Le modèle de Myers en une dimension

Afin d’améliorer la prédiction de la fraction solide en régime humide, Myers (2001) s’est basé sur l’approche de Stefan pour développer une équation différentielle pour calculer l’épais- seur de glace. Les équations de l’approche de Stefan sont :

∂T ∂t = kg ρghCpi ∂2_T ∂z2 (3.38) ∂θ ∂t = keau ρeauCpw ∂2_θ ∂z2 (3.39) ρgh ∂B ∂t + ρeau ∂h ∂t = Meau (3.40) ρghLF ∂B ∂t = kg ∂T ∂z − keau ∂θ ∂z (3.41)

où h = hauteur de la couche d’eau

kg = conductivité thermique de la glace

keau = conductivité thermique de l’eau

z = coordonnée perpendiculaire au profil T = température dans la couche de glace

θ = température dans la couche d’eau

L’équation 3.41 est un bilan d’énergie. De cette équation, il peut être déduit que la vitesse de croissance de la couche de glace est proportionnelle aux gradients de température de la couche de glace et de la couche d’eau. Les températures dans la couche d’eau et dans la couche de glace sont fonction de z et du temps (T (z, t) et θ(z, t)). Cependant, les gradients ne sont pas connus, mais si on fait un bilan d’énergie sur la frontière entre l’air et la couche de glace en régime sec, ou bien entre l’air et la couche d’eau en régime humide, cela permet de calculer le gradient au point externe de la couche de glace ou d’eau, et en même temps on fait intervenir les termes utilisés par Messinger dans son modèle.

En régime humide avec z = B + h : − keau

∂θ

∂z = (Qc+ Qe+ Qd) − (Qa+ Qk) (3.42) En régime sec avec z = B

− kg

∂T

∂z = (Qc+ Qs+ Qd) − (Qa+ Qk+ MeauLf) (3.43) On suppose qu’il n’y a pas de perte à l’interface entre la couche de glace et la surface du profil, de sorte que la température de la glace au point de contact est égale à la température sur la surface du profil.

T (0, t) = Tp (3.44)

La température à l’interface entre la couche de glace et la couche d’eau, c’est-à-dire le point où a lieu la transition de l’état liquide à solide, est égale à la température de solidification de l’eau.

T (B, t) = θ(B, t) = Tf (3.45)

où Tf = température de solidification de l’eau

Tp = température sur la surface du profil

1. La densité de l’eau et de la glace ne dépendent pas de la température, mais les valeurs pour le verglas et le givre sont différentes.

2. la température des gouttelettes est égale à la température de l’air.

3. Le profil est considéré beaucoup plus massif que la glace accumulée sur sa surface et avec une conductivité thermique infinie de sorte que sa température demeure constante pendant la simulation. Dans cette étude, sa température est considérée égale à celle de l’air.

4. Les gouttelettes sont à la même température que l’air.

5. Le changement de phase se fait à une température de 273.13 K

Utilisant l’analyse dimensionnelle, les équations 3.38 et 3.39 sont exprimées sous la forme quasi stationnaire (« quasi-steady »).

∂2_T

∂z2 ≈ 0 (3.46)

∂2_θ

∂z2 ≈ 0 (3.47)

Pour des couches relativement minces, comme dans le cas de la glace sur les profils aéro- dynamiques, le temps nécessaire pour atteindre l’équilibre thermique dans toute l’épaisseur de la couche est considérablement inférieur au temps nécessaire pour que la croissance de la couche d’eau ou de glace modifie la distribution de température. C’est-à-dire que même lorsque la hauteur de la couche augmente faiblement, elle est déjà en équilibre thermique. En intégrant deux fois les équations 3.46 et 3.47 et en appliquant les conditions limites 3.44 et 3.45 pour T , et pour θ les conditions 3.45 et 3.42 sont appliquées. Les équations obtenues sont : T = _T f − Tp B  z + Tp (3.48) θ = Tf + (Qc+ Qs+ Qd) − (Qa+ Qk) keau+ hQc_(T+Q_f−Td+Q_a)e (3.49) La hauteur de la couche d’eau est obtenue en intégrant l’équation 3.40 :

h = Meau ρeau ! (t − tg) − ρgh ρeau ! (B − Bg) (3.50)

les termes tg et Bg sont respectivement le temps et l’épaisseur du givre lorsque le verglas

