Le phénomène de réticence ou 'chattering'

La technique de commande décrite dans la partie précédente assure un comportement non désiré du système en boucle fermée. Cependant, elle a besoin (dans le cas idéal) d'une commutation infinie au niveau des actionneurs. Cette oscillation au voisinage de la surface est appellée réticence ou broutement. La Figure (IV.6) montre l'effet de la réticence dans la convergence du système. La réticence n'est pas désirable, car elle induit des dynamiques de haute fréquence du système, augmentant la consommation énergétique qui peut endommager les actionneurs[76].

Figure IV.5. Définition de la fonction SIGN. ܭ

ܵሺܺሻ ܷ_௡

La réticence est le principal désavantage des modes glissants. De nombreuses études ont été effectuées dans le but de réduire ou d'éliminer ce problème, par exemple : les solutions par limitation de la condition de glissement, les solutions par observateur, etc. Dans cette section nous allons décrire les techniques de limitation de la condition de glissement, car elles sont les plus utilisées pour les applications en temps réel. Ces techniques sont basées sur la définition d'une zone autour de la surfaceܵ, à l'intérieur de laquelle une condition de glissement moins stricte que la condition signe est appliquée. Ainsi, le terme ݏ݅݃݊ሺܵሻ dans la partie du glissement de la commande est souvent remplacé par un terme à variation plus douce [76], par exemple:

IV.3.4.1. Commande avec un seuil

Cette commande est caractérisée par un seuil  (figure IV.7). Dans la bande qui entoure la surface de glissement S(X), seule la composante continue ܷ_௘௤ de la de tension de commande agit. La partie discontinue ܷ_௡ étant égale à zéro, les oscillations sur les réponses fortement atténuées. Cependant lorsque  augmente, il apparaît un écart statique sur la réponse en régulation [82]. La commande discontinue a l’expression suivante :

ܷ_௡ ൌ ቊܭݏ݅݃݊൫ܵሺܺሻ൯ݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൒ ߝ_{Ͳݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൏ ߝ}
ሺǤʹͶሻ Ce choix de la fonction discontinue est représenté sur la figure IV.7 :



Figure IV.6. Démonstration du phénomène de réticence. ܺ ܺሶ ܵ ൌ Ͳ߂ܵ௡ ߂ܵ௡  ܷ ൌ ܷ௠௔௫ ܷ ൌ ܷ௠௜௡ ܵ ܷ ܷ௠௔௫ ܷ௠௜௡  ܭ െߝ ߝ െܭ ܵሺܺሻ ܷ_௡

Ce type de commande n'est pas très utilisé car, outre le problème d'erreur statique, en présence d'une perturbation, ܷ௡ intervient avec toute sa valeur et des oscillations peuvent persister en régime permanent. Un adoucissement de la commande un est donc nécessaire. IV.3.4.2. Commande adoucie

Cette commande est caractérisée par un seuilߝ_ଵou deux seuils (ߝ_ଵ͕ߝ_ଶ) pour diminuer progressivement la valeur de la commandeܷ݊ . Dans cette configuration présentée par la figure (IV.8) [82], on peut distinguer trois zones qui dépendent de la distance du point à la surface de glissement :

− que la distance est supérieure au seuil ߝ_ଵ et alors la fonction signe est effective. − que la distance est inférieure au seuil ߝ_ଵ et alors ܷ௡est nulle (zone morte)

− que le point est dans la bande (ߝ_ଵ͕ߝ_ଶ) et alors ܷ௡ est une fonction linéaire de la distance (droite de pente_ሺఌ ^௄

భିఌమሻ ).

Dans cette méthode d'adoucissement utilisée pour limiter les oscillations, plus le seuil est grand, moins il y a des commutations. Néanmoins s'il est trop important, il y a problème de précision. En effet le système va évoluer dans la bande et risque donc de ne jamais atteindre le point désirer (origine du plan de phase).

En conclusion, nous pouvons résumer qu’en commande adoucie : − il y a limitation, élimination des oscillations de glissement.

− le système ayant deux points d'équilibre et par conséquence, en régime permanent, un écart statique apparaît et dépend du seuil utilisé.

− de point de vue théorique, le mode de glissement n'existe plus parce que la trajectoire d'état n'est pas forcée de rester sur S(X)=0.

IV.3.4.3. Commande intégrale

Les oscillations de haute fréquence qui apparaissent sur les réponses en régime glissant peuvent être évités en rendant continue la commande discontinueܷ_௡, en remplaçant la fonction signe par la fonction continue voisine:

ܷ_௡ ൌ ȁܵሺܺሻ ൅ ߣȁሺǤ ʹͷሻ^ܵሺܺሻ Figure IV.8. Définition de la fonction SIGN de la commande adoucie.

