Le matrisome

ESCOLARES DO SÉCULO XX

ESCOLARES DO SÉCULO XX

ESCOLARES DO SÉCULO XX

Ana Paula Florêncio Aires Ana Paula Florêncio AiresAna Paula Florêncio Aires Ana Paula Florêncio Aires

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Modesto Sierra Vázquéz

Modesto Sierra VázquézModesto Sierra Vázquéz Modesto Sierra Vázquéz Universidade de Salamanca

Esta comunicação tem o intuito de identificar a evolução que o conceito de derivada foi sofrendo ao longo dos primeiros 70 anos do século XX materializada nos manuais escolares. Partindo de periodização que fizemos do século XX (Aires, 2006) seleccionámos três manuais (um do ínício do século XX, outro de meados do século XX, e outro do período da Matemática moderna). Escudados na metodologia de análise de manuais proposta por Sierra, González e López (1997), fazemos, para cada manual, uma análise a três dimensões que passamos a descrever: análise conceptual, onde fazemos uma breve abordagem sobre a forma como o conceito de derivada é apresentado e se organiza ao longo do texto, evidenciando as questões gráficas e o tipo de exemplos e exercícios presentes; análise didáctico-cognitivo onde se incluem as teorias de ensino- aprendizagens subjacentes; análise fenomenológica onde se evidenciam os fenómenos que de alguma forma estão relacionados com o conceito de derivada e por isso devem ser tomados em linha de conta.

Título: Álgebra para o ensino da VI e VII classes dos Lyceus. Autor: Joaquim d’Azevedo Albuquerque.

Trata-se de um livro publicado em 1906, pela Typographia Occidental do Porto, destinado a dois anos curriculares, VI e VII classes do Curso Complementar dos Liceus que corresponderia hoje ao 11.º e 12.º de escolaridade, respectivamente. As derivadas surgem na parte respeitante à VII classe, frequentada por alunos de 17 anos de idade. Na capa pode ler-se a menção “De conformidade com os programmas approvados por Decreto de 3 de Novembro de 1905”. O autor é apresentado como “Lente de mecânica racional da Academia Polytechnica do Porto”. Atestando a respectiva legitimidade, no início do livro é apresentado o programa oficial de Matemática para a VI classe e no final do texto referente a esta classe figura o programa oficial para a VII classe.

Análise conceptual

Neste livro o conceito de derivada é estudado ao longo de dois capítulos num total de 21 páginas. No 1.º capítulo (capítulo IX) começa por apresentar a origem geométrica de

derivada a partir da famosa questão do problema das tangentes e a definição dada é a seguinte:

Definição: A derivada de uma funcção y é o limite da razão do augmento da funcção ao augmento correspondente da variável x, quando este augmento tende para zero. Derivada de f(x) = lim.

x

y

∆

∆

.

Tal como é dito pelo autor esta denominação de derivada é devida a Lagrange e acrescenta em nota de rodapé: “Leibniz dava a denominação de coefficiente differencial; e Newton a de fluxão, dando à funcção a denominação de quantidade fluente, em que a variável independente era o tempo” (p. 208).

Note-se que na representação simbólica não aparece representado o facto do aumento da variável independente x tender para zero. A notação que se usa para a derivada está associada à ideia de incremento. As variáveis representam-se com letras do alfabeto, normalmente, x e y. Utiliza-se a letra grega ∆ (delta maiúsculo) para simbolizar os incrementos ou acréscimos e ao longo do texto aparece várias vezes a expressão “

∆y

tende para zero com ∆x ”.

Depois de observar as várias notações usadas habitualmente para designar a derivada de uma função de variável independente,

y =

f(x)

, o autor usa ao longo dos dois capítulos a notação de Lagrange, ou seja, y’ ou f’(x), que se lê, tal como é recomendado, “y linha, ou função f linha de x” (p. 209).