Ainsi, si les équations de la température de la couche de glace, de la couche d’eau et de la hauteur h sont remplacées dans l’équation 3.41, l’équation différentielle obtenue pour le calcul de B serait : ρghLF ∂B ∂t = kg(Tf − Tp) B − keau Qa+ Qk− (Qc+ Qd+ Qe) keau+ hQc_(T+Q_f−Td+Q_a)e (3.51) Dans le travail de Haung et al. (1993), il a été remarqué que le processus d’accrétion de glace commence toujours avec une fraction solide égale à 1. En régime sec, elle conserve cette valeur pendant toute la simulation, mais en régime humide sa valeur diminue graduellement jusqu’à une valeur stable conservée pour le reste de la simulation. Ce comportement est dû au fait que la température du profil est considérée égale à la température des gouttelettes en surfusion, de sorte qu’au moment où les gouttelettes entrent en contact avec sa surface, le phénomène de nucléation a lieu et l’eau gèle immédiatement, sa chaleur latente étant dissipée par le profil. Au fur et à mesure que la glace s’accumule, la chaleur latente ne peut pas être complètement dissipée par le profil puisque la glace agit comme un isolant thermique et une partie de l’eau captée reste à l’état liquide.

C’est l’équation différentielle 3.51 qui permettra de calculer, en régime humide, la hauteur de la glace, B, en fonction du temps (voir la figure 3.9). Le premier terme de l’équation repré- sente la perte de chaleur vers le profil. Le deuxième terme est en réalité le bilan d’énergie du modèle de Messinger. Au dénominateur, le deuxième terme représente le transfert de chaleur dans la couche d’eau. Ce terme peut être négligé dans les simulations à 2 ou 3 dimensions puisque l’épaisseur de la couche est mince, due à ce que l’eau ruisselle sur le profil dans la direction de l’écoulement d’air.

Considérant qu’en régime humide, la transition entre le givre et le verglas se fait graduel- lement, la valeur de Bg est obtenue en combinant les équations 3.40 et 3.41 :

Bg =

kg(Tf − Tp)

MeauLF + [Qa+ Qk− (Qc+ Qd+ Qe)]

(3.52) Cette équation permet de calculer la hauteur du givre lorsque le verglas commence à ap- paraître. L’équation peut donner une valeur de Bg négative, positive ou infinie. Une valeur

négative indique que la glace ne se formera jamais. Une valeur infinie indique que le verglas n’apparaîtra jamais et que la totalité de la glace accumulée sur le profil sera du type sec.

kg(Tf−Tp) B B Volume de Contrˆole Profil Glace Couche d’eau

Figure 3.9 Transfert de chaleur à travers la couche de glace

– Si Tf − Tp < 0 alors Bg est négative et il n’aura pas accumulation de glace, car la

température du profil est au-dessus de la température de solidification de l’eau.

– Si MeauLF + [Qa+ Qk− (Qc+ Qd+ Qe) =< 0 alors Bg est négative ou infinie, ainsi la

chaleur latente des gouttelettes sera complètement dissipée et le verglas n’apparaîtra jamais.

Puisqu’en régime sec toute l’eau captée par le profil gèle au contact avec le profil, la hauteur de la glace accumulée est calculée en appliquant le principe de conservation de la masse :

B = Meau ρg

t (3.53)

Avec cette équation, on calcule le temps tg :

tg =

ρg

Meau

Bg (3.54)