Le cas sous − critique

On considère ici le cas sous−critique σ < 2/(d−2). En utilisant les informations données dans la preuve du Théorème 4.1.1, il sut de trouver les valeurs

β =βk= sup {β >0 | u(r, β) a exactement k zéros dans [0,+∞[},

5.2. LE CAS SOUS−CRITIQUE 95

0 1 2 3 4

−4

−2 0 2 4

6 u

0

u1

u₂

A0

A1

A2

β₀ β₁ β₂

Figure 5.2 Structure des ensembles A_k dans le cas σ < σ^∗, ici d= 1 etσ = 1. alorsu_k(r) = u(r, β_k)admet exactementkzéros dans [0,+∞[etu(r, β_k)→0 exponen-tiellement quandr →+∞. Cette information explique complètement l' algorithme qui sera utilisé. Notons que dans le cas unidimensionnel, on ne restreindra pas la valeur de σ à celle donnée au Théorème 4.1.1, c'est à dire 0< σ≤1 et on traitera σ comme un réel strictement positif car on a remarqué à travers toutes nos expérimentations que le Lemme 4.2.2 reste valable même lorsqueσ > 1.

Maintenant, on présente l'algorithme numérique an de localiser les états excités.

On commence par calculeru_k(0), par exemple, siω >−don cherche d'abordu₀, qui est sans n÷uds. Ainsi à chaque étape n, la valeur exacteβ0 est cherchée dans un intervalle [a_n, b_n]. On calcule β_n = (a_n+b_n)/2 et on résout (3.1) pour β = β_n. Si la solution approchée devient négative en un certainr₀, alors la valeur cherchéeβ₀ vérieβ₀ < β_n, et ainsi on pose an+1 =an etbn+1 =βn. Si la solution est toujours plus grande qu'une certaine valeur prescrite² >0, alors on écrita_n+1 =β_n etb_n+1 =b_n. L'intervalle initial est choisi de sorte quea₀< β < b₀:a₀ est égal à zéro etb₀ est tel que la solution du pro-blème de Cauchy correspondant change de signe. Puis, la valeurβ1 sera cherchée dans

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figure 5.3 Les courbes des quatre pre-miers états stationnaires de (1.1) (d = 1, σ = 1, ω = 0). n'ait qu'un zéro au plus. L'algorithme pour la détermination du premier état excité (notéu1) est très semblable à celui décrit précédemment. Ici, à l'étape n, si la solution calculée avec β_n change de signe plus d'une fois, on xe a_n+1 =a_n et b_n+1 =β_n. Dans l'autre cas, on prescrita_n+1 =β_n et b_n+1 =b_n. Le système diérentiel est donc résolu numériquement avec une méthode classique de Runge-Kutta d'ordre 4 sur un intervalle borné[0, R]oùRest supposé plus grand que tous les n÷uds de la solution cherchée (on prend R susamment grand et on vérie que la solution calculée avec cet algorithme ne dépend pas de R ). La solution approchée est alors calculée sur les points discrets prescritsr_j =jδr (0≥j ≥N) oùN est donné etδr =R/N.

On présente dans la Figure 5.15, la solution itérative approchant l'état fondamen-tal u₀ de (1.2) obtenu dans le cas d = 2, σ = 1, ω = −0.5, pour R = 8 et N = 10000 points de discrétisation pour le résolveur diérentiel, aux itérations 10, 20, 30, et 40.

