.3.6

 Soit Gki=TM((2k+ 1)i₎k_{. Il existe un protocole de dif-}

fusion dans Gki tel que b(Gki)b(Gk1)i et b(Gki)

b(G k

1)

D(Gk

73

☞ Il est remarquable que du fait des équations de récurrence le rapport b(G k i)

D(Gk i)

reste au plus xe, égal à celui obtenu pour le premier toreGk1.

Corollaire 3.3.7

 Il existe un protocole de diusion sur le tore TM(2k+ 1)k

tel queb(TM(2k+ 1)k) = log2k+1(2k+ 1)k=k etb(TM(2k+ 1)k)k2+ 2k+

kln(k2_{+ 1).}

Ce qui conduit au corollaire suivant:

Corollaire 3.3.8

 Il existe un protocole de diusion dans le tore TM((2k + 1)i₎k _{tel que:} bR ? H(TM((2k+ 1) i₎k₎ b b b=L log
+1N = log2k+1((2k+ 1)ik ) =ki (1 + 2 k+ ln(k+ 1))D b

Pour aboutir à ces résultats, nous avons suivit la métodologie générale décrite en section 3.3.2 an d'eectuer une diusion optimale en nombre d'étapes sur le tore TM(2k+ 1)k_.

Dans le tore TM(2k + 1)k _{le nombre potentiel minimum d'étapes est}

log2k+1(2k+1)k =k. Eectuer une diusion optimale en k étapes revient à cher-

cher des ensemblesStayant les propriétés 1, mais vériant également la condition

jSt+1j= (2k+ 1)
jStj, alors ces propriétés sont nécessaires et susantes.

An de diuser dans le tore TM(2k+ 1)k_{, nous devons dénir les ensembles}

St. Pour obtenir une diusion en un nombre optimum d'étapes, il est nécessaire

que Sk = ZZ

k

2k+1. Nous chercherons ensuite à dénir l'ensemble Sk 1 à partir de

la remarque suivante.

Dans un protocole de diusion utilisant les ensemblesSt, l'étape dans laquelle

est impliqué le plus grand nombre de communications est la dernière, c'est-à-dire lorsque les sommets de Sk 1 informent ceux de Sk. Comme remarqué en section

3.3.2, il est intéressant de choisir un ensemble Sk 1 réparti de telle sorte que

l'on sache réaliser aisément les communications de cette étape. C'est le cas si l'ensemble Sk 1 vérie la dénition:

Definition. Les sommets Sk 1 sont dit être les éléments d'un

code parfait

,

s'il vérie la propriété suivante: chaque sommet deSk est soit un élément deSk 1

soit un voisin direct (i.e. à distance 1) d'exactement un et un seul élément de

Sk 1.

En eet, si Sk 1 est un code couvrant, alors l'union des éléments de Sk 1 et

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à l'envoi par chaque sommets de Sk 1 du message à chacun de ses voisins, les

chemins sont alors tous de longueur 1 et clairement arc-disjoints.

Remarque. La distance dans le tore correspond à la distance de Lee sur ZZ

k 2k+1

(voir [23]). La propriété que nous recherchons sur Sk 1 se traduit [23] en théorie

des codes ainsi: Sk 1 est un code de Lee de rayon de recouvrement 1 de cardinalité

(2k+ 1)k 1_{, c'est donc un code parfait de rayon 1.}

De tels codes parfaits de rayon 1 sont bien connus, nous choisirons d'utiliser

Sk 1 =fx2Sk jx1+ 2x2+


+kxk = 0 (2k+ 1)g.

Nous dénissons alors les ensemblesStinductivement comme suit: pourk 2

t  0 St = fx 2 St+1 j xt+2 = 0g. Les dénitions des ensembles St se résument

par: 8 > < > : Sk = ZZ k 2k+1; Sk 1 = fx2Sk j P_t=k t=1txt= 0 (2k+ 1)g; St = fx2St+1jxt+2 = 0g, pour k 2t0:

Nous montrons dans [8] que de tels ensembles St vérient les propriétés 1.

Dans le document Communications par commutation de circuits dans les réseaux d'interconnexion (Page 76-79)