Le mod` ele de Valet et Fert de CPP-GMR

Le mod`ele de Valet et Fert d´ecrit le transport ´electronique dans une mul-ticouche magn´etique par une ´equation de Boltzmann qui inclut le temps de retournement de spin τ<sub>sf</sub> et les potentiels chimiques d´ependant du spin µ<sub>+</sub>et µ− . Les ph´enom`enes de relaxations de spin dans chaque couche sont d´ecrits par des ´equations de diffusion de l’accumulation et du courant de spin tandis que les diffusions aux interfaces et les reflexions sp´eculaires sont trait´ees en introduisant des conditions aux limites pour ces mˆeme grandeurs. Les aiman-tations des diff´erentes couches magn´etiques sont colin´eaires par hypoth`ese.

Par la suite, on consid`ere une multicouches form´ee de couches magn´etiques F<sub>i</sub> s´epar´ees par des couches non-magn´etiques N<sub>i</sub> travers´ee par un courant (densit´e de courant j) s’´ecoulant dans la direction x perpendi-culaire au plan des couches. Les directions des aimantations sont suppos´ees colin´eaires et align´ees (parall`element ou antiparall`element) suivant l’axe z pris comme axe de quantification. Les symboles + et - sont associ´es `a la direction absolue de la direction de spin (s_z=±1/2) et ↑ et ↓ aux directions de spin majoritaire et minoritaire respectivement. On d´efinit la densit´e de courant de spin par j_s = −~

2(j₊ − j₋)/e, avec j₊ et j₋ les densit´es de courant as-soci´ees respectivement aux ´electrons de spin + et – . On peut ´ecrire la densit´e d’´electrons de spin de direction σ hors-´equilibre n_σ, comme n_σ = n₀+ δn_σ, avec n₀ la densit´e `a l’´equilibre. On d´efinit l’accumulation de spin comme ∆s = (~/2)(δn+− δn−). Le potentiel ´electrochimique d’accumulation de spin ∆µ = (µ<sub>+</sub> − µ−) est reli´e `a l’accumulation de spin ∆s par ∆µ = ²

~ ∆s N (EF), avec N (E_F) la densit´e d’´etat au niveau de Fermi pour une direction de spin. On note ρFi et ρNi les r´esistivit´es respectivement des couches Fi et Ni.

Dans le cas o`u τ_sf est grand devant les temps de relaxation de quantit´e de mouvement τ↑ et τ↓² et en supposant des bandes paraboliques, les ´equations de transport suivantes se d´eduisent de l’´equation de Boltzmann :

j₊₍₋₎= ¹ eρ₊₍₋₎ ∂µ₊₍₋₎ ∂x ^(1.1) j₊+ j− = j (1.2) ∂(j+− j−) ∂x ⁼ eN (EF)∆µ τ_sf ^(1.3)

L’´equation (1.1) n’est autre que la loi d’Ohm g´en´eralis´ee. Les ´equations (1.2) et (1.3) traduisent respectivement la conservation de la charge 2Cette hypoth`ese est g´en´eralement v´erifi´ee. Pour la grande majorit´e des mat´eriaux utilis´es en CPP-GMR, τ<sub>sf</sub> est sup´erieur `a τ_↑(↓)d’au moins un facteur 102 [11,24].

et la conservation du spin, c’est-`a-dire l’´egalit´e entre la divergence du cou-rant de spin et la relaxation de spin, proportionnelle `a ∆µ/τ_sf. Dans le cas o`u l’aimantation est align´ee suivant les z positifs, on peut d´eduire de (1.1) et (1.2) le courant de spin j_s en fonction de j et ∆µ, du coefficient d’asym´etrie β et de ρ^∗_F tel que ρ↑(↓)= 2ρ^∗_F(1 ∓ β) : j_s= −^~ 2e^{(βj +} 1 2eρ∗ F ∂∆µ ∂x ^{) (1.4)}

Le premier terme est li´e aux r´esistivit´es diff´erentes des deux canaux de spin dans le m´etal ferromagn´etique massif (voir section 1.1). Le second terme est une nouvelle source de courant de spin li´ee au gradient d’accumulation pr`es de l’interface. Cette ´equation montre qu’il est aussi possible d’injecter, grˆace `a l’accumulation, des courants de spin dans un m´etal non magn´etique (β = 0).