Notons aussi que ku0k∞ est toujours égale à u0(0) et ceci peut être prouvé aisément par les arguments utilisés au Lemme (4.2.2). En outre, on a vérié numériquement que cette identité reste valable dans le cas général (k ≥ 1) sauf pour le cas unidimension-nel, où on a observé que cette norme est toujours atteinte au dernier maximum de la solution. On pense que celà est dû à la présence du terme potentiel. Comme l'existence de ces solutions excitées (u_k, k ≥ 1) est une conséquence de la présence de ce terme harmonique. En fait, dans le cas d'énergie pure : (1.3), une intégration explicite permet de résoudre cette équation et seuls les états localisés positifs peuvent être obtenus si d= 1. Ensuite, en présente dans la Figure 5.5 la première branche bifurquée C₀ caculée avec diérentes valeurs deσ. Les prols des courbes obtenus montrent que ces courbes

5.2. LE CAS SOUS−CRITIQUE 97 croissent beaucoups plus vite vers l'inni pour les petites valeurs de σ. Finalement, on voit dans la Figure 5.4 le graphe du cinquième état excité u5 dans le cas d= 1, ω= 0 et diérentes valeurs de σ. On voit que cette solution garde presque la même forme et les positions des n÷uds restent approximativement inchangées. La variation de σ change seulement l'amplitude. On a observé ce comportement pour diérentes valeurs dek, σ, et ω, mais seulement dans le cas unidimensionnel.

0 20 40 60 80 100

−60

−40

−20 0 20 40 60

ω > ω

1

u Î X rad

σ=1 σ =2 σ =2.05 σ =2.5

ω 1

Figure 5.5 le comportement de la branche bifurquée C₀ en fonction de σ : d = 1, σ = 1, 2, 2.05, 2.5,.

On présente maintenant les résultats obtenus dans les cas bidimensionnel et tridi-mensionnel : dans la Figure 5.6 on donne les prols des trois premiers états stationnaires calculés avecd= 3,σ = 0.75etω=−1tandis que dans la Figure 5.7 on trace les trois premières branches bifurquées obtenues pour d= 2, σ = 1.5.

On peut clairement repérer dans la Figure 5.7 qu'à chaque valeur xée de la fré-quenceω > ω_k, il existe exactement deux solutions symétriques localisées de (3.1) (resp.

(1.7)) àkn÷uds :uket−uk. Autrement, la k−ième solution bifurquée est unique quitte

1 2 3 4 5 6

Figure 5.6 Graphes des trois premiers états stationnaires de (1.1) (d = 3, σ =

Figure 5.7 Les branches bifurquéesC₀, C1, et C2 : d= 2, σ= 1.5< σ^∗.

à supposer que uk(0) > 0. D'autre part, on présente dans la Figure 5.8, les résultats obtenus dans le cas tri-dimensionnel d = 3 pour σ = 0.5 et pour diérentes valeurs de ω qui tend vers −d. On a remarqué que cette solution ( u₀ ) tend uniformément vers zéro quandω → −d. En eet, ceci est le comportement de tous les états excités : u_k quand ω → −(4k+d). Ceci illustre le fait que les solution obtenu par la méthode de tir (4.1.1) sont les solutions bifurquées étudiées théoriquement dans la première partie. Même si cette coïncidence paraît logique et prévue, on ne sait pas le prouver théoriquement. En eet, des solutions nodales peuvent exister sans qu'elles soient des solutions bifurquées. Néanmoins, d'prés l'unicité de la solution positive établie dans [7], on sait que les solutions positives obtenus par diérentes manières coïncident. Ces deux propriétés ont été observées à travers tous nos tests dans le cas sous-crtique ce qui suggère un résultat d'unicité pour chaque état excité, pour tout d≥ 1, ω > ω_k et σ < 2/(d−2). Il s'agit d'une question dicile qui reste ouverte sauf pour le cas de l'état fondamental u₀ (qui est strictement positive) dans le cas sous-critique. En fait, dans [7] et [10], Hirose et Ohta ont remarqué l'unicité de la solution positive pour tout d ≥1, ω > −d et σ < σ^∗ = 2/(d−2) utilisant un théorème de classication générale de Yanagida et Yotsutani [32]. La diculté est due à l'inuence des trois paramètresd, σ etω sur la multiplicité de chaque état excité comme on va le voir dans le paragraphe suivant en étudiant le cas critique.