െߝ_ଶ െߝ_ଵ ߝ_ଶ ܭ ߝ_ଵ െܭ ܵሺܺሻ ܷ௡

Où  est un paramètre définissant le degré d'atténuation des oscillations. Lorsque  tend vers zéro, on tend vers la même commande discontinue défini par (IV.23). La fonctionܷ_௡ continue est illustrée sur la figure (IV.9).

Pour augmenter la précision de la réponse du système, on peut utiliser une commande continue incluant une composante intégrale qui devient active lorsque le point est proche de la surface. En général, le compensateur intégral diminue l'erreur en régime permanent, mais il est souvent indésirable pour les régimes transitoires brusques, car il provoque des oscillations supplémentaires sur la réponse. La commande ܷ௡dans ce cas devient :

ܷ_௡ ൌ ȁܵሺܺሻ ൅ ߣȁ ൅ ߟሺǤ ʹ͸ሻ^ܵሺܺሻ Avec : ߣ ൌ ߣ_଴൅ ȁߛȁ ߛ ൌ ቐ ߛ^{଴න ܵሺܺሻ݀ݐ ݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൏ ߝ} Ͳݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൐ ߝ
ሺǤʹ͹ሻ ߟ ൌ ቐ ߟ^{଴න ܵሺܺሻ݀ݐ ݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൏ ߝ} Ͳݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൐ ߝ
ሺǤʹͺሻ Où ߣǡ ߛǡ ߟ݁ݐߝ sont des constantes ou paramètres adaptatifs en fonction des références. Ce type de commande est difficile à mettre en œuvre car il y a un grand nombre de paramètres à déterminer [82].

IV.3.4.4. Commande SAT

Cette fonction est représentée dans la figure (IV.10), est définit comme suit :

ܵܽݐሺܵሺܺሻሻ ൌ ە ۔

ۓ _{െܭݏ݅ܵሺܺሻ ൏ ߤ}^{ܭݏ݅ܵሺܺሻ ൐ ߤ}

^{ܭܵሺܺሻ}_{ߤ ݏ݅ȁܵሺܺሻȁ ൏ ߤ}^{
ሺǤ ʹͻሻ} ܷ_௡s’exprime donc comme :

െߝ

ߝ ^ܵሺܺሻ

ܷ௡^

െܭ ܭ

ܷ_௡ ൌ ܭݏܽݐ൫ܵሺܺሻ൯ሺǤ ͵Ͳሻ C’est cette fonction qui a été utilisée pour notre recherche.

Toutefois, pour que ces approches soient efficaces, il est nécessaire d'avoir convenablement modélisé les dynamiques négligées des actionneurs. Dans le cas contraire, les propriétés de robustesse, de temps de réponse et les performances du système s'en trouvent souvent dépréciées [76].

IV.3.4.5. Commande par logique floue

Avec la logique floue, l’intelligence artificielle accomplit une avancée spectaculaire dans les applications techniques. Cette technique permet de faire le lien entre la modélisation numérique et la représentation symbolique. Afin de remédier au problème engendré par la composante discontinue, nous allons la remplacer par une structure floue

[83].

ܷ ൌ ܷ_௘௤൅ ܷ_{௙௟௢௨} ሺǤ ͵ͳሻ Pour les variables d’entée (la surface de glissement) et les variable de sortie, nous avons défini les ensembles floue comme suit : négative grand (NG), négative moyen (NM), zéro (ZE), positive moyen (PM), positive grand (PG). Voir la figure IV.11 et la figure IV.12.

Les règles floues peuvent être écrites comme indiqué dans le tableau 1. A cet effet, il est utilisé un système par logique floue de type Mamdani. La fonction d'appartenance de l'agrégation résulte de l’utilisation de l’opérateur max. La défuzzification de la sortie de contrôle est accompli en utilisant la méthode du centre de gravité.

Table VI.1. Base des règles de la commande floue. Entrée flou NG NM EZ PM PG

Sortie flou NG NM EZ PM PG Figure IV.10. Définition de la fonction SAT.

ܷ௡ ߤ െߤ ܵሺܺሻ െܭ ܭ

Figure IV.11. Fonctions d'appartenance pour les variables d’entée.

Figure IV.12. Fonctions d'appartenance pour les variables de sortie.

IV.4. Application de la commande par mode glissant flou au