Logo após a definição de derivada o autor chama a atenção para o facto de que a partir dela se conclui de imediato que a existência da derivada de uma função exige necessariamente que a função seja contínua. A este respeito escreve o autor em nota de rodapé:

(1) A condição é necessária, mas não é sufficiente; isto é, a continuidade da funcção não basta para se poder affirmar que a funcção tem derivada. Poisque, quando ∆y e x∆ tendem para zero simultaneamente (expressão de continuidade da funcção), a razão

x y ∆ ∆

reveste a fórma de indeterminação

0 0

, e a razão póde não ter limite. E de facto, sabe-se hoje que existem funcções continuas sem derivada. (p. 209)

Segue-se o cálculo analítico da derivada nos casos particulares da função y ser constante e coincidir com a variável independente, isto é de expressão analítica

y =

x

, e o

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parágrafo termina com dois exemplos: as deduções da derivada de uma função linear e derivada de uma função quadrática.

O 2.º capítulo é inteiramente dedicado à demonstração das propriedades algébricas das derivadas, a saber: derivada de uma soma de funções (a demonstração é feita para o caso da soma de três funções); derivada do produto de duas funções e a extensão da propriedade a mais de dois factores é também demonstrada mas agora pelo processo de indução matemática. Também neste ponto são apresentados dois corolários: Corolário I- derivada do produto duma função por uma constante e Corolário II- derivada da potência de expoente inteiro e positivo de uma função. Ainda neste ponto o autor observa que agora é imediato o cálculo da derivada de uma função inteira de x, já que uma tal função não é mais que a soma de termos análogos a

ax

m, isto é,

∑ax

m , e a derivada duma soma é a soma das derivadas das parcelas, apresentando como exemplo a derivada da função polinomial

3x

4

−2x

3

+5x−3

. Segue-se a derivada dum quociente (como corolários: derivada de um quociente em que o dividendo é uma constante e derivada de uma potência de expoente inteiro e negativo); derivada duma raiz onde se faz a extensão da regra da derivada de uma potência de expoente fraccionário; derivadas das funções circulares: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.

No final da exposição teórica das propriedades algébricas das derivadas, e a anteceder o último parágrafo, é apresentada uma tabela com o título “Quadro de derivadas fundamentais” com duas colunas, onde na coluna da esquerda figuram os vários tipos de funções e na coluna da direita as respectivas derivadas. O capítulo termina com uma lista de exercícios (10 exercícios) com o enunciado “Calcular as derivadas das seguintes funções” com um grau de complexidade crescente e só o último exercício é acompanhado da respectiva solução.

Quanto à organização e grafismo o texto está dividido em 11 secções numeradas (de 45 a 55) e escritas a tinta preta. Ressalta de imediato a densidade do texto e o corpo de letra muito pequeno, usando-se vários tipos de letra, maiúsculas, minúsculas, itálicos, negrito.

O único gráfico que podemos encontrar é o que diz respeito à interpretação geométrica de derivada desenhado a tinta preta e intercalado no texto.

Análise didáctico-cognitivo

Neste livro não existe prólogo e portanto não é possível conhecer, de modo explícito, as intenções e objectivos do autor quando o escreveu bem como as competências que se pretende que o aluno desenvolva. No entanto, pelo tipo de exercícios que são propostos podemos concluir que os conceitos têm um carácter essencialmente instrumental, pois o que se pretende é memorizar fórmulas ou regras simples e a partir delas calcular derivadas de funções.

Estruturalmente o livro aparece organizado em observância a uma lógica dedutiva. Assim, primeiro são estabelecidos os conceitos, de seguida os princípios e, por fim, a aplicação ao cálculo das derivadas.

Apresenta uma abordagem com um nível de abstracção bastante elevado onde o desenvolvimento é formal e sequencial e as demonstrações têm um carácter rigoroso, sem qualquer apelo à intuição. A ideia que trespassa é a de uma Matemática já feita e acabada que o aluno deve aceitar, memorizar e praticar resolvendo exercícios.

Para os alunos, aparece apenas, um único tipo de tarefas a serem realizadas por si, que são exactamente um conjunto de exercícios no final do último capítulo, todos com uma natureza muito semelhante, embora de complexidade crescente.