Des ´equations (1.1) et (1.3), on d´eduit l’´equation de diffusion pour ∆µ : ∂2∆µ

∂x2 −^∆µ l2

sf

= 0 (1.5)

l_sf est la longueur de diffusion de spin, donn´ee ici par : l_sf = λ_sfλ_m 3 1/2 (1.6) o`u λ_sf = v_Fτ_sf, λ_m = (_λ¹ ↑ +_λ¹

↓)⁻¹ avec λ↑(↓) = v_Fτ↑(↓), v_F ´etant la vitesse de Fermi.

La solution de (1.5) est ∆µ(x) = A exp (x/l_sf) + B exp (−x/l_sf), A et B ´etant des constantes. Les courant de spin j₊ et j− suivent eux aussi une loi du type exponentiel d’argument l_sf, qui apparaˆıt ainsi comme la lon-gueur caract´eristique gouvernant le transport. Ces solutions calcul´ees dans chaque couche sont reli´ees par des conditions aux limites prenant en compte la diffusion aux interfaces. On introduit pour cela une r´esistance d’interface d´ependant du spin r↑(↓) `a laquelle est associ´ee un coefficient d’asym´etrie de spin γ tel que r↑(↓) = 2r<sub>b</sub>(1 − (+)γ). Elle se traduit par une discontinuit´e du potentiel chimique `a l’interface x = x₀ :

µ₊₍₋₎(x = x⁻₀) − µ₊₍₋₎(x = x₀⁺) = r₊₍₋₎[j₊₍₋₎(x = x₀)/e] (1.7) Les courants d´ependants du spin sont suppos´es continus aux interfaces (la relaxation de spin aux interfaces est n´eglig´ee³) et :

3La relaxation de spin aux interfaces peut ˆetre prise en compte en ins´erant une couche artificielle d’´epaisseur t de l_sf tr`es court, caract´eris´ee par le coefficient de spin memory loss interfacial δ = t/l_sf [27]

j₊₍₋₎(x = x⁻₀) − j₊₍₋₎(x = x⁺₀) = 0 (1.8) On obtient grˆace `a ces ´equations l’accumulation de spin et le courant de spin dans toute la multicouche (voir par exemple Fig. 1.3(b),(c)). On en d´eduit la r´esistance totale de la multicouche dans la configuration parall`ele et antiparall`ele en calculant la partie du potentiel chimique ind´ependante du spin aux extr´emit´es de la multicouche.

Ceci permet d’exprimer la GMR en fonction des diff´erentes r´esistivit´es (ρFiet ρNi), r´esistance d’interface (rb), coefficients d’asym´etries (β et γ), et du rapport t/l_sf, t ´etant l’´epaisseur de la couche, pour les diff´erents mat´eriaux. Il faut souligner que dans la limite o`u l<sub>sf</sub> est grand devant l’´epaisseur des couches, on retrouve bien le mod`ele `a deux courants pr´esent´e dans la sec-tion 1.1.

Chapitre 2

Introduction `a l’effet de

transfert de spin

Nous introduisons dans ce chapitre le principe physique du transfert de spin (section 2.1), et d´ecrivons deux manifestations exp´erimentales impor-tantes de l’action du couple de transfert de spin sur l’aimantation (sec-tion 2.2) : le renversement hyst´er´etique de l’aimantation `a faible champ et la dynamique entretenue de l’aimantation `a fort champ. Nous concluons par les applications technologiques potentielles qui d´ecoulent de ces deux effets (section2.3).

2.1 Principe de l’effet de transfert de spin

L’effet de transfert de spin a ´et´e propos´e th´eoriquement par J. Slonc-zewski et L. Berger en 1996 [1,9]. Consid´erons deux couches ferromagn´etiques s´epar´ees par une couche non magn´etique et travers´ees par un courant s’´ecoulant perpendiculairement au plan des couches (voir figure 2.1). La premi`ere couche ferromagn´etique F<sub>1</sub> est ´epaisse de sorte que son aimanta-tion ~M1 est insensible `a l’effet de transfert de spin et peut-ˆetre suppos´ee fixe. Elle joue le rˆole de polariseur en spin du courant. La seconde couche ferromagn´etique F₂ est fine, et son aimantation ~M₂ libre de bouger sous l’ac-tion du courant. Les aimantal’ac-tions des deux couches ferromagn´etiques sont suppos´ees ˆetre non-colin´eaires et on les assimile `a des macrospins (leur ai-mantation est uniforme). La direction de la polarisation en spin du courant dans le m´etal normal ne peut ˆetre parall`ele aux deux aimantations ~M₁ et