As capacidades que se pretendem desenvolver no aluno são: a memorização das demonstrações de propriedades e a aplicação das regras ou fórmulas resultantes destas à resolução de exercícios.

Análise fenomenológica

Neste livro não há referências a situações ou fenómenos próprios de outras ciências distintas da Matemática. Porém, é curioso notar que o autor, citando Laisant, sublinhava a importância da dimensão concreta em ramos de saber reconhecidos como muito abstractos:

“(1) Como diz mui judiciosamente Laisant (La MATHÉMATIQUE: PHILOSOPHIE – ENSEIGNEMENT), «esta origem geométrica da maior descoberta mathematica é mui própria para patentear mais uma vez a necessidade primaria dos elementos concretos, nos próprios ramos do saber humano que mais abstractos parecem».” (p. 207).

A única referência que podemos encontrar nestes livros está relacionada com a Matemática e tem uma forte componente geométrica. Trata-se exactamente da interpretação geométrica da derivada, referida como o problema das tangentes.

Título: Compêndio de Álgebra. 3.º Ciclo. Aprovado oficialmente como livro único (Diário de Governo de 24 de Junho de 1950, 2.ª série).

Autor: António Augusto Lopes.

Apesar da data não aparecer de forma explícita este livro foi presumivelmente publicado ainda em 1950 ou 1951 sendo a depositária a Porto Editora. Trata-se de um livro destinado ao 3.º ciclo dos liceus (6.º e 7.º anos) tendo sido aprovado oficialmente como livro único (Diário de Governo de 24 de Junho de 1950, 2.ª série), tal como se pode ler na folha de rosto. Sendo livro único está numerado e autenticado pelo Ministério da Educação Nacional. As derivadas surgem na parte respeitante ao 7.º ano, frequentado por alunos de 17 anos de idade.

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Análise conceptual

O capítulo dedicado às derivadas é o nono e tem como título “Derivadas das funções de uma variável”. É constituído por 23 páginas e está dividido em quatro parágrafos, o primeiro designado de “Generalidades” o segundo de “Cálculo das derivadas das funções algébricas”, o terceiro de “Derivadas das funções circulares inversas” e o quarto de ”Derivada da função de função”. O capítulo termina com a rubrica “Exercícios de revisão” acompanhados das respectivas soluções.

O primeiro parágrafo inicia-se com três problemas: o problema das tangentes a uma curva, o problema das velocidades e um outro, a que o autor chama de “problema análogo aos anteriores” relacionado com a pressão atmosférica num dado intervalo de

tempo. Em todos eles o autor conduz o aluno ao estudo do limite da razão

h

k

,

designando por h o acréscimo da variável independente e por k o correspondente acréscimo da função. É curioso notar como o autor investe no estudo desta razão, a que dá o nome de razão incremental, como se esta fosse o fio condutor para se chegar à definição de derivada de uma função. E a definição é dada da seguinte forma:

Definição: Seja

y =

f(x)

uma função contínua para o valor

x

₀ da variável independente. Derivada da função

y(x)

, para

x =

x

₀, é o limite da razão

h

k

, entre o acréscimo da função e o correspondente acréscimo da variável, quando este último tende para zero, de qualquer modo.

Logo após a definição o autor chama a atenção para as várias notações usadas para representar a derivada duma função e apresenta dois exemplos resolvidos de cálculo directo da derivada de uma função a partir da definição dada. Seguem-se as interpretações geométrica e cinemática da derivada acompanhadas de dois exemplos:

“1- Considere-se a função y = x2e a sua imagem geométrica. Pretende-se determinar o ângulo que faz, com a parte positiva de X’X, a tangente à imagem no ponto de abcissa

2 1 .

2- Um ponto material tem o seu movimento definido pela equação horária

1 2

2 2 − +

= t t

e . Calcular a derivada ao fim de 3 unidades de tempo” (p. 323).

O parágrafo termina com um leque de seis exercícios com as respectivas soluções que o autor designa de “Exercícios de aplicação”.

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