~

M₂ simultan´ement. Elle fait donc un angle avec l’aimantation de la couche fine ~M2 et poss`ede ainsi une composante transverse<sup>1</sup> par rapport `a celle-ci

e

-F

F

S₁ S₂

NM

J>0

x

z

y

ϕ

-F

F

S₁ SS₂₂

NM

J>0

x

z

y

ϕ

Fig. 2.1– Sch´ema de la structure tricouche propos´ee initialement par J. Slonczewski. Les aimantations ~M1 et ~M2 ont une direction oppos´ee aux macrospins ~S1 et ~S2 cor-respondants et s’´ecrivent ~M_i= −gµ_B/(~Vi) ~S_i, avec V_i le volume de F_i.

(en vert sur la figure 2.1). En traversant la couche F₂, les ´electrons alignent leur spin avec la direction de l’aimantation locale ~M₂ du fait de l’interaction d’´echange. Cette interaction conservant le spin, cela signifie que la compo-sante transverse du courant de spin a ´et´e absorb´ee et transf´er´ee `a l’aimanta-tion. Ce transfert de moment angulaire est ´equivalent `a un couple ~τ exerc´e sur l’aimantation ~M₂, appel´e « couple de transfert de spin ». Ce couple de transfert de spin est ´egal au courant de spin transverse `a ~M2 absorb´e.

On peut l’exprimer en fonction de la polarisation en spin P du courant dans la couche non magn´etique, repr´esentant le spin moyen port´e par chaque ´electron du courant et de l’angle ϕ entre les deux macrospins ~S1 et ~S2associ´es respectivement aux aimantations ~M₁et ~M₂2. Nous supposons pour simplifier que le spin des ´electrons de conduction dans la couche non magn´etique a la mˆeme direction que ~S1³. Une section de surface A de F2 est travers´ee par unit´e de temps par Aj/e ´electrons, j ´etant la densit´e de courant et e la charge de l’´electron. Dans la couche non magn´etique, chaque ´electron du courant

2les directions de ~M1 et ~M2sont oppos´ees aux macrospins ~S1 et ~S2de la figure 2.1.

3Nous verrons dans les chapitres 3.1.2.2, p 40 et 5.1, p 61 qu’en r´ealit´e le spin des ´electrons dans la couche non magn´etique fait un angle ϕg(ϕ) avec ~S1 . Cependant, l’ex-pression2.1du couple de transfert de spin reste exact en incluant les corrections dues `a ϕg(ϕ) dans le facteur de polarisation du courant P (ϕ). Voir les ´equations5.2et 5.3p 61

porte en moyenne un spin P ~/2. Le courant de spin suivant ~S₁ est donc (P ~/2)(Aj/e). En projetant ce courant suivant la direction ~uz transverse au macrospin ~S₂, on obtient le courant de spin transverse dans la couche non magn´etique ´egal au couple de transfert de spin ~τ :

~τ = courant de spin transverse absorb´e = AP sin ϕ^{~ j}

2 e^{~uz (2.1)} La polarisation P d´epend `a priori de ϕ. On peut d´ej`a noter sur cette expression que le sens du couple d´epend du signe du courant.

En ´ecrivant sin ϕ ~u_z = ~m₂× ~m₂× ~m₁, avec ~m₁ et ~m₂ les vecteurs unitaires correspondant `a ~M₁ et ~M₂, on a finalement :

~τ = AP^{~ j}

2 e ^m~2× ~m₂× ~m₁ (2.2) En multipliant ~τ par −γ₀/µ₀ = −gµ_B/~ (γ0 est la valeur absolu du rap-port gyromagn´etique et µ_B le magn´eton de Bohr) et en normalisant par rapport au volume de F2, V=Ad o`u d est l’´epaisseur de F2, on obtient la variation d’aimantation par unit´e de temps ^{d ~M2}

dt ^{correspondant `a ~τ :} d ~M2

dt ^{= −P} gµBj

2 d e ^m~2× ~m₂× ~m₁ (2.3) On peut d´ecrire l’action du couple de transfert de spin sur la dynamique de l’aimantation en ajoutant ¹

M_s d ~M₂

dt ^{aux autres couples de l’´equation de} Landau-Lifschitz-Gilbert (LLG) :

d ~m₂

dt ^{= −γ0m~2}× ~H_{ef f} + α ~m₂× ^{d ~m2}

dt −^{P gµBj}

2dM_se ^m~2× ~m₂× ~m₁ (2.4) Les deux premiers termes de l’´equation correspondent `a l’´equation LLG classique : le premier terme est un terme de pr´ecession autour du champ magn´etique effectif ~H<sub>ef f</sub> prenant en compte le champ ext´erieur, les champs d’anisotropie, champs de couplage, etc . . . ; le second terme est un terme ph´enom´enologique d’amortissement caract´eris´e par le facteur α (de l’ordre de 0.01), tendant `a ramener l’aimantation vers sa position d’´equilibre. A ces deux couples s’ajoutent le couple de transfert de spin.

Pour comprendre comment le couple de transfert de spin agit sur l’ai-mantation, il est instructif de faire un bilan ´energ´etique du syst`eme. Pour cela, on peut ´ecrire ~H_{ef f} en fonction de la densit´e d’´energie magn´etique E

du syst`eme, form´ee des ´energies d’anisotropie et d’interaction avec le champ ext´erieur : ~ H_{ef f} = − ¹ µ0 ∂E ∂ ~M ^(2.5)

En multipliant vectoriellement (2.4) par d ~m₂/dt et en utilisant la rela-tion (2.5), on obtient la variation d’´energie par unit´e de temps dE/dt :

dE dt ⁼ µ₀M_S γ0 (−α     d ~m₂ dt     2 + ^{P gµBj} 2dMse d ~m₂ dt ^{. ( ~m2}× ~m₁) ) (2.6) En d´efinissant les longueurs adimensionn´ees  = E/(µ₀M2

s), τ = t/(γ₀M_S)⁻¹ et η = j /ja, avec ja = 2µ0M_s²ed/(P ~), on peut ´ecrire l’´equation (2.6) sous sa forme sans dimension :

d/dτ = −α     d ~m₂ dτ     2 + η ^{d ~m2} dτ ^{. ( ~m2}× ~m₁) (2.7) L’´equation (2.7) montre que la variation d’´energie du syst`eme est due `a deux termes : un premier terme dissipatif li´e `a l’amortissement, un second terme li´e au couple de transfert de spin. Ces couples sont non-conservatifs. Lorsqu’aucun courant n’est appliqu´e (η = 0), l’amortissement fait perdre continˆument de l’´energie au syst`eme et tend `a ramener ~m<sub>2</sub> vers un mi-nimum d’´energie. Si le champ ext´erieur appliqu´e est statique, il empˆeche toute pr´ecession continue de ~m<sub>2</sub>. Si on applique un courant dans la structure (η 6= 0), le couple de transfert de spin peut prendre ou fournir de l’´energie au syst`eme suivant le signe du courant appliqu´e. Dans le premier cas, le couple amplifie l’effet de l’amortissement. Dans le second cas, le couple de transfert de spin s’oppose `a l’amortissement. Pour un courant suffisamment important, d/dτ devient positif et l’´etat d’´equilibre initial devient instable. Suivant la valeur du champ magn´etique appliqu´e, l’aimantation peut soit se retour-ner et atteindre un nouvel ´etat stable statique, soit se mettre `a pr´ecesser continˆument autour d’orbite d’´energie moyenne constante. Les densit´es de courant critiques permettant l’excitation de l’aimantation (retournement ou pr´ecession) pr´edites par Slonczewski sont de l’ordre de 10⁷A/cm².

L’influence du couple de transfert de spin sur l’aimantation apparaˆıt aussi de mani`ere directe sur l’´equation LLG (2.4) dans le cas particulier o`u ~H_{ef f} et ~m₁ sont align´es, c’est-`a-dire ~H_{ef f} = H_{ef f}m~₁. En n´egligeant les termes d’ordre 2 en α, on peut r´e´ecrire (2.4) sous la forme :

− ¹ γ₀

d ~m2

avec un amortissement effectif ˜α = α + ^j j_a

M_s

H_{ef f}^{. Dans ce cas, le couple de} transfert de spin a la mˆeme direction que le couple d’amortissement, mais s’oppose ou s’y ajoute suivant la direction du courant.

Heff